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广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试数学试题
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这是一份广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试数学试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. (2024高三下·常德模拟) 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A . B . C . 1 D .
2. 与向量方向相同的单位向量是（ ）
A . B . C . D .
3. 设等差数列的前项和为 ， 且 ， 则的值是（ ）
A . 11 B . 50 C . 55 D . 60
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A . 若 ， ， 则 B . 若 ， ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
5. (2024高三下·石家庄模拟) 已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程 ， 据此可以预测当时，( )
A . 8.5 B . 9 C . 9.5 D . 10
6. (2024高三下·茂名模拟) 已知抛物线C：（）的焦点为F ， C的准线与x轴的交点为M ， 点P是C上一点，且点P在第一象限，设 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
7. 若为上的偶函数，且 ， 当时， ， 则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A . 20 B . 18 C . 16 D . 14
8. (2024高三下·茂名模拟) 已知m ， ， ， 记直线与直线的交点为P ， 点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，若 ， 则实数的取值可以是 （ ）
A . -1 B . 0 C . 1 D . 2
10. 已知双曲线 ， 直线 ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 若 ， 则与仅有一个公共点 B . 若 ， 则与仅有一个公共点 C . 若与有两个公共点，则 D . 若与没有公共点，则
11. (2024高三下·常德模拟) 已知 ， ， 其中 ， 则的取值可以是（ ）
A . e B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. (2022高三上·西宁期末) 的展开式中的系数是.
13. 在中， ， 点在线段上，且 ， 则.
14. 如图，在梯形中， ， 将沿直线翻折至的位置， ， 当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图，几何体是圆柱的一半，四边形是圆柱的轴截面，为的中点，为半圆弧上异于的一点.
（1） 证明：；
（2） 若 ， ， 求平面与平面夹角的余弦值.
16. 已知函数.
（1） 若曲线在点处的切线方程为 ， 求实数的值；
（2） 若 ， 求函数在区间上的最大值.
17. 已知椭圆 ， 右焦点为 ， 过点的直线交于两点.
（1） 若直线的倾斜角为 ， 求；
（2） 记线段的垂直平分线交直线于点 ， 当最大时，求直线的方程.
18. (2024高三下·常德模拟) 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ， 且不同对阵的结果相互独立．
（1） 若 ， 经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2） 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19. (2024高三下·石家庄模拟) 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第个等差数列的第项为 ， 公差为.
（1） 若 ， 求的值；
（2） 若m为给定的值，且对任意n有 ， 证明：存在实数 ， 满足 ， ；
（3） 若为等比数列，证明：.
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
难度系数：0.04
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 16 17 18 19
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. (2024高三下·常德模拟) 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A . B . C . 1 D .
2. 与向量方向相同的单位向量是（ ）
A . B . C . D .
3. 设等差数列的前项和为 ， 且 ， 则的值是（ ）
A . 11 B . 50 C . 55 D . 60
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A . 若 ， ， 则 B . 若 ， ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
5. (2024高三下·石家庄模拟) 已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程 ， 据此可以预测当时，( )
A . 8.5 B . 9 C . 9.5 D . 10
6. (2024高三下·茂名模拟) 已知抛物线C：（）的焦点为F ， C的准线与x轴的交点为M ， 点P是C上一点，且点P在第一象限，设 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
7. 若为上的偶函数，且 ， 当时， ， 则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A . 20 B . 18 C . 16 D . 14
8. (2024高三下·茂名模拟) 已知m ， ， ， 记直线与直线的交点为P ， 点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，若 ， 则实数的取值可以是 （ ）
A . -1 B . 0 C . 1 D . 2
10. 已知双曲线 ， 直线 ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 若 ， 则与仅有一个公共点 B . 若 ， 则与仅有一个公共点 C . 若与有两个公共点，则 D . 若与没有公共点，则
11. (2024高三下·常德模拟) 已知 ， ， 其中 ， 则的取值可以是（ ）
A . e B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. (2022高三上·西宁期末) 的展开式中的系数是.
13. 在中， ， 点在线段上，且 ， 则.
14. 如图，在梯形中， ， 将沿直线翻折至的位置， ， 当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图，几何体是圆柱的一半，四边形是圆柱的轴截面，为的中点，为半圆弧上异于的一点.
（1） 证明：；
（2） 若 ， ， 求平面与平面夹角的余弦值.
16. 已知函数.
（1） 若曲线在点处的切线方程为 ， 求实数的值；
（2） 若 ， 求函数在区间上的最大值.
17. 已知椭圆 ， 右焦点为 ， 过点的直线交于两点.
（1） 若直线的倾斜角为 ， 求；
（2） 记线段的垂直平分线交直线于点 ， 当最大时，求直线的方程.
18. (2024高三下·常德模拟) 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ， 且不同对阵的结果相互独立．
（1） 若 ， 经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2） 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19. (2024高三下·石家庄模拟) 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第个等差数列的第项为 ， 公差为.
（1） 若 ， 求的值；
（2） 若m为给定的值，且对任意n有 ， 证明：存在实数 ， 满足 ， ；
（3） 若为等比数列，证明：.
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分数：150分
题数：19
难度系数：0.04
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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