2024年山东省乐陵市宁津县联考九年级第一次练兵考试数学试题 （原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，负数的是（ ）
A. |－2023|B. C. 2024D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查负数的识别及绝对值、相反数的化简，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
【详解】解：A.，则A不符合题意；
B. ，则B符合题意；
C. 2024是正数，则C不符合题意；
D. 是正数，则D不符合题意；
故选：B.
2. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，
故选：A.
【点睛】此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键.
3. 2023年8月29日华为公司上市的手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：D．
4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．
【详解】解：卷纸的主视图应是：
，
故选：C．
5. 某超市水果销售部为了提高营业员的积极性（使一半左右营业员的月销售额都能达标），实行“每天定额售量，超出有奖”的措施．如果你是管理者，你选择确定“定额”的统计量为（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中位数的意义，中位数是将组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
根据中位数概念解答即可．
【详解】解：为了提高营业员的积极性，使一半左右营业员的月销售额都能达标，选择确定“定额”的统计量为中位数，
故选：D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算法则、平方差公式和整式除法法则等知识，直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、平方差公式和整式除法法则分别化简各式即可．
【详解】解：A、，故此选项计算错误；
B、，故此选项计算错误；
C、，故此选项计算正确；
D、，故此选项计算错误；
故选：C．
7. 已知关于的方程的两根分别是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．
【详解】解：，，
∴，
故选D．
8. 如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，，，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
，
，
、是的切线，
，
，
，
∴
在中，
，
∴
（负值舍去），
故选：B．
9. 新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元列等式求解即可得到答案；
【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得，
，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解．
10. 如图，交双曲线于点，且，若的面积是，，且轴，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质和判定，求出是关键．作轴，得到∽，利用面积比等于相似比的平方求出后可得值．
【详解】解：如图，作轴，垂足为点，
轴，
，
又，
，
，
，
，
，
的面积是，
，
，
．
故选：B．
11. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，
，
；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，
过点C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
12. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( )
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可．
【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：
；
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且，解得：，且，
；
第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且，
解得，
综上，的取值范围为或．
故选：C
二、填空题 （4×6=24分）
13. 当时，二次根式的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故答案为：3．
14. 小明和小强都想报名参加学校周五下午的拓展课，小明想选择书法、篮球与合唱中的一门课，小强想选择篮球和围棋中的一门课，则两人同时选择篮球课的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
先列表，根据表格确定所有等可能的结果数量和两人同时选择篮球课的结果数量，再用概率的公式求解即可．
【详解】列表如下：
观察表格可得，所有等可能的结果有6种，其中两人同时选择篮球课的结果有1种，
∴两人同时选择篮球课的概率是：，
故答案为：．
15. 将按如图所翻折，为折痕，若，则______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子．
【详解】解：设交于点，交于点，
由折叠得：，，
∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17. 在平面直角坐标系中，，点是轴上的动点．当取得最小值时，______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法，轴对称-最短路线问题，掌握待定系数法，将军饮马模型是解题的关键．
确定点关于轴的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求出当取得最小值时的值．
【详解】解：取关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，
当取得最小值时，
设直线的解析式为：，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
解得，
故答案为：．
18. 如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解．
【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到，
设抛物线与轴的交点为，
抛物线，
时，，
，
设点，
由题意得：，
，
，
点的坐标为
故答案为：
三、解答题（共78分）
19. （1）化简：
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则以及解不等式组的方法是解题的关键．
（1）先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算；
（2）分别解每一个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为．
20. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，69，70
（2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【解析】
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【小问1详解】
从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
【小问2详解】
解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
【小问3详解】
结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
21. 如图，是湖心岛一座东西走向的仿古建筑，某中学的一个兴趣小组刚好来到笔直的南北走向的湖岸步行道，他们在A处测仿古建筑的一端C在北偏东方向上，继续行驶50米后到达B处，测得桥头D在北偏东方向上．已知仿古建筑长30米，求仿古建筑一端C到湖岸l的距离．（结果保留根号）

【答案】桥头C到公路l的距离为米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，延长交直线l于H，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图．延长交直线l于H，

设米，根据题意得，，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
米，
，
解得米，
答：桥头C到公路l的距离为米．
22. 为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【解析】
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝26x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
23. 如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点P，连接与相交于点．水面截线，，．
（1）如图（1）求水深；
（2）将图（1）中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长；
（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长．
【答案】（1）
（2）
（3）圆心运动的路径长为的长度
【解析】
【分析】本题考查圆的实际应用，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
（1）连接，由垂径定理及勾股定理求解即可得到答案；
（2）连接，过点作，与的延长线相较于点，利用三角形全等的判定与性质，结合勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据题意可知，滚动过程中圆心运动的路径长为的长度，求出弧对的圆心角带入公式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：连接，如图所示：

半圆与相切于点P，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
；
【小问2详解】
如图，连接，过点作，与的延长线相较于点，

，
，
在和中，
，
，
由（1）知，，
，，
，
中，由勾股定理可得；
【小问3详解】
如图所示：

由（1）可知，，
在中，，
，
，
由题意可得，圆心运动的路径长为的长度．
24. 已知抛物线．
（1）写出抛物线的对称轴：______．
（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）．
①求的函数解析式；
②若的面积为4，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．
（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
（2）根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点A的坐标代入求得的解析式，于是可设B的坐标为且，过点分别作x轴的垂线，利用可求得t的值，于是可求得点B的坐标．
（3）设，联立抛物线与直线的方程可得出再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为：直线．
故答案为：直线．
【小问2详解】
解：①∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，
∴可设抛物线的解析式为：
∵点有抛物线上，
∴
解得：．
∴抛物线的解析式为：
②∵点B在抛物线上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为且，
如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点．
∵
又
∴
解得：
∴（不合题意，舍去），则
∴．
【小问3详解】
解：设，联立方程组
整理得：，
∴
设过点M的直线解析式为，
联立得方程组，
整理得．①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴
∴．
∴由①式可得：
解得：．
∴．
∴过M点的直线的解析式为．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为，
联立上两式可得方程组，
解得，
∵
∴，
∴点P在定直线上．
25. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为．则称为“中垂三角形”．设．
（1）①如图1，当，时，______．______．
②如图2，当时，求和的值．
（2）请猜想、和三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
（3）如图4，在边长为3的菱形中，为对角线、的交点，分别为线段的中点，连接并延长交于点分别交于点，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）关系为：，见解析证明
（3）15
【解析】
【分析】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点．
（1）图1中，，即可求解；同理可得：；
（2），则，即可求解；
（3）证明：，则，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1、2、3、4，连接，
∵是的中线，
∴是的中位线，
∴，
，
∴，
∵，
则在图1中，，
由此得：，；
在图2中，，，
由此得：，，
，，
则；
【小问2详解】
关系为：，
证明：如图3，设：，
则：，
由（1）得：，
，，
，
则；
【小问3详解】
根据题意可得，
∴，
∴，，
∵分别为线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴分别是中点，
，
，
，
，，，
∵分别是中点，
∴是的中线，
∴是“中垂三角形”，
由（2）得，即，
则．
篮球
围棋
书法
篮球，书法
围棋，书法
篮球
篮球，篮球
围棋，篮球
合唱
篮球，合唱
围棋，合唱
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
月份
用水量（吨）
交费总数（元）
7
140
264
8
95
152