四川省眉山市两校（丹棱中学校、青神中学校）2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

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总分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数（）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．在中，角所对的边分别是．已知，则（ ）
A． B．C．1 D．
二、多选题（部分选对得2分，选错0分，全对5分，共20分）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
11. 若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8． B．的最小值为
C．的最大值为． D．的最小值为．
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知平面向量，满足，，若，则向量，的夹角的余弦值为 ．
14．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ．
15．已知且，函数满足对任意不相等的实数x1，x2，都有
成立，则实数的取值范围 ．
16．在中，，若点为的中点，则的取值范围为 .
四、解答题（共6题，满分70分）
17．（10分）已知集合．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递减．
20．（12分）已知在中，角所对的边分别为.
(1)若，证明：是等腰三角形；
(2)若，求的值.
21．（12分）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
22．（12分）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
(1)求；
(2)求证：.
(3)求的取值范围。