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梅河口市第五中学2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37,则这组数据第40百分位数为( )
A.39B.40C.45D.32
2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
3.记等差数列的前n项和为,,则( )
A.13B.26C.39D.78
4.设,是两个平面,m,n,l是三条直线,则下列命题为真命题的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,则
5.在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.8和0.5,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为( )
A.B.C.D.
6.数列的通项公式为,则( )
A.B.C.5D.8
7.校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的,女生选学生物学的人数占女生人数.若有的把握认为选学生物学和性别有关,则调查人数中男生不可能有( )人.
附表:
其中,.
A.20B.30C.35D.40
二、多项选择题
8.已知,均为锐角,,则取得最大值时,的值为( )
A.B.C.1D.2
9.已知函数的最小正周期为π,则( )
A.
B.是图象的一个对称中心
C.在区间上单调递增
D.在区间上的最小值为
10.已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,下列说法正确的有( )
A.B.当时,
C.当时,不是数列中的项D.若是数列中的项,则的值可能为6
11.已知函数,下列说法正确的有( )
A.当时,则在上单调递增
B.当时,函数有唯一极值点
C.若函数只有两个不等于1的零点,,则必有
D.若函数有三个零点,则
三、双空题
12.已知,,则__________,在上的投影向量的坐标为__________.
四、填空题
13.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则__________.
14.如图,点O是边长为1的正六边形的中心,l是过点O的任一直线,将此正六边形沿着l折叠至同一平面上,则折叠后所成图形的面积的最大值为__________.
五、解答题
15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求的值:
(2)求C的最大值.
16.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,,,是正三角形,E是棱PC的中点.
(1)证明:平面PAD;
(2)若,平面平面ABCD,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
17.小明从4双鞋中,随机一次取出2只,
(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率;
(2)若这4双鞋中,恰有一双是小明的,记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X,求X的分布列及数学期望.
18.已知双曲线的右焦点为F,点在双曲线C上,.
(1)若,且点P在第一象限,点Q关于x轴的对称点为R,求直线与双曲线C相交所得的弦长;
(2)探究:的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上,若是,请给出证明过程;若不是,请说明理由.
19.已知数列的前n项和为,若数列满足:①数列项数有限为N;②;③,则称数列为“N阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”,求的通项公式;
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”,且,求数列的通项公式;
(3)已知数列为“N阶可控摇摆数列”,且存在,使得,探究:数列能否为“N阶可控摇摆数列”,若能,请给出证明过程;若不能,请说明理由.
参考答案
1.答案:A
解析:将这组数据从小到大排列为:32,34,37,39,40,42,45,50,共8个,
因为,所以这组数据第40百分位数为第4个数据,即为39,
故选:A.
2.答案:D
解析:因为方程表示的曲线是椭圆,
所以,解得且,
所以实数k的取值范围是.
故选:D.
3.答案:D
解析:因为为等差数列,
所以.
故选:D.
4.答案:B
解析:对于A,若,,,则,相交或平行,故A错误;
对于B,若,,,
由线面平行的性质可得,故B正确;
对于C,若,,,
当,,两两相交时,m,n,l两两相交,故C错误;
对于D,若,,则或,故D错误.
故选:B.
5.答案:B
解析:设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C,
则,,,且A、B、C相互独立,
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D,
则,
设乙没有达优秀等级为事件E,则,
所以.
故选:B.
6.答案:C
解析:因为
,
所以.
故选:C.
7.答案:A
解析:设总人数为,则男生选学生物学的人数为,女生选生物学的人数为,
则,
即,又n为5的倍数,故男生最少有30人.
故选:A.
8.答案:D
解析:,
则,
所以,
整理得,
因为,均为锐角,且,即,
所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以,
所以取得最大值时,的值为2.
故选:D.
9.答案:BC
解析:A:由最小正周期是,故A错误;
B:因为,对称中心,,解得,,
当时,对称中心为,故B正确;
C:由余弦函数的递增区间可知,,解得,,
当时,在区间上单调递增,故C正确;
D:由C可知,在上单调递增,故最小值为,故D错误;
故选:BC.
10.答案:ABD
解析:对A,,故A正确;
对B,当时,公差,此时,故B正确;
对C,当时,此时,,即是数列中的项,故C错误;
对D,当时,,又,故D正确.
故选:ABD.
11.答案:ACD
解析:对于A:当时,,
则,令,
则,
则当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故,所以在上单调递增,A正确;
对于B:当时,,
则,令,
则,
则当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故,所以在上单调递增,无极值,B错误;
对于C:令,得,
令,则,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以当时,,单调递增,且,
当时,,单调递减,且,
若函数只有两个不等于1的零点,,即函数与有两个交点,
则不妨取,
当时,,
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数,即,C正确;
对于D:明显,所以1是函数的一个零点,且,
函数有三个零点,且函数在上为连续函数,则函数必有两个极值点(不为1),
因为,
所以,
设,则,
当时,令,得,单调递减,
,得,单调递增,
所以,所以在上单调递减,不可能有3个零点,
所以,令,得,单调递减,
,得,单调递增,
所以,
所以,所以,D正确.
故选:ACD.
12.答案:2;.
解析:因为,故;
在上的投影向量为,又,则;
故在上的投影向量的坐标为.
故答案为:;.
13.答案:
解析:由余弦定理可得,
所以,
于是有.
故答案为:.
14.答案:
解析:如图,由对称性可知,折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大,
此时,折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.
由正六边形的性质和对称性知,,,
在中,由余弦定理可得:
,
得,
由基本不等式可知,则,
故,
因,,解得,
当且仅当时等号成立,
故,
又正六边形的面积,
所以折叠后的面积最大值为:.
故答案为:.
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)由余弦定理可得,
代入,得到,化简得,
即.由正弦定理可得,
即,展开得,
即,所以.
(2)由得,
故,
当且仅当,即时等号成立.
因为,所以,所以C的最大值为.
16.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)取中点F,连接,.
,,,,
,,
四边形为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面.
(2)取中点O,中点G,连接,,可得,.
平面平面,平面平面,,平面,
平面.
,,
.
以O为原点,以,,所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示空间直角坐标系.
因为,,,是等边三角形,
所以,,,
所以,,,.
则,,.
设平面的法向量为,由,,
可得,令,可得,,
从而是平面的一个法向量.
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.答案:(1)
(2)分布列见解析;
解析:(1)由题可得:取出2只都不来自同一双的概率为:.
(2)由题可知X的取值为:0,1,2,
,,,
故X的分布列为:
,
故.
18.答案:(1)
(2)是,证明见解析
解析:(1)依题意,,,,则直线的斜率为,
则直线,即;
联立,得,解得或,
故所求弦长为.
(2)的外心落在双曲线C在点P的切线上,证明过程如下,
设双曲线C在点P的切线斜率为k,则在点P处的切线方程为,
联立得,
其中,则,
而,故,代入上式可得,,
解得,故双曲线C在点P处的切线方程为,即.
直线的斜率为,线段的中点为,
故直线的中垂线方程为,
联立可得,故外心坐标为,
其满足,故的外心落在双曲线C在点P处的切线上.
19.答案:(1)或
(2)
(3)不能,理由见解析
解析:(1)若,则,解得,则,与题设矛盾,舍去;
若,则,得,
而,解得或,
故或.
(2)设等差数列,,,…,的公差为d,
因为,则,则,,
由,得,,,
而,故,,
两式相减得,即,
又,得,
所以.
(3)记,,,…,中所有非负项之和为A,负项之和为B,
因为数列为“N阶可控摇摆数列”,则得,,
故,所以.
若存在,使得,即,
则,,…,,,,…,,
且.
假设数列也为“N阶可控摇摆数列”,记数列的前n项和为,
则,
因为,所以.
所以,;
又,则,,…,.
所以;
即与不能同时成立.
故数列不为“N阶可控摇摆数列”.
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
X
0
1
2
P
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