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    梅河口市第五中学2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)
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    梅河口市第五中学2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案)

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    这是一份梅河口市第五中学2024届高三下学期二模考试数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37,则这组数据第40百分位数为( )
    A.39B.40C.45D.32
    2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    3.记等差数列的前n项和为,,则( )
    A.13B.26C.39D.78
    4.设,是两个平面,m,n,l是三条直线,则下列命题为真命题的是( )
    A.若,,,则
    B.若,,,则
    C.若,,,则
    D.若,,则
    5.在某次美术专业测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.8和0.5,且三人的测试结果相互独立,则测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下,乙没有达优秀等级的概率为( )
    A.B.C.D.
    6.数列的通项公式为,则( )
    A.B.C.5D.8
    7.校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的,女生选学生物学的人数占女生人数.若有的把握认为选学生物学和性别有关,则调查人数中男生不可能有( )人.
    附表:
    其中,.
    A.20B.30C.35D.40
    二、多项选择题
    8.已知,均为锐角,,则取得最大值时,的值为( )
    A.B.C.1D.2
    9.已知函数的最小正周期为π,则( )
    A.
    B.是图象的一个对称中心
    C.在区间上单调递增
    D.在区间上的最小值为
    10.已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,下列说法正确的有( )
    A.B.当时,
    C.当时,不是数列中的项D.若是数列中的项,则的值可能为6
    11.已知函数,下列说法正确的有( )
    A.当时,则在上单调递增
    B.当时,函数有唯一极值点
    C.若函数只有两个不等于1的零点,,则必有
    D.若函数有三个零点,则
    三、双空题
    12.已知,,则__________,在上的投影向量的坐标为__________.
    四、填空题
    13.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则__________.
    14.如图,点O是边长为1的正六边形的中心,l是过点O的任一直线,将此正六边形沿着l折叠至同一平面上,则折叠后所成图形的面积的最大值为__________.
    五、解答题
    15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
    (1)求的值:
    (2)求C的最大值.
    16.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,,,是正三角形,E是棱PC的中点.
    (1)证明:平面PAD;
    (2)若,平面平面ABCD,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
    17.小明从4双鞋中,随机一次取出2只,
    (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率;
    (2)若这4双鞋中,恰有一双是小明的,记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X,求X的分布列及数学期望.
    18.已知双曲线的右焦点为F,点在双曲线C上,.
    (1)若,且点P在第一象限,点Q关于x轴的对称点为R,求直线与双曲线C相交所得的弦长;
    (2)探究:的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上,若是,请给出证明过程;若不是,请说明理由.
    19.已知数列的前n项和为,若数列满足:①数列项数有限为N;②;③,则称数列为“N阶可控摇摆数列”.
    (1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”,求的通项公式;
    (2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”,且,求数列的通项公式;
    (3)已知数列为“N阶可控摇摆数列”,且存在,使得,探究:数列能否为“N阶可控摇摆数列”,若能,请给出证明过程;若不能,请说明理由.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:将这组数据从小到大排列为:32,34,37,39,40,42,45,50,共8个,
    因为,所以这组数据第40百分位数为第4个数据,即为39,
    故选:A.
    2.答案:D
    解析:因为方程表示的曲线是椭圆,
    所以,解得且,
    所以实数k的取值范围是.
    故选:D.
    3.答案:D
    解析:因为为等差数列,
    所以.
    故选:D.
    4.答案:B
    解析:对于A,若,,,则,相交或平行,故A错误;
    对于B,若,,,
    由线面平行的性质可得,故B正确;
    对于C,若,,,
    当,,两两相交时,m,n,l两两相交,故C错误;
    对于D,若,,则或,故D错误.
    故选:B.
    5.答案:B
    解析:设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C,
    则,,,且A、B、C相互独立,
    设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D,
    则,
    设乙没有达优秀等级为事件E,则,
    所以.
    故选:B.
    6.答案:C
    解析:因为

    所以.
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:设总人数为,则男生选学生物学的人数为,女生选生物学的人数为,
    则,
    即,又n为5的倍数,故男生最少有30人.
    故选:A.
    8.答案:D
    解析:,
    则,
    所以,
    整理得,
    因为,均为锐角,且,即,
    所以,
    所以,
    当且仅当,即时等号成立,
    所以,
    所以取得最大值时,的值为2.
    故选:D.
    9.答案:BC
    解析:A:由最小正周期是,故A错误;
    B:因为,对称中心,,解得,,
    当时,对称中心为,故B正确;
    C:由余弦函数的递增区间可知,,解得,,
    当时,在区间上单调递增,故C正确;
    D:由C可知,在上单调递增,故最小值为,故D错误;
    故选:BC.
    10.答案:ABD
    解析:对A,,故A正确;
    对B,当时,公差,此时,故B正确;
    对C,当时,此时,,即是数列中的项,故C错误;
    对D,当时,,又,故D正确.
    故选:ABD.
    11.答案:ACD
    解析:对于A:当时,,
    则,令,
    则,
    则当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    故,所以在上单调递增,A正确;
    对于B:当时,,
    则,令,
    则,
    则当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    故,所以在上单调递增,无极值,B错误;
    对于C:令,得,
    令,则,
    令,则,
    所以在上单调递减,又,
    所以当时,,单调递增,且,
    当时,,单调递减,且,
    若函数只有两个不等于1的零点,,即函数与有两个交点,
    则不妨取,
    当时,,
    所以函数与的两个交点横坐标互为倒数,即,C正确;
    对于D:明显,所以1是函数的一个零点,且,
    函数有三个零点,且函数在上为连续函数,则函数必有两个极值点(不为1),
    因为,
    所以,
    设,则,
    当时,令,得,单调递减,
    ,得,单调递增,
    所以,所以在上单调递减,不可能有3个零点,
    所以,令,得,单调递减,
    ,得,单调递增,
    所以,
    所以,所以,D正确.
    故选:ACD.
    12.答案:2;.
    解析:因为,故;
    在上的投影向量为,又,则;
    故在上的投影向量的坐标为.
    故答案为:;.
    13.答案:
    解析:由余弦定理可得,
    所以,
    于是有.
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:如图,由对称性可知,折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大,
    此时,折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.
    由正六边形的性质和对称性知,,,
    在中,由余弦定理可得:

    得,
    由基本不等式可知,则,
    故,
    因,,解得,
    当且仅当时等号成立,
    故,
    又正六边形的面积,
    所以折叠后的面积最大值为:.
    故答案为:.
    15.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)由余弦定理可得,
    代入,得到,化简得,
    即.由正弦定理可得,
    即,展开得,
    即,所以.
    (2)由得,
    故,
    当且仅当,即时等号成立.
    因为,所以,所以C的最大值为.
    16.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)取中点F,连接,.
    ,,,,
    ,,
    四边形为平行四边形,

    又平面,平面,
    平面.
    (2)取中点O,中点G,连接,,可得,.
    平面平面,平面平面,,平面,
    平面.
    ,,
    .
    以O为原点,以,,所在直线为x轴、y轴、z轴,
    建立如图所示空间直角坐标系.
    因为,,,是等边三角形,
    所以,,,
    所以,,,.
    则,,.
    设平面的法向量为,由,,
    可得,令,可得,,
    从而是平面的一个法向量.
    则,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    17.答案:(1)
    (2)分布列见解析;
    解析:(1)由题可得:取出2只都不来自同一双的概率为:.
    (2)由题可知X的取值为:0,1,2,
    ,,,
    故X的分布列为:

    故.
    18.答案:(1)
    (2)是,证明见解析
    解析:(1)依题意,,,,则直线的斜率为,
    则直线,即;
    联立,得,解得或,
    故所求弦长为.
    (2)的外心落在双曲线C在点P的切线上,证明过程如下,
    设双曲线C在点P的切线斜率为k,则在点P处的切线方程为,
    联立得,
    其中,则,
    而,故,代入上式可得,,
    解得,故双曲线C在点P处的切线方程为,即.
    直线的斜率为,线段的中点为,
    故直线的中垂线方程为,
    联立可得,故外心坐标为,
    其满足,故的外心落在双曲线C在点P处的切线上.
    19.答案:(1)或
    (2)
    (3)不能,理由见解析
    解析:(1)若,则,解得,则,与题设矛盾,舍去;
    若,则,得,
    而,解得或,
    故或.
    (2)设等差数列,,,…,的公差为d,
    因为,则,则,,
    由,得,,,
    而,故,,
    两式相减得,即,
    又,得,
    所以.
    (3)记,,,…,中所有非负项之和为A,负项之和为B,
    因为数列为“N阶可控摇摆数列”,则得,,
    故,所以.
    若存在,使得,即,
    则,,…,,,,…,,
    且.
    假设数列也为“N阶可控摇摆数列”,记数列的前n项和为,
    则,
    因为,所以.
    所以,;
    又,则,,…,.
    所以;
    即与不能同时成立.
    故数列不为“N阶可控摇摆数列”.
    0.100
    0.050
    0.010
    0.005
    0.001
    k
    2.706
    3.841
    6.635
    7879
    10.828
    X
    0
    1
    2
    P
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