2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇七年级（下）期中数学试卷，共18页。

A．6B．±6C．﹣6D．4
2．（3分）在数﹣，0，，|﹣9|，π，﹣6.79，0.010010001属于无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（3，﹣2）
4．（3分）任意一个圆的周长与其直径之比为一个恒定的常数，此常数称为圆周率，圆周率一般用希腊字母π来表示，对于π下列说法中错误的是（ ）
A．π＝3.14
B．π是一个无理数
C．3＜π＜4
D．在数轴上有唯一一个点与之对应
5．（3分）下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②内错角相等；
③两点之间线段最短；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（3分）若2x﹣3y＝5，则10﹣4x+6y＝（ ）
A．﹣4B．0C．1D．﹣2
7．（3分）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠3＝∠2B．∠1＝∠2C．∠B＝∠DD．∠B＝∠1
8．（3分）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如果是方程ax+2y＝5的解，则a＝（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
10．（3分）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（ ）
A．（2024，2）B．（4048，0）C．（2024，4）D．（4048，4）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
13．（3分）将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式 ．
14．（3分）将点P（m+3，2m+6）向右平移1个单位长度到点Q，且点Q在y轴上，那么点P的坐标是 ．
15．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF＝66°，则∠BOC＝ °．
16．（3分）已知a，b是正整数，若是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 ．
三.解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。）
17．（6分）计算：．
18．（6分）一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．
19．（6分）完成下面的证明
如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠AGB＝∠EHF
∠AGB＝ （对顶角相等）
∴∠EHF＝∠DGF
∴DB∥EC（ ）
∴∠ ＝∠DBA（ ）
又∵∠C＝∠D
∴∠DBA＝∠D
∴DF∥ （ ）
∴∠A＝∠F（ ）．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝38°，求∠COB的度数
（2）若∠AOC：∠COB＝3：7，求∠EOD的度数．
22．（9分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．
（1）一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
23．（9分）如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形．
（1）图中阴影正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为的整数部分．求：
①x，y的值；
②x+y的相反数．
24．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）将△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若△ABC中任意一点M（a，b）的对应点的坐标为M1（a﹣1，b+2），写出A1，B1，C1，的坐标，并画出平移后的图形．
（3）求出△ABC的面积．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市西部乡镇七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）36的平方根是（ ）
A．6B．±6C．﹣6D．4
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵（±6）2＝36，
∴36的平方根是±6，
故选：B．
2．（3分）在数﹣，0，，|﹣9|，π，﹣6.79，0.010010001属于无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣，0，|﹣9|，﹣6.79，0.010010001属于有理数，无理数有，π共2个．
故选：A．
3．（3分）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（3，﹣2）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣3，2）．
故选：A．
4．（3分）任意一个圆的周长与其直径之比为一个恒定的常数，此常数称为圆周率，圆周率一般用希腊字母π来表示，对于π下列说法中错误的是（ ）
A．π＝3.14
B．π是一个无理数
C．3＜π＜4
D．在数轴上有唯一一个点与之对应
【分析】圆周率π是一个无理数，π≈3.14，每一个实数都可以用数轴上一个点表示，由此判断选项是否符合题意．
【解答】解：圆周率π是一个无理数，故A符合题意，B不符合题意，
∵π≈3.14，
∴3＜π＜4，故C不符合题意，
每一个实数都可以用数轴上一个点表示，故D不符合题意，
故选：A．
5．（3分）下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②内错角相等；
③两点之间线段最短；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故错误，是假命题；
②两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
③两点之间线段最短，正确，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，是假命题；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，正确，是真命题，
真命题有2个，
故选：A．
6．（3分）若2x﹣3y＝5，则10﹣4x+6y＝（ ）
A．﹣4B．0C．1D．﹣2
【分析】先把10﹣4x+6y表示为10﹣2（2x﹣3y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵2x﹣3y＝5，
∴10﹣4x+6y＝10﹣2（2x﹣3y）＝10﹣2×5＝10﹣10＝0．
故选：B．
7．（3分）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠3＝∠2B．∠1＝∠2C．∠B＝∠DD．∠B＝∠1
【分析】依据平行线的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠3＝∠2可知AB∥CD，不能判断AD∥BC，故本选项不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判断AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、∠B＝∠D不能判断AD∥BC，故本选项不符合题意；
D、当∠B＝∠1时，由同位角相等，两直线平行可知AD∥BD，故本选项符合题意．
故选：D．
8．（3分）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）如果是方程ax+2y＝5的解，则a＝（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
【分析】把是方程ax+2y＝5得出3a﹣4＝5，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：把是方程ax+2y＝5，得3a﹣4＝5，
3a＝5+4，
3a＝9，
a＝3．
故选：D．
10．（3分）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点（ ）
A．（2024，2）B．（4048，0）C．（2024，4）D．（4048，4）
【分析】根据已知点的坐标可以推出动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，进行求解即可．
【解答】解：∵第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），第4次从原点运动到点（8，0），第5次运动到点（10，2）……，
∴动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，
∵2024÷4＝506，
∴第2024次运动到点（2×2024，0），即：（4048，0）；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）＝ ﹣2 ．
【分析】根据立方根的性质即可得出结论．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴．
故答案为：﹣2．
12．（3分）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
13．（3分）将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】直接写成“如果，那么”的形式即可．
【解答】解：将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
14．（3分）将点P（m+3，2m+6）向右平移1个单位长度到点Q，且点Q在y轴上，那么点P的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【分析】将点P（m+3，2m+6）向右平移1个单位长度到点Q的坐标为（m+4，2m+6），根据点Q在y轴上知m+4＝0，据此知m＝﹣4，再代入即可得．
【解答】解：将点P（m+3，2m+6）向右平移1个单位长度后点Q的坐标为（m+4，2m+6），
∵点Q（m+4，2m+6）在y轴上，
∴m+4＝0，即m＝﹣4，
则点P的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
15．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF＝66°，则∠BOC＝ 132 °．
【分析】设∠AOE＝α，∠BOF＝β，根据∠AOE+∠BOF＝66°，得α+β＝66°，则β＝66°﹣α，再根据角平分线的定义得∠DOB＝2β，再由OE⊥CD得∠EOD＝90°，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB＝180°，即α+2β＝90°，将β＝66°﹣α代入可得α＝42°，进而可求出∠AOD＝132°，然后再根据对顶角相等可得∠BOC的度数．
【解答】解：设∠AOE＝α，∠BOF＝β，
∵∠AOE+∠BOF＝66°，
∴α+β＝66°，
∴β＝66°﹣α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝∠BOF＝β，
∴∠DOB＝∠DOF+∠BOF＝2β，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠AOE+∠EOD+∠DOB＝180°，
∴α+90°+2β＝180°，
∴α+2β＝90°，
∴α+2（66°﹣α）＝90°，
解得：α＝42°，
即∠AOE＝42°，
∴∠AOD＝∠AOE+∠EOD＝42°+90°＝132°，
∴∠BOC＝∠AOD＝132°．
故答案为：132．
16．（3分）已知a，b是正整数，若是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 （3，7），（12，28） ．
【分析】先根据a、b为正整数、和为不大于2的整数，分析a、b的取值范围，利用试验的办法得结论．
【解答】解：∵已知a，b是正整数，
∴＞0，＞0．
∵是不大于2的整数，
∴＝1或2．
∴a是3的倍数，b是7的倍数．
当a＝3，b＝7时，＝1+1＝2；
当a＝12，b＝28时，＝+＝1．
故满足条件的有序数对为 （3，7），（12，28）．
故答案为：（3，7），（12，28）．
三.解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。）
17．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝2﹣3﹣+1
＝．
18．（6分）一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．
【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣a+2＝0，解方程可得a，然后再求出这个正数即可．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
则这个正数为9．
19．（6分）完成下面的证明
如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠AGB＝∠EHF
∠AGB＝ ∠DGF （对顶角相等）
∴∠EHF＝∠DGF
∴DB∥EC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠ C ＝∠DBA（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠C＝∠D
∴∠DBA＝∠D
∴DF∥ AC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】根据对顶角相等推知∠EHF＝∠DGF，从而证得两直线DB∥EC；然后由平行线的性质得到∠DBA＝∠D，即可根据平行线的判定定理，推知两直线DF∥AC；最后由平行线的性质，证得∠A＝∠F．
【解答】证明：∵∠AGB＝∠EHF，
∠AGB＝∠DGF（对顶角相等），
∴∠EHF＝∠DGF，
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C＝∠D，
∴∠DBA＝∠D，
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠DGF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1），
①+②，可得：4x＝20，
解得x＝5，
把x＝5代入①，可得5﹣y＝4，
解得y＝1，
∴原方程组的解是．
（2），
①×3+②×2，可得13x＝﹣26，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①，可得：3×（﹣2）﹣2y＝﹣2，解得y＝﹣2，
∴原方程组的解是．
21．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O．
（1）若∠EOD＝38°，求∠COB的度数
（2）若∠AOC：∠COB＝3：7，求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠EOA＝90°，进而求出∠AOD的度数，再利用对顶角相等得到答案；
（2）根据∠AOC：∠COB＝3：7和∠AOC+∠COB＝180°，求出∠AOC，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
又∵∠EOD＝38°，
∴∠AOD＝∠AOE+∠EOD＝128°，
∴∠COB＝∠AOD＝128°；
（2）设∠AOC＝3x，
∵∠AOC：∠COB＝3：7，
∴∠COB＝7x，
∵∠AOC+∠COB＝180°，
即10x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠AOC＝54°，
又∵∠AOE＝90°
∵∠AOC+∠EOD＝90°，
∴∠EOD＝36°．
22．（9分）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t．
（1）一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨？
（2）3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用运货总质量＝4×使用大货车的数量+2.5×使用小货车的数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：一辆大货车一次可以运货4吨，一辆小货车一次可以运货2.5吨；
（2）根据题意得：4×3+2.5×5
＝12+12.5
＝24.5（吨）．
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．
23．（9分）如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形．
（1）图中阴影正方形的面积是 13 ，边长是 ．
（2）已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为的整数部分．求：
①x，y的值；
②x+y的相反数．
【分析】（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可解答；
（2）①根据估算无理数大小估计可得：、，再结合题意即可得出和的值；②代入计算并根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可得：，
则阴影部分正方形的边长为：．
故答案为：13，．
（2）①∵、，
∴，，
∴，y＝3；
②∵，
∴x+y的相反数为．
24．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标．
（2）将△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若△ABC中任意一点M（a，b）的对应点的坐标为M1（a﹣1，b+2），写出A1，B1，C1，的坐标，并画出平移后的图形．
（3）求出△ABC的面积．
【分析】（1）由图可直接得出答案．
（2）由题意得，△ABC是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到的△A1B1C1，由此可得A1，B1，C1的坐标，再画图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由图可得，A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2）．
（2）∵点M（a，b）的对应点为M1（a﹣1，b+2），
∴△ABC是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到的△A1B1C1，
∴A1（﹣3，0），B1（2，3），C1（﹣1，4）．
如图，△A1B1C1即为所求．
（3）S△ABC＝5×4﹣×2×4﹣×3×1﹣×5×3
＝20﹣4﹣﹣
＝7．
故△ABC的面积为7．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，即可得出A、B、C三点的坐标；
（2）根据四边形ABOP的面积等于△AOB的面积加上△AOP的面积计算即可；
（3）根据四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵+（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴＝0，（b﹣2）2|＝0，|c﹣3|＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝3，
∴点A的坐标是（0，1），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，3）；
（2）由（1）知A（0，1），B（2，0），C（2，3），
又∵P（m，）在第二象限，
∴m＜0，
∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP
＝×1×2+×1×|m|
＝1﹣m；
（3）存在，
∵B（2，0），C（2，3），
∴BC⊥x轴，
∴S△ABC＝×3×2＝3，
由题意得，1﹣m＝3，
解得m＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，）．