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2022届湖南省岳阳市高三教学质量监测数学试题（一模）（含答案）
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这是一份2022届湖南省岳阳市高三教学质量监测数学试题（一模）（含答案），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
岳阳市2022届高三教学质量监测(一)
数学
本试卷共 6 页， 22 道题， 满分 150 分， 考试用时 120 分钟。
注意事项：
- 答卷前， 考生务必将自已的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡上。
- 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑； 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 - 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案， 然后再写上新答案。 不按以上要求作答无效。
- 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题 (本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)
- 已知集合 ， 集合 ， 则
A．
B．
C．
D． - 已知复数 满足 ， 则复数 在复平面内对应点所在象限是
A． 第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限 - 已知等差数列 满足 ， 则数列 的前 5 项和为
A． 10
B． 15
C． 20
D． 30 - 已知圆锥的侧面积是底面积的 倍， 则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为
A．
B．
C．
D． - 已知向量 ， 向量 ， 则 与 的夹角大小为
A．
B．
C．
D． - 已知椭圆长轴 的长为 为椭圆上一点， 满足 ， 则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D． - 已知函数 ， 其中 ， 函数 的周期为 ， 且 时， 取得极值， 则下列说法正确的是
A．
B．
C． 函数 在 单调递增
D． 函数 图象关于点 对称 - 已知 为正实数， 直线 与曲线 相切， 则 的最小值是
A． 8
B．
C． 6
D．
二、多项选择题 (本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的选项 中， 有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分． )
- 下列叙述正确的是
A． 命题 “ ” 的否定是 “ ”
B． “ ” 是 “ ” 的充要条件
C． 的展开式中 的系数为
D． 在空间中， 已知直线 满足： ， 则
- 若随机变量 服从两点分在， 其中 分别为随机变量 的均值与方差， 则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
- 已知函数 且 的图象如下所示．
函数 的图象上有两个不同的点 ， 则
A．
B． 在 上是奇函数
C． 在 上是单调递增函数
D． 当 时，
- 已知圆 上两点 满足 ， 点 满足 ， 则
A． 当 时，
B． 当 时， 过 点的圆的最短弦长是
C． 线段 的中点纵坐标最小值是
D． 过 点作圆 的切线且切点为 ， 则 的取值范围是
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中对应 题号后的横线上．）
- 在平面直角坐标系中， 角 的顶点在坐标原点， 始边在 轴的非负半轴， 终边 过点 且 ， 则 ________．
- 已知抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点， 点 ， 当 的周长最小时， 点 的坐标为________．
- 有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单， 其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有________ 种． (结果用数字作答)
- 已知函数 ， 若 且 ， 则 的取值范围是________．
四、解答题（本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）
- (本小题满分 10 分)
数列 满足 ．
(1) 求证： 数列 是等比数列；
(2) 求数列 的通项公式．
- (本小题满分 12 分)
为 边 上一点， 满足 ， 记 ．
(1) 当 时， 且 ， 求 的值；
(2) 若 ． ， 求 面积的最大值．
- (本小题满分 12 分)
高压钠灯使用时发出金白色光， 具光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点， 广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处 等地方． 现在．某公园中心树立有一灯杆， 杆上装有 6 戔高压钠灯， 每或灯各使用 灯泡一只， 且型号相同． 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关， 该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 ， 寿命为 2 年以上的概率为 ． 从使用之日起 每满 1 年进行一次灯泡更换工作， 只更换已坏的灯泡， 平时不换．
（1）在第一次灯泡更换工作中， 求：
①不需要换灯洶的概率；
②更换 2 只灯泡的概率；
(2) 当 时， 求在第二次灯泡更换工作， 至少需要更换 5 只 灯泡的概率 (结果保留两个有效数字)． - (本小题满分 12 分)
如图， 在三棱锥 中， ．
(1) 证明： 平面 平面 ；
(2) 若 ， 试问在线段 上是否存在点 ， 使直线 与平 面 所成的角为 ． 若存在， 请求出 点的位置； 若不存在， 请说明理由．
- (本小题满分 12 分)
已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点， 焦点在坐标轴上， 双曲线 的一条渐近线的方程为 ， 且双曲线经过点 ． 过双曲线上的一点 在第一象限) 作斜率不为 的直线 与直线 交于点 且 与双曲线有且只有一个交点．
(1) 求双曲线的标准方程；
(2) 以 为直径的圆是否经过一个定点? 若经过定点， 求出定点的坐标； 若 不经过定点， 请说明理由．
- (本小题满分 12 分)
已知函数 ， 其中 为实数．
(1) 当 时， 讨论函数 的单调性；
(2) 当 时， 若 恒成立， 求最大的整数 ．
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