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吉林省吉林地区普通高中2024届高三第三次模拟考试数学试题
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说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 4C. 1或4D. 2
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
4. 若互不相等的正数满足，则（ ）
A. 成等差数列B. 成等比数列
C. 成等差数列D. 成等比数列
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D. 的子集个数为2
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各二项式系数的和为64B. 各项系数的绝对值的和为729
C. 有理项有3项D. 常数项是第4项
11. 如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A. 在翻折过程中，与可能垂直
B. 翻折过程中，二面角无最大值
C. 当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D. 点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12. 已知向量，若，则_________.
13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则_________（结果用表示）.
14. 已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分別为，直线与直线交于点，则与的面积比值为_________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的三个内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）在方向上的投影向量是，求的面积.
16. 如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，求直线到平面的距离.
17. 已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．
（1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围.
18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望.
参考公式：，其中；
附表：
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设分别是极小值点和极大值点，记．
（i）证明：直线与曲线交于除外另一点；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知若，则实数的值为（ ）
A. 1B. 4C. 1或4D. 2
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
4. 若互不相等的正数满足，则（ ）
A. 成等差数列B. 成等比数列
C. 成等差数列D. 成等比数列
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点，则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为锐角，且，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D. 的子集个数为2
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各二项式系数的和为64B. 各项系数的绝对值的和为729
C. 有理项有3项D. 常数项是第4项
11. 如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A. 在翻折过程中，与可能垂直
B. 翻折过程中，二面角无最大值
C. 当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D. 点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12. 已知向量，若，则_________.
13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有_________种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则_________（结果用表示）.
14. 已知拋物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分別为，直线与直线交于点，则与的面积比值为_________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的三个内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）在方向上的投影向量是，求的面积.
16. 如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，求直线到平面的距离.
17. 已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且．
（1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围.
18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望.
参考公式：，其中；
附表：
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设分别是极小值点和极大值点，记．
（i）证明：直线与曲线交于除外另一点；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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