广东省茂名市2022届高三模拟数学试题

广东省茂名市2022届高三模拟数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，，则应满足的条件是

A.  B.  C. 或 D.

2. 已知复数，，满足，且复数在复平面内位于第一象限，则

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是

A.  B.  C.  D. 与不相交

4. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 设等比数列的前项和为，，，则

A.  B.  C.  D.

6. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若命题，使是真命题，则实数的取值范围为

A.  B. ，
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 以下四个命题中真命题是

A. 为了了解名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为
B. 线性回归直线恒过样本点的中心
C. 随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内的概率为
D. 概率值为零的事件是不可能事件

10. 正方体中，棱的中点，为棱上的动点，则异面直线与所成角的余弦值可以是

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点点在第一象限、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是               

A.  B. 为中点 C.  D.

12. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：在此定义下以下结论正确的是

A. 已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为
B. 已知点，，满足的点轨迹的形状为六边形
C. 已知点，，不存在动点满足方程：
D. 已知点在圆：上，点在直线：上，则、的最小值为

三、单空题（本大题共3小题，共15分）

13. 已知双曲线：的右顶点为，与轴平行的直线交于，两点，记，若的离心率为，则的取值的集合是______ ．
14. 若，则函数的单调递减区间为______ ．
15. 已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：；是函数图像的一条对称轴；函数在区间上单调递增；若方程在区间上有两根为，则。以上命题正确的是     。填序号

四、多空题（本大题共1小题，共5分）

16. 若数列满足，，则      ；前项的和      用数字作答

五、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置平面．
    若为直线上任意一点，证明：平面；
    若直线与所成角为，求二面角的余弦值．

18. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
    求证：平面；
    求二面角余弦值的大小．
    
    
     

19. 在北方某城市随机选取一年内天的空气污染指数的监测数据，统计结果如下：

Ⅰ已知污染指数大于为重度污染，若本次抽取样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面的列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？

Ⅱ在样本中，从污染指数大于的天中任取天，求至少有天大于的概率．
附注：，

20. 本题满分分
    已知有穷数列共有项整数，首项，设该数列的前项和为，且其中常数求的通项公式；若，数列满足
    求证：；
    若中数列满足不等式：，求的最大值．
    
     
21. 已知椭圆：离心率为，且经过点．
    Ⅰ求椭圆的标准方程；
    Ⅱ设直线与椭圆在轴上方的交点为，为坐标原点，若平行于的直线与椭圆恰有一个公共点，求此公共点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数，其中．
    当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；
    若对于任意，恒成立，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合
当，即：，时，
当时，、不可能相等，故B中的方程要么两个解都是，或两个解都是
由前者得，后者满足条件的不存在
故的取值范围是：．
故选：．
首先化简集合，然后分和两种情况进行讨论，即可得出正确答案．
本题主要考查了一元二次方程的解和集合之间的关系，注意分类讨论．
 

2.【答案】
 

【解析】解：设，根据得，，
解得：或或．
由且复数在复平面内位于第一象限，可知，
，，

．
故选：．
设，根据，可求得，然后可求得，最后可求得
本题考查复数模及运算，考查数学运算能力，属于中档题．
 

3.【答案】
 

【解析】解：

A.由平面平面，直线，则，故A正确
B.由平面平面，直线，则，故B正确
C.由平面平面，直线，直线，知：，平行或异面，故C错误，
D.由平面平面，直线，直线，知：，平行或异面，一定不相交．故D正确

故选C．
由平面平面，直线，直线，知，平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由任意角的三角函数的定义可得，
解得．
故选：．
由任意角的三角函数的定义，通过，由此解得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，则，
又由，则，
故；
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，由求出公比，进而求出，由等比数列前项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，关键求出和公比，属于基础题．
 

6.【答案】
 

【解析】解：对于：，故A不成立；
对于：，故B成立；
对于：，故C不成立；
对于：，，故D不成立．
故选：．
根据指数幂的运算法则化简判断即可．
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：圆：化为，圆的圆心坐标为半径为．
圆：关于直线对称，所以在直线上，可得，
即．
点与圆心的距离，
所以点向圆所作切线长：
，当且仅当时弦长最小，最小值为．
故选：．
由题意可知直线经过圆的圆心，推出，的关系，利用与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由于函数是偶函数，因此只考虑函数，若命题，使是真命题，可得，解即可．

【解答】

解：由于函数是偶函数，因此只考虑函数，若命题，使是真命题，即可得出．
，
，
解得，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查系统抽样，线性回归直线，正态分布以及概率的知识，属于中档题．
根据系统抽样的定义进行判断，根据回归直线的性质进行判断，根据正态分布的概率关系进行判断，根据概率和不可能事件的关系进行判断．

【解答】

解：为了了解名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为，故A错误，
线性回归直线恒过样本点的中心，故B正确，
随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为，
根据对称性可知，在内的概率也为，故C正确，
不可能事件的概率为，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确，故D错误，
故选：．

10.【答案】
 

【解析】解：因为正方体中，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设边长为，，，，，
则，，
所以，
又因，而，所以，
所以．
故选：．
建立空间直角坐标系，然后写出所需点的坐标，然后利用空间向量的方法求出异面直线与所成角的余弦值，从而可判定选项．
本题主要考查了利用空间向量的方法解决立体几何问题，以及异面直线所成角的求解，同时考查了二次函数的最值，属于中档题．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查直线和抛物线综合问题，中档题
如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案．

 【解答】

如图所示：作准线于，轴于，准线于，
 

直线的斜率为，
故，，，
故，，

，代入抛物线得到；

，
故，

故AF，即为中点；

又易得，
故；

即，
所以，
故；

故选：．

12.【答案】
 

【解析】解：对于，设，因为，所以，
当时，
当时，；当时，；作出图象如下图所示，

易知这是一个边长为的正方形，所以面积为，故 A 正确
对于，设，因为，所以，
当且时，
，
当时，；当时，；当时，；
作出图象如下图所示，

所以点轨迹是一个六边形，故 B 正确．
对于，设，因为，
所以，解得，所以点的轨迹为两条直线，故 C 错误；
对于，如下图所示，为圆上一点，为直线上一点，过点作轴的平行线交直线与点，过点作轴的垂线交于点，

当点固定时，显然当在，点上方时最小，则
，
又因为，所以，
由几何关系易得当时此时取得最小值，如下图所示

由点到直线的距离公式得，所以
所以，故 D 正确．
故选：．
，直线去绝对值作图；解绝对值方程；先通过固定圆的点来何时最小值，进而让圆上的点动起来再求出的最小值．
本题考查新定义问题，考查分类讨论思想，考查绝对值方程的解法，考查点到直线的距离公式，综合性比较强，属于难题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：的离心率为，
，双曲线：化为，
设，，，
，
．
故答案为：．
利用的离心率为，可得，双曲线：化为，利用向量的数量积公式，即可得出结论．
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：


令：
解得：
由于：，
所以：当时，函数的单调递减区间为：
故答案为：
直接对三角函数关系是进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求函数的单调区间，属于基础题型．
 

15.【答案】．
 

【解析】试题分析：是定义在上的偶函数，，可得，在，中令得，函数是周期为的周期函数，又当时，单调递减，结合函数的奇偶性画出函数的简图，如图所示．从图中可以得出：为函数图象的一条对称轴；函数在单调递增；若方程在上的两根为，则故均正确．

考点：
函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性；函数的零点与方程的根．
 

16.【答案】

【解析】解：由数列满足，，
数列是等比数列，公比为．
；
前项的和．
故答案分别为：；．
利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：连接，，，分别为，，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
同理，平面，
平面，平面，且，
平面平面，
平面，
平面；
解：连接，在与中，
由余弦定理可得，，
由与互补，，，
解得，于是，则，．
，直线与所成角为，．
又，，即，
又，、平面，
则平面，
又平面，
平面平面，
为的中点，，且平面平面，
平面．
如图，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

则，，，
，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
又平面的一个法向量为，
．
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
 

【解析】本题考查直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面平行的判定可得平面，同理，平面，再由平面与平面平行的判定得到平面平面，进一步得到平面；
求解三角形证明，，两两互相垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
 

18.【答案】解：方法一：证：在中，，为正方形，因此．
平面，平面，又平面分
解：由面，知为在平面的射影，又，，知为二面角的平面角．
又，分
方法二：证：建立如图所示的直角坐标系，
则、、
在中，，，
、，
，即，，
又，平面分
解：由得．
设平面的法向量为，则，
即，故平面的法向量可取为
平面，
为平面的法向量．
设二面角的大小为，依题意可得分
 

【解析】方法一：证明：然后证明平面．
说明为二面角的平面角．通过求解三角形推出结果即可．
方法二：建立如空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过，然后证明平面．
求出平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的大小为，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
 

19.【答案】解：根据以上数据得到如表：

的观测值，
所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关；
污染指数在有天，污染指数大于有天，天中任取天，共有种，至少有天大于，共有天，
所以在样本中，从污染指数大于的天中任取天，至少有天大于的概率为．
 

【解析】根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；
污染指数在有天，污染指数大于有天，天中任取天，共有种，至少有天大于，共有天，即可求出概率．
本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，考查学生的计算能力，比较基础．
 

20.【答案】 整数的最大值为。
 

【解析】试题分析：   
两式相减得  
当时则，数列的通项公式为
把数列的通项公式代入数列的通项公式，可得

  
数列单调递增，且
则原不等式左边即为

由  可得因此整数的最大值为。
考点：本题主要考查数列的的基础知识，简单不等式的解法。
点评：中档题，本解答从研究的关系入手，确定得到通项公式，从而进一步明确证明了。“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。
 

21.【答案】解：Ⅰ由已知，分
又，分
解得，分
所以椭圆的方程为分
Ⅱ将代入椭圆方程，
解得，或，
所以，直线的斜率为分
设与直线平行的直线，分
由题意得分
因为与椭圆恰有一个公共点，
所以关于的方程有两个相等的实数根，
所以，分
解得，或，分
当时，，与椭圆公共点的坐标为，
当时，，与椭圆公共点的坐标为分
 

【解析】Ⅰ求出，结合离心率，求解，得到椭圆的方程．
Ⅱ求出，设与直线平行的直线，联立直线与椭圆的方程，利用判别式求解，然后推出与椭圆公共点的坐标即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为；
当时，，；
令，解得或；
当，即时，在上单调递增；
在上的最小值是，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值是，不合题意；
当，即时，在上单调递减，
在上的最小值是，不合题意；
综上所述，的取值范围是；
令，则；
故只需求出使得在上单调递增的的范围即可，
，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立，
，
只需在上恒成立即可，
，
对于函数，过定点，对称轴为，
故只需，解得，
综上所述，的取值范围是．
 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值和单调性，以及导数中的恒成立问题，涉及分类讨论，属较难题．
对求导，并令导函数为，得到或，分类讨论与区间的关系，得到的取值范围；
令，则只需在上单调递增即可；对求导，分类讨论当时与当时的情况，即可得到的取值范围．