2024年小升初数学典型例题系列-第七模块 立体图形专项训练-(原卷版+解析版)

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【专项训练一】基础过关
一、填空题。
1．在小学学习中，这样的一幅图可以表示不同知识之间的关系。如果B表示长方体，那么A表示( )；如果A表示方程，那么B表示( )。
【答案】 正方形 等式
【分析】正方形的特殊的长方形，则正方形是长方形，但是长方形并不一定是正方形。
含有未知数的等式是方程。方程肯定是等式，但是等式不一定是方程。
【详解】B表示长方体，那么A表示正方形；如果A表示方程，那么B表示等式。
2．在一个从里面量长6厘米，宽2厘米，高3厘米长方体纸盒内，摆体积是1立方厘米的小正方体木块。一行可以摆( )个，一层可以摆( )行，可以摆( )层，一共可以摆( )个木块。这个长方体纸盒所含的( )的多少，就是这个纸盒里面体积单位的个数，也就是这个纸盒的( )。
【答案】 6 2 3 36 小正方体 容积
【分析】已知小正方体的体积是1立方厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，可知小正方体的棱长是1厘米；先用除法求出长方体的长、宽、高里面各有几个1厘米即可确定每行摆几个、摆几行以及几层，然后相乘即是摆的小正方体的总个数；最后根据体积单位及容积的概念解答。
【详解】因为1×1×1＝1（立方厘米），所以小正方体木块的棱长是1厘米。
6÷1＝6（个）
2÷1＝2（行）
3÷1＝3（层）
6×2×3＝36（个）
一行可以摆6个，一层可以摆2行，可以摆3层，一共可以摆36个木块。这个长方体纸盒所含的小正方体的多少，就是这个纸盒里面体积单位的个数，也就是这个纸盒的容积。
3．明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是( )cm3。
【答案】5
【分析】从上面看，几何体最下层有3个小正方体；从正面看，有2层，下层有2个小正方形体，上层有2个小正方体；从左面看有2层，上层1个小正方体，下层2个小正方体，可知这个几何体是，共有5个小正方体组成；根据正方体的体积：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，进而求出几何体的体积。
【详解】根据分析可知，几何体为，一共由5个小正方体组成。
1×1×1×5
＝1×1×5
＝1×5
＝5（cm3）
明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是5cm3。
4．将30L的水倒入一个长5dm，宽3dm，高2.5dm的长方体鱼缸中，水面距离缸口还有( )dm。
【答案】0.5
【分析】1L＝1dm3，把30L换算成dm3；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出30L水倒入长方体鱼缸中水的高度，再用长方体鱼缸的高度－水的高度，即可解答。
【详解】30L＝30dm3
2.5－30÷（5×3）
＝2.5－30÷15
＝2.5－2
＝0.5（dm）
将30L的水倒入一个长5dm，宽3dm，高2.5m的长方体鱼缸中，水面距离缸口还有0.5dm。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
5．用一根48厘米长的铁丝焊成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 96 64
【分析】先利用正方体的棱长总和＝棱长×12，用48厘米除以12，求出正方体的棱长，再通过正方体的表面积公式：和正方体的体积公式：V＝，代入数据即可求出正方体的表面积和体积。
【详解】48÷12＝4（厘米）
6×4×4＝96（平方厘米）
4×4×4＝64（立方厘米）
即这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和、正方体的表面积、正方体的体积的计算方法。
6．如图，小明把送给妈妈的生日礼物放在一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体盒子里，包装这个盒子至少需要( )dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要( )dm长的彩带（接头处长2.5dm）。
【答案】 94 32.5
【分析】由题意可知，包装纸的面积就是盒子的表面积，根据盒子的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度。据此代入数据作答即可。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（dm2）
5×2＋4×2＋3×4＋2.5
＝10＋8＋12＋2.5
＝18＋12＋2.5
＝30＋2.5
＝32.5（dm）
则包装这个盒子至少需要94dm2的包装纸；如果在它的外面打上“十字形”的彩带，那么至少需要32.5dm长的彩带。
7．把圆柱的底面分成许多相同的扇形、然后按下图的方式把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体的长是12.56，高是2，这个圆柱的侧面积是( )，体积是( )，长方体的表面积比圆柱增加了( )。

【答案】 50.24 100.48 16
【分析】根据题意，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体，这个长方体的长等于圆柱体的底面周长的一半，长方体的高等于圆柱的高，长方体的宽等于圆柱体的半径，这个圆柱的侧面积相当于长方体的前后两个面的面积和，根据长方形的面积公式：S＝ab，据此进行计算即可；根据圆的周长公式：C＝2πr，则圆的周长的一半就是πr，也就是12.56cm，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可；长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个长为圆柱的底面半径，宽为圆柱的高的两个长方形的面积，据此解答即可。
【详解】12.56×2×2
＝25.12×2
＝50.24（cm2）
12.56÷3.14＝4（cm）
3.14×42×2
＝3.14×16×2
＝50.24×2
＝100.48（cm3）
4×2×2
＝8×2
＝16（cm2）
则这个圆柱的侧面积是50.24，体积是100.48，长方体的表面积比圆柱增加了16。
【点睛】本题考查圆柱的体积和侧面积，明确圆柱和长方体各部分之间的关系是解题的关键。
8．一个圆柱的体积是32立方厘米，高是4厘米，底面积是( )平方厘米。
【答案】8
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝圆柱的体积÷高，据此代入数据解答。
【详解】（平方厘米）
底面积是8平方厘米。
9．如图，一张长方形纸，分别以长和宽为轴，A和B的体积相比，( )大。
【答案】B
【分析】根据图示可知，设长为a，宽为b，a＞b。根据点动成线，线动成面，面动成体的道理，以长为轴旋转一周形成一个底面半径为b高为a的圆柱体，以宽为轴旋转一周，形成一个底面半径为a高为b的圆柱体，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h进行解答即可。
【详解】（1）设长为a，宽为b，且a＞b。
以长为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×b2×a＝πab2。
以宽为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×a2×b＝πa2b。
因为a＞b，所以πa2b＞πab2
故以宽为轴旋转一周，形成的圆柱体积更大，也就是A和B的体积相比，B大。
10．一个直角边分别为4cm和3cm的直角三角形，它的面积是( )。若以较短的直角边为轴旋转一周形成的图形的体积是( )。
【答案】 6 50.24
【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此代入数值进行计算即可；若以较短的直角边为轴旋转一周，则会形成一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】4×3÷2
＝12÷2
＝6（cm2）
×3.14×42×3
＝×3×3.14×16
＝1×3.14×16
＝3.14×16
＝50.24（cm3）
则一个直角边分别为4cm和3cm的直角三角形，它的面积是6。若以较短的直角边为轴旋转一周形成的图形的体积是50.24。
【点睛】本题考查三角形的面积和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
11．一个圆柱和圆锥的体积相等，底面积都是，圆柱的高是，圆锥的高是( )。
【答案】15
【分析】等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，直接用圆柱的高×3即可。
【详解】（）
圆锥的高是。
12．如图所示，把一个棱长是12分米的正方体木料削成个最大的圆柱，圆柱的体积是( )立方分米；再把该圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去( )立方分米。
【答案】 1356.48 904.32
【分析】根据题意，削成一个最大的圆柱体或最大的圆锥体的底面直径为12分米，高为12分米，可根据公式圆柱体积V＝πr2h＝Sh，圆锥体积V＝πr2h＝Sh，进行计算即可得到答案。
【详解】底面半径为：（分米）
圆柱的体积为：
（立方分米）
圆锥的体积为：
（立方分米）
（立方分米）
圆柱的体积是1356.48立方分米，再将圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去904.32立方分米。
13．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，已知圆锥的底面周长是25.12cm，那么这个圆锥的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】根据圆锥的特征可知，把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48平方厘米，表面积增加的是两个完全一样的三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥的底面直径，每个三角形的高等于圆锥的高，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，据此可以求出圆锥的底面直径，根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底；据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个圆锥的体积。
【详解】25.12÷3.14＝8（厘米）
48÷2×2÷8
＝24×2÷8
＝48÷8
＝6（厘米）
3.14×（8÷2）2×6×
＝3.14×42×6×
＝3.14×16×6×
＝50.24×6×
＝301.44×
＝100.48（cm3）
把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，已知圆锥的底面周长是25.12cm，那么这个圆锥的体积是100.48cm3。
14．将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2。这个圆柱形木料的体积是( )dm3。
【答案】5.652
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱形木料的底面半径；沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2，增加的面积是两个长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高的长方形，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，宽＝面积÷长，代入数据，求出长方形的宽，也就是圆柱的高；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】9.42÷3.14÷2
＝3÷2
＝1.5（dm）
4.8÷2÷（1.5×2）
＝2.4÷3
＝0.8（dm）
3.14×1.52×0.8
＝3.14×2.25×0.8
＝7.065×0.8
＝5.652（dm3）
将一个底面周长是9.42dm的圆柱形木料，沿着底面直径切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8dm2。这个圆柱形木料的体积是5.652dm3。
二、选择题。
15．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状，搭出这个立体图形，至少需要( )个小正方体。
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】这个立体图形由两层组成，下面一层的前面一排有3个小正方体，后面一排一个小正方体，并且是左侧对齐；上面一层有一个小正方体，在下面一层前面一排任意一个的上面。
【详解】3＋1＋1＝5（个）
搭出这个立体图形至少需要5个小正方体。
故答案为：D
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
16．如图是由4个同样大小的正方体组成的，将正方体①移走后，从( )看到的形状不变。
A．上面和正面B．上面和右面C．右面D．上面
【答案】D
【分析】根据题意，从正面看是，从上面看是，从右面看是，①移走后，从正面看是，从上面看是，从右面看是，据此解答。
【详解】根据分析可知，如图是由4个同样大小的正方体组成的，将正方体①移走后，从上面看到的形状不变。
故答案为：D
17．一个长方体的长、宽、高分别是acm，bcm，hcm，如果高增加4cm，它的体积比原来增加( )cm3。
A．4abhB．ab（h＋4）C．4abD．4bh
【答案】C
【分析】根据题意，高增加4cm，增加后的高为（h＋4）cm，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出原来长方体体积和高增加4cm后的长方体的体积，再用增加后的长方体体积减去原来长方体体积，即可解答。
【详解】高增加4cm，则高为（h＋4）cm，
a×b×（h＋4）－a×b×h
＝abh＋4ab－abh
＝4ab（cm3）
即它的体积比原来增加4abcm3。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。
18．圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大原来的2倍，体积扩大到原来的( )。
A．6倍B．9倍C．18倍D．12倍
【答案】C
【分析】根据圆的面积可知，如果一个圆的半径扩大到原来的若干倍，则这个圆的面积就扩大到原来的该倍数的平方倍。即圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，圆柱体的底面积就扩大到原来的32倍；圆柱的体积，圆柱体的底面积扩大到原来的32倍，高扩大原来的2倍，根据积的变化规律可知，圆柱的体积扩大到原来的（32×2）倍。
【详解】32×2
＝9×2
＝18
所以体积扩大到原来的18倍。
故答案为：C
【点睛】此题考查了圆的面积、圆柱的体积计算公式及积的变化规律。
19．营养学家建议：儿童每天应摄入水量约1500毫升。根据建议，小明用底面积约50平方厘米、高10厘米的圆柱形水杯喝水，他每天喝( )杯合适。
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出水杯容积，每天摄入水量÷水杯容积＝每天喝的杯数，据此列式计算。
【详解】1500÷（50×10）
＝1500÷500
＝3（杯）
他每天喝3杯合适。
故答案为：B
20．一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是( )。
A．1∶πB．1∶2πC．π∶1D．2π∶1
【答案】B
【分析】因为将圆柱沿高展开后得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，由此再根据“一个圆柱的侧面展开是一个正方形，”知道圆柱的底面周长与圆柱的高相等；设圆柱的底面半径为r，根据圆的周长公式，C＝2πr，表示出圆柱的底面周长，即圆柱的高，由此即可得出圆柱的底面半径和高的比。
【详解】设圆柱的底面半径为r
则圆柱的底面周长是：2πr
即圆柱的高为：2πr
圆柱的底面半径和高的比是：
r∶2πr
＝（r÷r）∶（2πr÷r）
＝1∶2π；
故答案为：B
21．用120cm的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是。这个长方体的长是( )厘米。
A．15B．30C．60D．20
【答案】A
【分析】用120厘米的铁丝做一个长方体的框架说明长方体的棱长总和是120厘米，长＋宽＋高＝棱长总和÷4＝120÷4＝30厘米；又因为长、宽、高的比是，则长是30厘米的，用30×即可求出长是多少。
【详解】120÷4＝30（厘米）
30×
＝30×
＝15（厘米）
长是15厘米。
故答案为：A
【点睛】明确铁丝的长度是棱长总和是解题的关键。
22．如图，把A4纸分别沿长和宽围成两个不同的圆柱形纸筒。给这两个纸筒都贴上底面，则圆柱①的表面积( )圆柱②的表面积。
A．小于B．等于C．大于D．无法比较
【答案】C
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。由此可知，①②两个不同的圆柱形纸筒的侧面积相等，再根据圆的面积公式：S＝πr2，因为①圆柱的底面周长大于②圆柱的底面周长，所以①圆柱的底面积大于②圆柱的底面积。据此解答。
【详解】①和②两个不同的圆柱形纸筒的侧面积相等，因为①圆柱的底面周长大于②圆柱的底面周长，①底面半径大于②底面半径，所以①圆柱的底面积大于②圆柱的底面积。
因此，圆柱①的表面积大于圆柱②的表面积。
故答案为：C
23．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们体积和是60立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
A．15B．20C．40D．45
【答案】D
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱，设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V，再根据等量关系：圆柱的体积＋圆锥的体积＝60，据此列方程解答即可。
【详解】解：设圆柱的体积为V立方厘米，则圆锥的体积为V。
V＋V＝60
V＝60
V÷＝60÷
V＝60×
V＝45
则圆柱的体积是45立方厘米。
故答案为：D
24．用一根铁丝围成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )。
A．192平方厘米B．216平方厘米C．72厘米D．216厘米
【答案】B
【分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高） ×4，求出这根铁丝的长度，再根据正方体的棱长总和公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。
【详解】（8＋6＋4）×4÷12
＝18×4÷12
＝6（厘米）
6×6×6＝216（平方厘米）
即这个正方体的表面积是216平方厘米。
故答案为：B
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的综合应用。
【专项训练二】巩固提升
三、计算题。
25．计算下面图形的表面积和体积。（单位：m）

【答案】742.72；1186.08
【分析】
这个图形的表面积＝一个圆柱的表面积＋一个长方体的表面积－2个圆柱底面积，圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，圆柱的底面积＝，圆柱的侧面积＝，带入数据计算即可。
长方体的体积＝长×宽×高，圆柱的体积＝底面积×高，图形的体积＝圆柱体积＋长方体的体积。
【详解】6÷2＝3（m）
＝3.14×18＋3.14×48
＝56.52＋150.72
＝207.24（）
＝296×2
＝592（）
207.24＋592－3.14×3×3×2
＝799.24－56.52
＝742.72（）
答：表面积是742.72平方米。
12×8×10＋3.14×3×3×8
＝960＋226.08
＝1186.08（）
答：体积是1186.08立方米。
【点睛】重点是能够知道圆柱的表面积和长方体的表面积计算公式，以及掌握圆柱的体积和长方体的体积计算公式。
26．计算下面图形的体积。
【答案】100.48cm3
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。
【详解】×3.14×22×（12－6）＋3.14×22×6
＝×3.14×4×（12－6）＋3.14×4×6
＝×3.14×4×6＋3.14×4×6
＝3.14×4×2＋12.56×6
＝12.56×2＋75.36
＝25.12＋75.36
＝100.48（cm3）
它的体积是100.48cm3。
四、解答题。
27．学校器材室买来两根长度相同的铁丝，其中一根铁丝刚好焊成一个棱长为6厘米的正方体框架，如果用另一根铁丝焊成一个长8厘米，宽7厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？
【答案】3厘米
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。
【详解】6×12÷4－8－7
＝72÷4－8－7
＝18－8－7
＝10－7
＝3（厘米）
答：它的高是3厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式和正方体棱长总和公式是解答本题的关键。
28．北辰学校计划将学校会议室重新装修，经测量会议室长10米，宽7米，高3米，门窗共15平方米。
（1）这间会议室的占地面积有多大？
（2）计划将会议室的四壁和顶面粉刷一新，如果每平方米用涂料0.5千克，粉刷完这个会议室需要涂料多少千克？
【答案】（1）70平方米
（2）78.5千克
【分析】（1）会议室是一个长方体，求这间会议室的占地面积，就是求长是10米，宽是7米的长方形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
（2）先求粉刷涂料的面积，就是求这个长方体会议室的表面积减去地面面积和门窗面积；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出需要粉刷的表面积，再乘每平方米需要涂料的量，即可解答。
【详解】（1）10×7＝70（平方米）
答：这间会议室的占地面积有70平方米。
（2）10×7＋（10×3＋7×3）×2－15
＝70＋（30＋21）×2－15
＝70＋51×2－15
＝70＋102－15
＝172－15
＝157（平方米）
157×0.5＝78.5（千克）
答：粉刷完这个会议室需要涂料78.5千克。
【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
29．如下图，笑笑用棱长为2厘米的小方块去测量一个长方体容器的容积，这个长方体的容积是多少？

【答案】288立方厘米
【分析】通过观察图形可知，这个长方体容器的长是（2×3）厘米，宽是（2×4）厘米，高是（2×3）厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】（2×3）×（2×4）×（2×3）
＝6×8×6
＝48×6
＝288（立方厘米）
答：这个长方体的容积是288立方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长度、面积、体积、角度的测量方法及应用，长方体的容积公式及应用。
30．学校计划在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池。
（1）如果挖成的水池深5米，这个水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1吨）
（2）若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多大？
【答案】（1）251.2吨
（2）175.84平方米
【分析】（1）在长方形空地挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，圆柱的底面直径等于长方形的宽；如果挖成的水池深5米，求这个水池能蓄水的重量，先求这个蓄水池的体积，也就是底面直径是8米，高5米的圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据求出蓄水池的体积，再乘1，即可求出能蓄水的重量。
（2）求这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积，就是这个圆柱形蓄水池去掉一个底面的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×（8÷2）2×5×1
＝3.14×42×5×1
＝3.14×16×5×1
＝50.24×5×1
＝251.2×1
＝251.2（吨）
答：这个水池能蓄水251.2吨。
（2）3.14×（8÷2）2＋3.14×8×5
＝3.14×42＋25.12×5
＝3.14×16＋125.6
＝50.24＋125.6
＝175.84（平方米）
答：抹水泥的面积是175.84平方米。
31．建筑工地有一堆圆锥形沙堆，这堆沙子的底面直径是6米，高是1.5米，装修一套房子大约要用1.2立方米的沙子。用这堆沙子能装修多少套房子？
【答案】11套
【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积；
再用这堆沙子的体积除以装修一套房子要用沙子的体积，即可求出这堆沙子能装修房子的套数，得数采用“去尾法”保留整数。
【详解】×3.14×（6÷2）2×1.5
＝×3.14×9×1.5
＝14.13（立方米）
14.13÷1.2≈11（套）
答：用这堆沙子能装修11套房子。
32．一根圆柱形木料从中间切开（如图）后，表面积增加了56.52平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？
【答案】282.6立方厘米
【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱形木料横截成两段，表面积增加的是两个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h＝Sh，把数据代入公式解答。
【详解】
（立方厘米）
答：原来这根木料的体积是282.6立方厘米。
33．一个圆柱形容器，底面直径6分米，高8分米。它里面装有一些水，水的高度是7分米，现将一个圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的体积是多少？
【答案】31.4立方分米
【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出高是8分米的圆柱的体积，再与溢出水的体积相加，就是圆柱原有水的体积与圆锥的体积和，再求出高是7分米的圆柱的体积，用圆柱原有水的体积与圆柱的体积和－高是7分米圆柱的体积，即可求出圆锥的体积。
【详解】3.14升＝3.14立方分米
3.14×（6÷2）2×8＋3.14－3.14×（6÷2）2×7
＝3.14×32×8＋3.14－3.14×32×7
＝3.14×9×8＋3.14－3.14×9×7
＝28.26×8＋3.14－28.26×7
＝226.08＋3.14－197.82
＝229.22－197.82
＝31.4（立方分米）
答：圆锥的体积是31.4立方分米。
【点睛】解答本题的关键明确溢出的水的体积与圆柱形容器的体积和等于圆柱形容器原来水高的体积与圆锥的体积和；注意单位名数的换算。
34．数学实践课上老师布置了这样两个作业：
请你把一个棱长总和为96厘米，且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块，削成一个最大的圆锥体，然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。
作业一：问最大的圆锥体积是多少立方厘米？
作业二：1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时，水面下降了几厘米？
【答案】作业一：100.48立方厘米；
作业二：0.5厘米
【分析】作业一：长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此用96÷4求出长、宽、高的和是24厘米；再把24厘米按3∶4∶5分配分别求出长是6厘米、宽8厘米、高是10厘米；圆锥的体积，据此分别求出以10厘米、8厘米、6厘米为高的圆锥的体积，从而得到最大的圆锥体积。
作业二：先用圆锥的底面直径÷求出圆柱形容器的底面直径；再根据圆的面积求出圆柱形容器的底面积；把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，溢出的水的体积等于圆锥体蜡块的体积，圆柱的体积＝底面积×高，据此用溢出的水的体积÷圆柱形容器的底面积即可求出水面下降了几厘米。
【详解】作业一：
96÷4＝24（厘米）
长：24×
＝24×
＝6（厘米）
宽：24×
＝24×
＝8（厘米）
高：24×
＝24×
＝10（厘米）

＝
＝
＝94.2（立方厘米）
＝
＝
＝75.36（立方厘米）
＝
＝100.48（立方厘米）
100.48＞94.2＞75.36
答：最大的圆锥体积是100.48立方厘米。
作业二：
8÷
＝8×2
＝16（厘米）
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
100.48÷200.96＝0.5（厘米）
答：水面下降了0.5厘米。
【点睛】此题主要考查了长方体的棱长和、按比分配、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的应用。
【专项训练三】选拔拓展
35．一条条快速路加速通达，不断实现城市路网升级完善。钱塘快速路有一个桥墩在河中（如图），桥墩形状呈长方体，横截面积为8.5平方米，水面以上的高度是15米，占整个桥墩高度的。已知水中与泥中高度的比是。
（1）泥中部分的高度占了整个桥墩的几分之几？
（2）泥中部分的混凝土有多少立方米？
【答案】（1）
（2）51立方米
【分析】（1）把整个桥墩高度看作单位“1”，水面以上的高度占整个桥墩高度的，则水中与泥中高度共占，再乘，即可得泥中部分的高度占了整个桥墩的几分之几。
（2）用水面以上的高度除以它占整个桥墩高度的分率，得出整个桥墩高度，再乘泥中部分的高度占了整个桥墩的分率，可得泥中部分的高度，再根据长方体的体积横截面积高，计算即可。
【详解】（1）
答：泥中部分的高度占了整个桥墩的。
（2）
＝15××
（米）
（立方米）
答：泥中部分的混凝土有51立方米。
【点睛】本题主要考查了比的应用，还用到长方体体积的求法。
36．用等底等高的圆柱和圆锥合在一起做成水箱，高都是3米，圆柱的底面周长为6.28米，现往水箱内每分钟注入80升水，从空箱到注满，一共需要多少时间？
【答案】157分钟
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，求出圆柱、圆锥的底面半径；然后根据体积公式V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，分别求出圆柱、圆锥的体积，再相加，就是水箱的体积；根据进率“1立方米＝1000升”换算单位；最后用水箱的容积除以每分钟注入水的容积，即可求出水箱注满需要的时间。
【详解】圆柱（圆锥）的底面半径：
6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（米）
水箱的体积：
3.14×12×3＋×3.14×12×3
＝3.14×3＋3.14×1
＝9.42＋3.14
＝12.56（立方米）
12.56立方米＝12560立方分米＝12560升
注满需要用时：
12560÷80＝157（分钟）
答：从空箱到注满，一共需要157分钟。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的应用，求出圆柱、圆锥的底面半径是解题的关键。
37．在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米。（冰块能完全浸没）
（1）冰块的体积是多少立方厘米？
（2）已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？
【答案】（1）300立方厘米
（2）6.7厘米
【分析】（1）根据题意，将一块不规则冰块完全浸没水中，水上升了（7－4）厘米，那么冰块的体积等于水上升部分的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求出冰块的体积。
（2）根据题意，冰融化成水，体积减小原来的，意思是，水的体积比冰块的体积小，把冰块的体积看作单位“1”，水的体积是冰块体积的（1－），单位“1”已知，用冰块的体积乘（1－），求出冰块融化成水后的体积；
根据长方体的体积公式V＝abh，求出原来长方体容器水深4厘米时水的体积；
根据长方体的高h＝V÷S，用长方体容器内原来水的体积加上冰块融化成水后的体积，除以容器的底面积，即可求出当冰块完全融化时，容器内的水深。
【详解】（1）10×10×（7－4）
＝10×10×3
＝100×3
＝300（立方厘米）
谷：冰块的体积是300立方厘米。
（2）冰融化成水，水的体积：
300×（1－）
＝300×
＝270（立方厘米）
原来容器内水的体积：
10×10×4
＝100×4
＝400（立方厘米）
冰化成水后，容器内水深：
（270＋400）÷（10×10）
＝670÷100
＝6.7（厘米）
答：容器内的水深是6.7厘米。
【点睛】（1）本题考查不规则物体体积的算法，明确放入物体的体积等于水上升部分的体积，然后利用长方体的体积计算公式列式计算。
（2）本题考查分数乘法的应用以及长方体体积计算公式的灵活运用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算。
38．一瓶果汁，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶子的容积为32立方厘米，当瓶子正放时，瓶内果汁液面高度为8厘米，当瓶子倒放时，空余部分为2厘米，请你算一算，瓶内果汁的体积是多少立方厘米？
【答案】25.6立方厘米
【分析】分析题意，可知果汁的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，假设瓶身全部呈圆柱形，圆柱的高为（8＋2）厘米，进而根据瓶子的容积，求得瓶子的底面积；接下来用底面积乘瓶内的果汁的高度即可得果汁的体积。
【详解】32÷（8＋2）
＝32÷10
＝3.2（平方厘米）
3.2×8＝25.6（立方厘米）
答：瓶内果汁的体积是25.6立方厘米。
【点睛】解答此题的关键是根据瓶子的容积和高度求出瓶子的底面积。