天津市部分区2024届高三质量调查（二）数学试卷

这是一份天津市部分区2024届高三质量调查（二）数学试卷，共20页。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件，互斥，那么．
·如果事件，相互独立，那么．
·棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高．
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再求出即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案.
【详解】由，当时，则；当时，则；
因，则可知，所以；
故“”是“”的必要不充分条件，故B项正确.
故选：B.
3. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B.
4. 在数列中，若（），则值为（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，所以，
当时，，所以.
故选：D.
5. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，
因，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，所以时，，
单调递增，当时，，单调递减，故D错误，
故选：C.
6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，得到，代入渐近线方程，进而求出，再根据求出离心率.
【详解】
由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，
则点，
又因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以双曲线离心率，
故选：D.
7. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）
A. 的值为0.015B. 估计这组数据的众数为80
C. 估计这组数据的第60百分位数为87D. 估计成绩低于80分的有350人
【答案】C
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.
【详解】易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为，
故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，
则，解得，所以C正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.
故选：C.
8. 在各棱长均为2的正三棱柱中，上下底面的中心分别为，，三个侧面的中心分别为，，，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得正三棱柱的体积与挖去的两个三棱锥的体积，可求剩余几何体的体积.
【详解】如图所示：
因为三个侧面的中心分别为，
所以三棱锥和三棱锥的底面面积为，
高为正三棱柱的高的一半，
故挖去的几何体的体积为，
三棱柱的体积为，
故剩余几何体的体积为.
故选：A.
9. 已知函数，关于有下面四个说法：
的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；
在区间上单调递增；
当时，的取值范围为；
在区间上有个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先把用三角恒等变换公式化简，再逐一比对各个命题，判断真假即可.
【详解】因为，
即.
对于，函数的图象向右平行移动个单位长度，
得到，所以正确；
对于，，则，
先减后增，所以错误；
对于，当，则，
当且仅当时，即时，，
当且仅当时，即，，
所以的取值范围为，所以正确；
对于，由，则，
则当时，，
所以在上有个零点，所以错误.
故选：B.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 已知是虚数单位，化简的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数乘除法法则进行计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
11. 的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)
【答案】.
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解.
【详解】由题意二项式展开式的通项为，
令，可得展开式的常数项为.
故答案为：.
12. 过点的直线与圆相交于，两点，且与抛物线相切，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先设出直线方程，由直线与抛物线相切解出斜率，再由直线与圆相交的弦长公式求出即可.
【详解】由题可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，
由，消去得，
因为直线与抛物线相切，所以，
解得，即直线方程为：，化为一般式为，
又因为圆的圆心为，半径，
则圆心到直线距离为，
所以.
故答案为：.
13. 盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______．
【答案】 ①. ②. ##0.8
【解析】
【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.
【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，
则，，
所以；
由题意可得的取值为，
，
所以，
故答案为：；.
14. 在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为__________，若，,则面积的最大值为______．
【答案】 ①. ， ②.
【解析】
【分析】根据几何关系，表示向量；设，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根据，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.
【详解】由点是的中点，
则；
设，，
则，
，
，
，
所以，得,,
所以，即，
因为，
所以，
，
即，即，当时，即时等号成立，
所以面积的最大值为.

故答案为：；.
15. 已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可.
【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意；
当时，当时，，对称轴为，
当时，，此时函数在上单调递减;
当时，，
当时，开口向上，大致图象如图所示：
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，且，使得成立，满足题意;
当时：
当时，函数的开口下，对称轴，
①当，即时，
易知函数在和上单调递减，在上单调递增，
大致图象如图所示：
由此可知，，且，使得成立，满足题意;
②当时，即时，
此时函数的大致图象如图所示：
易知函数在R上单调递减，
所以不存在，且，使得成立;
综上，的取值范围为：，
故答案为：.
【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理求解即可；
（3）在中，先由求出，进而求出，，然后用两角差的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
由余弦定理得
，
所以．
【小问2详解】
由正弦定理得，即，
解得
【小问3详解】
在中，，所以
因为，所以为锐角，
所以，
17. 如图，平面，，，，，为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明；
（2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解；
（3）设，借助，求得值，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由已知可得，，，，，
因为为的中点，所以，
所以，，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
，，
设平面的法向量，则
，即，令得，
所以．
平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
设且（），
，则，，，
所以，所以，，
所以，
化简得，
解得或（舍），
因为，所以．
18. 设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得.
【小问1详解】
依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，
由消去得：，
则，解得，，又，
由（1）知，，，
由，得，
即，解得，
所以直线的方程.
19. 已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，（）．
（1）求和的通项公式；
（2）求；
（3）设数列满足（），证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的性质求得数列首项与公差，可求的通项公式，由已知可得，可求数列的通项公式；
（2）由（1）的结论代入计算可求的值；
（3）由已知放缩可得，进而可得，利用错位相减法可求得，可求结论.
【小问1详解】
设的公差为，由题意
，，
，，
所以，
当时，，
所以，所以，
当时，，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，
所以，
设，
则，
，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用放缩法得，再利用错位相减法对右边求和即可.
20. 已知函数，．
（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；
（2）当时，证明：，；
（3）若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对于，求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）将问题化为证明恒成立，构造函数，利用导数即可得证.
（3）构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数分类讨论与两种情况，从而得解.
【小问1详解】
由，可知，
因为在处的切线斜率为2，
所以，所以，．
【小问2详解】
证明：当时，，要证，
即证，两边取对数得，，
即证，
令，只需证即可．
．
所以，在上单调递减．
所以，成立，
所以，.
【小问3详解】
若区间上恒成立，
即在区间上恒成立．
令．则，
令，，因为，
所以，所以，
所以在时单调递增．
可知．
当时，，即，所以在时单调递增．
所以成立．
当时，，
当时，，
所以使得．
当时，，即，所以此时单调递减；
当时，，即，所以此时单调递增；
所以，不成立，舍去．
综上，．
【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：
1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式；
2.求在时的最大值或者最小值；
3.解不等式或，得到的取值范围.