2024年四川省成都实验外国语学校中考数学一诊试卷(含答案)

这是一份2024年四川省成都实验外国语学校中考数学一诊试卷(含答案)，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+2＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
2．（4分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.4×108B．10.4×109C．1.04×108D．1.04×109
3．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．2a•3a＝6a2
4．（4分）在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分B．79.50分C．80.05分D．83.30分
5．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
6．（4分）在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则x的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（4分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a﹣b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④8a+c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式：a2+4a＝ ．
10．（4分）已知点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
11．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
12．（4分）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A′B′的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是 mm．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝AE，则∠BFC的度数为 ．
三、解答题（本大题共5个小题．共48分；解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
15．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
16．（8分）为推进山区经济发展，往往首先要架桥修路．某工程队计划将两座山的山腰M、N两点处连接起来修建一座大桥MN，现需要测量大桥MN的长度．如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角∠α＝38.7°，转身观察N处时的仰角∠NAD＝45°：然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角∠β＝76.1°．已知大桥MN与水平面CD平行，MC⊥CD，ND⊥CD，试求大桥MN的长度．
（参考数据：sin38.7°≈0.63，cs38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80，sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0）
17．（10分）如图，，连AB，AD，DB，半径OB交AD，AC于E，F两点，延长DA至点G，使得∠ABG＝∠ADB．
（1）求证：GB是⊙O的切线；
（2）若，求的值；
（3）连BD交AC于点H，若⊙O的半径为5，GE•AD＝88，求△GBD的周长．
18．（10分）如图，矩形OABC交反比例函数于点D，已知点A（0，4），点C（﹣2，0），S△ACD＝2．
（1）求k的值；
（2）若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；
（3）若四边形有一个内角为60°，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形ACPQ为角分四边形，求点P与点Q的坐标．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上）
19．（4分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且αβ+α+β＝9，则m的值为 ．
20．（4分）在如图的正方形区域内任意取一点P，则点P落在阴影部分的概率是 ．
21．（4分）已知等边△ABC的边长为5，点M在边AB上运动，点N在直线AC上运动，将△ABC沿着MN翻折，使点A落在直线BC上的点A′处，若，则AN＝ ．
22．（4分）如图，在四边形ABDC中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝3，BC＝5，若点M，点N分别在AB边和CD边上运动，且AM＝DN，连接MN，则MN的最小值为 ．
23．（4分）若两个正整数x，y满足且x≤y，则称x，y是一组“美丽数”，记为（x，y），则美丽数一共有 组．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分；解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
25．（10分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交AC于点E，连接EB，求S△PEB的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y＝﹣2x与新抛物线交于O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
26．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，点E是AD边上一动点，连接BE，在BE右侧作菱形EBGF使得菱形ABCD∽菱形EBGF，连接FG交BC于点R，连接CG．
【尝试初探】
（1）求证：△ABE≌△CBG；
【深入探究】
（2）若R为BC中点，求sin∠ABE的值；
【拓展延伸】
（3）①若DC＝3，△BRG是等腰三角形，求BR的值；
②若D，F，G三点共线，连接DB，求的值．
2024年四川省成都实验外国语学校中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分；请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上）
1．（4分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+2＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
【分析】根据不等式的基本性质对给出的式子进行变形，即可得出答案．
【解答】解：A、因为a＞b，所以a+2＞b+2，故本选项不合题意；
B、因为a＞b，所以a+1＞b+1，所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；
C、因为a＞b，所以﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、当a＝1，b＝﹣2时，|a|＜|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（4分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.4×108B．10.4×109C．1.04×108D．1.04×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：10.4亿＝1.04×109，
故选：D．
3．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．2a•3a＝6a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
4．（4分）在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分B．79.50分C．80.05分D．83.30分
【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
【解答】解：∵这组数据按照从小到大排列是：69.00分、69.30分、76.80分、79.50分、81.60分、83.30分．
∴这组数据的中位数是＝78.15（分），
故选：A．
5．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，
∵AB⊥AC，
由勾股定理得：OB＝＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
6．（4分）在一只不透明的口袋中放入除颜色外规格完全相同的白球x个，黑球8个，黄球4个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是白球的概率为，则x的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【解答】解：由题意知：，
化为整式方程，得x+8+4＝3x，
解得x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
故x的值为6，
故选：C．
7．（4分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设小和尚有x人，大和尚有（100﹣x）人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可．
【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚（100﹣x）人，由题意得：
3x+（100﹣x）＝100，
故选：C．
8．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a﹣b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④8a+c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对所给说法作出判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＞0，
所以ab＜0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
即2a+b＝0．
故②错误．
因为抛物线与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，
所以当﹣1＜x＜3时，函数图象有部分在x轴下方，即y＜0．
故③错误．
因为当x＝3时，函数值小于零，
所以9a+3b+c＜0，
又因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0．
又因为a＜0，
所以8a+c＜0．
故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式：a2+4a＝ a（a+4） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2+4a＝a（a+4）．
故答案为：a（a+4）．
10．（4分）已知点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 ．
【分析】由k2+1＞0，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2，
故答案为：y1＜y3＜y2．
11．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 12 ．
【分析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：∵E、F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中位线，
∴AC＝2EF＝6，
则S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×4＝12．
故答案为：12．
12．（4分）利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm远的物体AB，其在底片上的图象A′B′的宽是36mm，焦距是90mm，则物体AB的宽是 24 mm．
【分析】过点O作OE⊥A′B′，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝90mm，OF＝60mm，OF⊥AB，AB∥A′B′，然后证明8字模型相似△OA′B′∽△OAB，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OE⊥A′B′，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：OE＝90mm，OF＝60mm，OF⊥AB，AB∥A′B′，
∴∠OA′B′＝∠OAB，∠OB′A′＝∠OBA，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝24，
∴物体AB的宽是24mm，
故答案为：24．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝AE，则∠BFC的度数为 105° ．
【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到E点为AC的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE＝CE＝AE，则∠EDA＝∠A＝30°，再证明BD＝ED得到∠DBE＝∠DEB，然后根据三角形外角性质计算出∠DBE＝15°，接着计算出∠BFC．
【解答】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴E点为AC的中点，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴DE＝CE＝AE，
∴∠EDA＝∠A＝30°，
∵BD＝CE，
∴BD＝ED，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠EDA＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DBE＝∠ADE＝15°，
∴∠BFC＝∠DBF+∠BDF＝15°+90°＝105°．
故答案为：105°．
三、解答题（本大题共5个小题．共48分；解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
【分析】（1）第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用平方根的意义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
（3）利用求根公式x＝，进行解答即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×﹣5+﹣1＝﹣5；
（2）解不等式①得：x＜4.5；
解不等式②得：x≥1；
∴原不等式的解集为1≤x＜4.5．
（3）x2﹣5x﹣1＝0，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
15．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 200 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 198 度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【分析】（1）利用两图均有的蓝即可得到随机采访的学生人数，再用360°乘以灰的比例即可得到答案；
（2）用学校总人数乘以红色收集桶的比例；
（3）利用树状图列出所有情况及恰好抽中A，B两人的情况，根据即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，
此次调查一共随机采访了：44÷22%＝200（名），
“灰”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：200，198；
（2）由题意可得，（名），
答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数有288名；
（3）由题意可得，
根据上图可得，总共有6种情况，恰好抽中A，B两人的情况的有1种，
∴．
16．（8分）为推进山区经济发展，往往首先要架桥修路．某工程队计划将两座山的山腰M、N两点处连接起来修建一座大桥MN，现需要测量大桥MN的长度．如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角∠α＝38.7°，转身观察N处时的仰角∠NAD＝45°：然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角∠β＝76.1°．已知大桥MN与水平面CD平行，MC⊥CD，ND⊥CD，试求大桥MN的长度．
（参考数据：sin38.7°≈0.63，cs38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80，sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0）
【分析】根据平行线的判定定理得到CM∥DN，推出四边形CDNM是矩形，根据矩形的性质得到MN＝CD，CM＝DN，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵MC⊥CD，ND⊥CD，
∴CM∥DN，
∵MN∥CD，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD，CM＝DN，
在Rt△ADN中，∵∠DAN＝45°，
∴AD＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝76.1°，
∴BD＝＝，
∴AD﹣BD＝AB＝DN﹣＝50，
∴DN＝，
∴CM＝DN＝，BD＝，
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝38.7°，
∴AC＝＝×＝，
∴MN＝CD＝+50+＝150（米）．
17．（10分）如图，，连AB，AD，DB，半径OB交AD，AC于E，F两点，延长DA至点G，使得∠ABG＝∠ADB．
（1）求证：GB是⊙O的切线；
（2）若，求的值；
（3）连BD交AC于点H，若⊙O的半径为5，GE•AD＝88，求△GBD的周长．
【分析】（1）连接OC、OA、BC，运用同弧或等弧所对的圆周角相等及已知条件即可证得；
（2）证明△AFE≌△AFB（ASA），得BF＝EF，AE＝AB，由＝3设BF＝EF＝a，得OB＝OA＝3a，OF＝2a，利用勾股定理及平行线分线段成比例定理表示出相关线段即可得出答案；
（3）连接OA，证明△OBA∽△ABE，△ABG∽△BDG，BD＝BG，利用成比例的线段及勾股定理，用AB表示BG、DG，根据GE•AD＝88，求出AB即可得出周长．
【解答】（1）证明：连接OC、OA、BC，如图1，
∵＝＝
∴∠ADB＝∠BAC，AB＝BC，
∵OA＝OC，
∴OB垂直平分AC，
∴∠BAC+∠OBA＝90°
∵∠ABG＝∠ADB，
∴∠ABG+∠OBA＝90°
即OB⊥BG，
∵OB是⊙O的半径，
∴GB是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠AFE＝∠AFB＝90°，AF＝AF，
△AFE≌△AFB（ASA），
∴BF＝EF，AE＝AB，
∵＝3，
设BF＝EF＝a，
∴OB＝OA＝3a，OF＝2a，
∴AF＝＝＝a，
在Rt△AEF中，AE＝＝＝，
∴AB＝AE＝a，
∵AC⊥OB，BG⊥OB，
∴AC∥BG，
∴＝，即＝，
∴BG＝2a，
∴＝＝；
（3）解：连接OA，如图2，
∴∠AOB＝∠BAE，
∵∠OBA＝∠ABE，
∴△OBA∽△ABE，
∴＝，
∵AB＝AG＝AE，
∴AB2＝5BE，
∴BE2＝，
在Rt△BEG中，EG2＝BE2+BG2，
∴（2AB）2＝，
∴BG2＝，
∵∠D＝∠G＝∠ABG，
∴△ABG∽△BDG，BD＝BG，
∴＝，
∴BG2＝AB•DG，
∴AB•DG＝4AB2﹣，
∴，
∵GE•AD＝88，即2AB•（DG﹣AG）＝2AB•（DG﹣AB）＝88，
∴AB•（DG﹣AB）＝44，
∴AB•＝44，
∴AB2＝20或AB2＝55，
当AB2＝20时，AB＝2，BG＝BD＝8，DG＝，
∴C△BDG＝BD+BG+DG＝16+，
当 AB2＝55 时，，，，
∴C△BDG＝BD+BG+DG＝，
综上所述，△BDG的周长是或．
18．（10分）如图，矩形OABC交反比例函数于点D，已知点A（0，4），点C（﹣2，0），S△ACD＝2．
（1）求k的值；
（2）若过点D的直线分别交x轴，y轴于R，Q两点，，求该直线的解析式；
（3）若四边形有一个内角为60°，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y轴负半轴上运动，点Q在x轴正半轴上运动，若四边形ACPQ为角分四边形，求点P与点Q的坐标．
【分析】（1）由A（0，4），S△ACD＝2，可得AD＝1，D（﹣1，4），即可得k的值为﹣4；
（2）分两种情况：当R在x轴负半轴上，Q在y轴正半轴上，由＝2，△ADQ∽△ORQ，可得OR＝3，R（﹣3，0），故直线RQ的解析式为y＝2x+6；当R在x轴正半轴上，Q在y轴正半轴上，同理可得直线RQ解析式为y＝﹣2x+2；
（3）由A（0，4），C（﹣2，0），可知∠ACO＞60°，∠CAO＜30°；①当AP平分∠CAQ时，证明△AOC≌△AOQ（ASA），得OQ＝OC＝1，∠CAO＝∠QAO＜30°，∠ACO＝∠AQO＞60°，即知Q（1，0），∠CAQ＜60°，从而∠CPQ＝60°，可得P（0，﹣）；当AP平分∠CPQ时，同理可得Q（1，0），P（0，﹣）；②当CQ平分∠ACP，∠CAQ＝60°时，过C作CH⊥AQ于H，由△AOC≌△POC（ASA），得OA＝OP＝4，P（0，﹣4）；证明△AOQ∽△CHQ，有＝，设OQ＝m，则＝，解得Q（20﹣32，0）；当CQ平分∠AQP，∠CAQ＝60°时，同理可得P（0，﹣4），Q（20﹣32，0）；③当CQ平分∠ACP，∠AQP＝60°时，同理可得P（0，﹣4），Q（4，0）．
【解答】解：（1）∵A（0，4），S△ACD＝2，
∴AD×4＝2，
∴AD＝1，
∴D（﹣1，4），
把D（﹣1，4）代入y＝得：4＝，
解得k＝﹣4；
∴k的值为﹣4；
（2）当R在x轴负半轴上，Q在y轴正半轴上，如图：
∵＝2，
∴DR＝2DQ，
∴RQ＝3DQ，
∵AD∥OR，
∴△ADQ∽△ORQ，
∴＝，即＝，
∴OR＝3，
∴R（﹣3，0），
由D（﹣1，4），R（﹣3，0）得直线RQ的解析式为y＝2x+6；
当R在x轴正半轴上，Q在y轴正半轴上，如图：
同理可得R（1，0），
由R（1，0），D（﹣1，4）可得直线RQ解析式为y＝﹣2x+2；
综上所述，该直线的解析式为y＝2x+6或y＝﹣2x+2；
（3）∵A（0，4），C（﹣2，0），
∴OA＝2OC，
∴∠ACO＞60°，∠CAO＜30°；
①当AP平分∠CAQ时，如图：
∵∠AOC＝∠AOQ＝90°，∠CAO＝∠QAO，OA＝OA，
∴△AOC≌△AOQ（ASA），
∴OQ＝OC＝1，∠CAO＝∠QAO＜30°，∠ACO＝∠AQO＞60°，
∴Q（1，0），∠CAQ＜60°，
∴当四边形ACPQ为角分四边形，需∠CPQ＝60°，
由OQ＝OC知，C，Q关于直线OP对称，
∴∠CPO＝∠QPO＝30°，
∴OP＝OC＝，
∴P（0，﹣）；
当AP平分∠CPQ时，
同理可得Q（1，0），需∠CPQ＝60°，故P（0，﹣）；
∴P的坐标为（0，﹣），Q的坐标为（1，0）；
②当CQ平分∠ACP，∠CAQ＝60°时，过C作CH⊥AQ于H，如图：
∵∠ACO＝∠PCO，∠AOC＝∠POC，OC＝OC，
∴△AOC≌△POC（ASA），
∴OA＝OP＝4，
∴P（0，﹣4）；
∵OA＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2，
∵∠ACH＝90°﹣∠CAQ＝30°，
∴AH＝AC＝，CH＝AH＝，
∵∠AOQ＝∠CHQ＝90°，∠AQO＝∠CQH，
∴△AOQ∽△CHQ，
∴＝，
设OQ＝m，则CQ＝m+2，AQ＝，
∴＝，
解得m＝20﹣32或m＝﹣20﹣32（舍去），
∴Q（20﹣32，0）；
当CQ平分∠AQP，∠CAQ＝60°时，同理可得P（0，﹣4），Q（20﹣32，0）；
∴P的坐标为（0，4），Q的坐标为（20﹣32，0）；
③当CQ平分∠ACP，∠AQP＝60°时，如图：
同理可得P（0，﹣4），OQ＝OA＝4，
∴Q（4，0），
当CQ平分∠AQP，∠AQP＝60°时，可知P（0，﹣4），Q（4，0）；
综上所述，P的坐标为（0，﹣），Q的坐标为（1，0）或P的坐标为（0，4），Q的坐标为（20﹣32，0）或P的坐标为（0，﹣4），Q的坐标为（4，0）．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上）
19．（4分）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且αβ+α+β＝9，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出α+β＝1﹣2m，αβ＝m2，结合αβ+α+β＝9，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
根据根与系数的关系，可得α+β＝1﹣2m，αβ＝m2，
∵αβ+α+β＝9，
∴m2+1﹣2m＝9，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝4，
又∵m≤，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
20．（4分）在如图的正方形区域内任意取一点P，则点P落在阴影部分的概率是 1﹣ ．
【分析】设每个小正方形的边长为a，再用a表示出大正方形的面积及阴影部分的面积，利用概率公式解答即可．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，则大正方形的边长为2a，其面积为4a2，
空白部分的面积＝πa2，
故点P落在阴影部分的概率＝＝＝1﹣．
故答案为：1﹣．
21．（4分）已知等边△ABC的边长为5，点M在边AB上运动，点N在直线AC上运动，将△ABC沿着MN翻折，使点A落在直线BC上的点A′处，若，则AN＝ 或 ．
【分析】此题要分两种情况进行讨论：①当点A落在线段BC上时；②当A在CB的延长线上时，首先证明△BMA′∽△CA′N．根据相似三角形的性质可得＝＝，再设AN＝x，则CN＝5﹣x，然后利用含x的式子表示A′M、BM，根据BM+A′M＝5列出方程，解出x的值可得答案．
【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠MA′N＝60°，
∵∠MA′C＝∠B+∠BMA′，∠B＝∠MA′N，
∴∠BMA′＝∠NA′C，
∴△BMA′∽△CA′N．
∴＝＝，
由折叠知，A′N＝AN，AM＝A′M，
∴＝＝，
∵BA′：A′C＝1：4，BC＝5，
∴A′B＝1，CA′＝4，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∴＝＝，
∴A′M＝，BM＝，
∵BM+A′M＝5，
∴+＝5，
解得x＝，
∴AN＝；
②当A在CB的延长线上时，如图2，
由折叠知，∠MA′N＝∠A＝60°＝∠MA′B+∠CA′N，AM＝A′M，
∵∠CA′N+∠CNA′＝∠ACB＝60°，
∴∠MA′B＝∠CNA′，
又∵∠A′BM＝180°﹣∠ABC＝120°，∠BCN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠A′BM＝∠NCA′，
∴△BMA′∽△CA′N．
∴＝＝，
∵BA′：A′C＝1：4，BC＝5，
∴BA′＝，CA′＝，
设AN＝x，则CN＝x﹣5，
∴＝＝，
∴A′M＝，BM＝，
∵BM+A′M＝5，
∴+＝5，
解得：x＝，
∴AN＝．
故答案为：或．
22．（4分）如图，在四边形ABDC中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝3，BC＝5，若点M，点N分别在AB边和CD边上运动，且AM＝DN，连接MN，则MN的最小值为 ．
【分析】作∠BAC的平分线交BC于点O，连接DO，AD，OM，ON，AD交BC于点F．通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果．
【解答】解：如图：作∠BAC的平分线交BC于点O，连接DO，AD，OM，ON，AD交BC于点F．
则，
在Rt△ABC和Rt△DBC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL），
∴∠ACB＝∠DCB，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SAS），
∴AO＝DO，∠OAC＝∠ODC＝45°，
∴∠BAO＝∠ODC，
在△OMA和△OND中，
，
∴△OMA≌△OND（SAS），
∴OM＝ON，∠AOM＝∠DON，
∵∠MON＝∠AOM+∠AON，∠AOD＝∠AON+∠DON，
∴∠MON＝∠AOD，
又∵，
∴△MON∽△AOD，
∴，
∴，
过点O作OE⊥AB于E，
则OE∥AC，
∴△OEB∽△CAB，
∴，
∴，
∵，
∴OE＝AE，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ACF和△DCF中，
，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠AFC＝∠DFC，AF＝DF，
∵∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥BC，
∵，
，
∴，
∴，
∴MN＝＝•OM，
∴当OM取最小值时MN的值最小，
∵点O为定点，
∴当OM⊥AB时OM的值最小，
∵OE⊥AB，
∴O M的最小值为OE的值，
∴，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
23．（4分）若两个正整数x，y满足且x≤y，则称x，y是一组“美丽数”，记为（x，y），则美丽数一共有 8 组．
【分析】由2015的质数有1，5，13，31，65，153，403，2015，可得出美丽数一共有8组．
【解答】解：∵2015＝5×13×31，
∴2015的质数有1，5，13，31，65，153，403，2015．
∴×+×＝；
×+×＝；
×+×＝；
×+×＝；
×+×＝；
×+×＝；
×+×＝；
×+×＝，
∴美丽数一共有8组．
故答案为：8．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分；解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
【分析】（1）根据每月的利润z＝（x﹣18）y，再把y＝﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z＝350代入z＝﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；
（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题．
【解答】解：（1）z＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）由z＝350，得350＝﹣2x2+136x﹣1800，
解这个方程得x1＝25，x2＝43，
所以，销售单价定为25元或43元，
将z＝﹣2x2+136x﹣1800配方，得z＝﹣2（x﹣34）2+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（2）及函数z＝﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，
当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y＝﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
25．（10分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交AC于点E，连接EB，求S△PEB的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y＝﹣2x与新抛物线交于O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△PBD＝PL×（xB﹣xD）＝（﹣m2﹣m+9）×5＝﹣m2﹣2m+，S△EBD＝S△CBD＝×CD×OB，S△PEB＝S△PBD﹣S△EBD＝﹣m2﹣2m，即可求解；
（3）确定﹣mn＝5（m+n）+50，求出点P的坐标为：（，），即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，﹣4），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）令y＝x2﹣x﹣4＝0，则x＝5或﹣4，
即点B（5，0），
∵BD∥AC，
则直线BD的表达式为：y＝﹣x+5，即点D（0，5），
过点P作LP∥y轴交BD于点L，
设点P（m，m2﹣m﹣4），则点L（m，﹣m+5），
则PL＝﹣m+5﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2﹣m+9，
则S△PBD＝PL×（xB﹣xD）＝（﹣m2﹣m+9）×5＝﹣m2﹣2m+，
∵BD∥AC，
则S△EBD＝S△CBD＝×CD×OB＝（5+4）×5＝，
则S△PEB＝S△PBD﹣S△EBD＝﹣m2﹣2m，
∵＜0，
故S△PEB有最大值2，此时m＝﹣2，点P的坐标（﹣2，﹣）；
（3）在定直线，理由：
如图2，点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝﹣2x，
∴G（﹣10，20）．
∵H是OG的中点，
∴H（﹣5，10）．
设 Q（m，m2），R（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
由点Q、R的坐标得：直线RQ的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H，
则10＝（m+n）×5﹣mn．
∴﹣mn＝5（m+n）+50．
同理，直线GR的解析式为y＝（n﹣10）x﹣2n；直线GO的解析式为y＝mx．
联立上述两个函数表达式得：（n﹣10）x﹣2n＝mx，
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，），
设点P在直线y＝kx+b上，
则＝k×+b
整理得，﹣100﹣10m﹣10n＝bm+n（10k﹣b）+10b
比较系数，得：b＝﹣10，k＝﹣2，
∴当k＝﹣2，b＝﹣10时，无论m，n为何值时，都符合题设条件．
∴点P在定直线y＝﹣2x﹣10上．
26．（12分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，点E是AD边上一动点，连接BE，在BE右侧作菱形EBGF使得菱形ABCD∽菱形EBGF，连接FG交BC于点R，连接CG．
【尝试初探】
（1）求证：△ABE≌△CBG；
【深入探究】
（2）若R为BC中点，求sin∠ABE的值；
【拓展延伸】
（3）①若DC＝3，△BRG是等腰三角形，求BR的值；
②若D，F，G三点共线，连接DB，求的值．
【分析】（1）利用菱形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
（2）利用菱形的性质和全等三角形的性得到∠BCG＝∠A，∠BGR＝∠A，则∠BCG＝∠BGR，利用相似三角形的判定与性质得到BG2＝BR•BC；设BR＝x，则BC＝2x，，过点R作RH⊥BG于点H，设RH＝y，则有，利用勾股定理得到y与x的关系式，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）①利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当∠BRG＝∠BGR＝30°时，此种情况不符合题意；当∠RBG＝∠BGR＝30°时，△BRG 是等腰三角形，则有∠RBG＝∠BCG＝30°，利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得到BR+CR＝BC＝AD＝3，则结论可求；当∠RBG＝∠BRG时，此时点D、E重合，点F、R重合，过点R作RM⊥CG于点M，RM＝x，则有，CR＝2x，GM＝RM＝x，列出关于x的方程解答即可得出结论；
②设菱形ABCD的边长为m，则线段BD的长就为定值，根据同弧所对圆周角相等可知点B、G、C、D四点共圆，作出该圆，利用圆周角定理和菱形的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理得到BD＝DR，过点B作BN⊥DG于点N，利用等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形的边角关系定理求得DN＝GN＝BD•cs∠BDG＝BD，则，，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，EBGF都是菱形，
∴AB＝CB，BE＝BG，
∵菱形ABCD∽菱形EBGF，
∴∠ABC＝∠EBG，
∴∠ABE＝∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABE≌△CBG，
∵∠A＝30°，
∴∠BCG＝∠A＝30°，
∵菱形ABCD∽菱形EBGF，
∴∠BGR＝∠A＝30°，
∴∠BCG＝∠BGR，
∵∠CBG＝∠GBR，
∴△BCG∽△BGR，
∴，
∴BG2＝BR•BC．
∵R为BC中点，
∴，
∴设BR＝x，则BC＝2x，
∴BG2＝2x2，
∴，
过点R作RH⊥BG于点H，如图，
设RH＝y，则有，
∴，
∴在Rt△BHR中，
由勾股定理可得：，
解得：，y2＝x，
∴当时，则有BH＝x﹣y＝x．
当时，则有x＜0，不符合题意；
∴．
∴．
（3）解：①当∠BRG＝∠BGR＝30°时，则有∠RBG＝120°，
由点D、E重合时，，
此时∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝150°﹣75°＝75°，
∴当∠RBG＝120°时，不符合点E在边AD上；
当∠RBG＝∠BGR＝30°时，△BRG 是等腰三角形，则有∠RBG＝∠BCG＝30°，如图，
∴∠BGC＝120°，BR＝RG，
∴∠CGR＝90°，
∴CR＝2RG，
∴BR+CR＝BC＝AD＝3，
即3BR＝3，
∴BR＝1；
当∠RBG＝∠BRG时，如图，
∵△BRG是等腰三角形，∠BGR＝30°，
∴∠RBG＝∠BRG＝75°，∠EBG＝150°，
∴∠EBC＝75°，
∴点D、E重合，点F、R重合，
∴∠BGC＝180°﹣∠RBG﹣∠BCG＝75°＝∠CBG，
∴CG＝CB＝3，∠RGC＝∠BRG﹣∠BCG＝45°，
过点R作RM⊥CG于点M，如图，
∴RM＝GM，，
设RM＝x，则有，CR＝2x，GM＝RM＝x，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，当△BRG是等腰三角形，或1；
②设菱形ABCD的边长为m，则线段BD的长就为定值，
由题意可知∠DCB＝∠DGB＝30°，
根据同弧所对圆周角相等可知点B、G、C、D四点共圆，如图，
∴∠BCG＝∠BDG＝30°．
∴BD＝BG，
∵在菱形ABCD中，∠DCB＝30°，DC＝BC，
∴∠DBC＝75°．
∴∠DRB＝180°﹣∠BDG﹣∠DBC＝75°＝∠DBC，
∴BD＝DR，
过点B作BN⊥DG于点N，如图，
则DN＝GN＝BD•cs∠BDG＝BD，
∴
∴，
∴．
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