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湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷Word版含答案
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这是一份湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷Word版含答案，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，记，则，记等比数列的前项和为，若，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
武汉市教育科学研究院命制
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则（ ）
A.1 B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.的展开式中含项的系数为（ ）
A.-50 B.50 C.-10 D.10
5.记，则（ ）
A. B.
C. D.
6.记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
8.已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知函数，则（ ）
A.函数是奇函数 B.函数是偶函数
C.的最大值是 D.在区间上单调递减
10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A.图（1）的平均数中位数众数
B.图（2）的平均数<众数<中位数
C.图（2）的众数中位数<平均数
D.图（3）的平均数中位数众数
11.定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.函数是周期函数 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________.
13.已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________.
14.设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
16.（15分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
17.（15分）
如图，三棱柱中，侧面底面，，点是棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.
（1）证明：点在定直线上；
（2）若面积为，求点的坐标；
（3）若四点共圆，求点的坐标.
19.（17分）
已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
（1）对于正整数，求，并根据求；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
填空题：
12.12 13. 14.
解答题：
15.（13分）解：
（1）由题意，，得：.
所以.
又，且，所以.
由，故.
（2），所以.
由余弦定理，.
又.
联立得：.
.
所以的周长为.
16.（15分）解：
（1）时，.
.
所求切线方程为，整理得：.
（2）.
因为，故时，在上递增.
当时，对于.
若，则，此时在上递增.
若，令，得.
时，递增；时，递增；
时，递减；
综上所述：时，在上递增；
时，在上递增，在上递减，
在上递增，
17.（15分）解：
（1）连接.
满足，所以，即.
平面平面，且交线为，由，得平面.
由平面，得，又，且，所以平面.由平面，得.
设，有，解得：.
所以，满足，即，所以平面.
由平面，得.
（2）以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系.
，
.
设平面的法向量，
由，即，
取，得到平面的一个法向量.
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.（17分）解：
（1）设.
由，得，所以方程为：，整理得：.
同理，方程为：.
联立得：.
设直线的方程为，与抛物线方程联立得：
故，所以，有.
所以点在定直线上.
（2）在的方程中，令，得，
所以面积.
故，带入可得：.
，解得：或.
所以点的坐标为或.
（3）抛物线焦点，由得直线斜率，
所以，同理，所以是外接圆的直径.
若点也在该圆上，则.
由，得直线的方程为：.
又点在定直线上，
联立两直线方程，解得点的坐标为.
19.（17分）解：
（1），
，
记，
则，
相减得：
由题意：.
（2）（i）.
解得：.
（ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为.
即.
整理得：，即.
所以.
由（1）知，
代入得：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
A
D
B
C
B
BD
ACD
BCD
武汉市教育科学研究院命制
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则（ ）
A.1 B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.的展开式中含项的系数为（ ）
A.-50 B.50 C.-10 D.10
5.记，则（ ）
A. B.
C. D.
6.记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
8.已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B.3 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知函数，则（ ）
A.函数是奇函数 B.函数是偶函数
C.的最大值是 D.在区间上单调递减
10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A.图（1）的平均数中位数众数
B.图（2）的平均数<众数<中位数
C.图（2）的众数中位数<平均数
D.图（3）的平均数中位数众数
11.定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A.为偶函数 B.为奇函数
C.函数是周期函数 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________.
13.已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________.
14.设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知三个内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积，且，求的周长.
16.（15分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
17.（15分）
如图，三棱柱中，侧面底面，，点是棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.
（1）证明：点在定直线上；
（2）若面积为，求点的坐标；
（3）若四点共圆，求点的坐标.
19.（17分）
已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
（1）对于正整数，求，并根据求；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
武汉市2024届高中毕业生四月调研考试
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
填空题：
12.12 13. 14.
解答题：
15.（13分）解：
（1）由题意，，得：.
所以.
又，且，所以.
由，故.
（2），所以.
由余弦定理，.
又.
联立得：.
.
所以的周长为.
16.（15分）解：
（1）时，.
.
所求切线方程为，整理得：.
（2）.
因为，故时，在上递增.
当时，对于.
若，则，此时在上递增.
若，令，得.
时，递增；时，递增；
时，递减；
综上所述：时，在上递增；
时，在上递增，在上递减，
在上递增，
17.（15分）解：
（1）连接.
满足，所以，即.
平面平面，且交线为，由，得平面.
由平面，得，又，且，所以平面.由平面，得.
设，有，解得：.
所以，满足，即，所以平面.
由平面，得.
（2）以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系.
，
.
设平面的法向量，
由，即，
取，得到平面的一个法向量.
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.（17分）解：
（1）设.
由，得，所以方程为：，整理得：.
同理，方程为：.
联立得：.
设直线的方程为，与抛物线方程联立得：
故，所以，有.
所以点在定直线上.
（2）在的方程中，令，得，
所以面积.
故，带入可得：.
，解得：或.
所以点的坐标为或.
（3）抛物线焦点，由得直线斜率，
所以，同理，所以是外接圆的直径.
若点也在该圆上，则.
由，得直线的方程为：.
又点在定直线上，
联立两直线方程，解得点的坐标为.
19.（17分）解：
（1），
，
记，
则，
相减得：
由题意：.
（2）（i）.
解得：.
（ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为.
即.
整理得：，即.
所以.
由（1）知，
代入得：.题号
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4
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7
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10
11
答案
D
B
C
A
D
B
C
B
BD
ACD
BCD
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