上海市奉贤区2024届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份上海市奉贤区2024届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知复数（i为虚数单位），则___________.
2．不等式的解集为___________.
3．抛物线上一点到点的距离最小值为___________.
4．已知圆锥的底面半径为，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___________.
5．已知随机变量X服从正态分布，且，则___________.
6．已知，且，则___________.
7．某商品的成本C与产量q之间满足关系式，定义平均成本，其中，假设，当产量等于___________时，平均成本最少.
8．已知向量，，则在方向上的投影向量为___________.
9．已知多项式对一切实数x恒成立，则___________.
10．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
11．点P是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点P的个数为___________.
12．函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C是曲线F与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线F的图像交于点M，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为___________.（用，表示）
二、选择题
13．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
14．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是( )
A.B.
C.D.
15．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则( )
A.甲与乙相互独立B.乙与丙相互独立
C.甲与丙相互独立D.乙与丁相互独立
16．如图，在等腰梯形中，，，，.点E是线段上的一点，点F在线段上，.
命题①：若，则随着t的增大而减少.
命题②：设，若存在线段把梯形的面积分成上下相等的两个部分，那么，随着x的增大而减少.
则下列选项正确的是( )
A.命题①不正确，命题②正确B.命题①，命题②都不正确
C.命题①正确，命题②不正确D.命题①，命题②都正确
三、解答题
17．已知是公差的等差数列，其前5项和为15，是公比q为实数的等比数列，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，计算.
18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若某天的空气质量等级为或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显著性水平）
附：，.
19．如图1是由两个三角形组成的图形，其中，，，.将三角形沿折起，使得平面平面，如图2.设O是的中点，D是的中点.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）连接，设平面与平面的交线为直线l，判别l与的位置关系，并说明理由.
20．已知曲线C：，O是坐标原点，过点的直线与曲线C交于P，Q两点.
（1）当与x轴垂直时，求的面积；
（2）过圆上任意一点M作直线，，分别与曲线C切于A，B两点，求证：；
（3）过点的直线与双曲线交于R，S两点（，不与x轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为，当时，求证：n与都是定值.
21．已知定义域为R的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R的导函数.
（1）求函数在点的切线方程；
（2）已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？
（3）若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数x是否恒成立，请说明理由.
参考答案
1．答案：/
解析：.
故答案为：.
2．答案：
解析：由得，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
3．答案：1
解析：设抛物线上一点，则点A到点的距离为，
因,则，故当时，抛物线上任一点A到点的距离最小值为1.
故答案为：1.
4．答案：
解析：因为圆锥的底面半径为，母线长为2，
所以圆锥的侧面积为，
故答案为：.
5．答案：/
解析：因为，所以，因此.
故答案为：.
6．答案：π
解析：已知，由倍角公式得，
由，，解得，则.
故答案为：π.
7．答案：20
解析：由题知，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：20.
8．答案：
解析：在方向上的投影向量为.
故答案为：.
9．答案：1
解析：令可得，
又展开式的通项为，
令可得；令，可得，
所以，
所以，
故答案为：1.
10．答案：
解析：易知四棱锥的底面积，
高为，
所以四棱锥的体积为，
长方体为，
因此该模型的体积为，
所以该模型所需原料的质量为.
故答案为：.
11．答案：6
解析：因为正方体的棱长为1，所以，
又，
所以点P是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭球上的一点，且焦点分别为A，，
所以点P是椭球与正方体棱的交点，在以A，为顶点的棱上，所以共有6个，
故答案为：6.
12．答案：
解析：由题意，，，则，，，
，由得，则，
，，，
所以，又，所以，
故答案为：.
13．答案：D
解析：根据y与x的线性回归方程为，则，y与x具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心，B正确；
该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为，D错误.
故选D.
14．答案：A
解析：易知是偶函数，是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A.，定义域为R，
又，所以是奇函数，符合题意，故正确；
B.，，，不符合图象，故错误；
C.，定义域为R，
但，，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D.，定义域为R，
但，，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
15．答案：A
解析：由题意得，，，，.
对于A，，所以，所以甲与乙相互独立，故A正确；
对于B，，所以，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；
对于C，，所以，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；
对于D，，所以，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确.
故选：A.
16．答案：A
解析：命题①错误，理由如下：
的大小等价于在上的投影，
由图可知，投影是不断增加的；
命题②正确，理由如下：
设，，，
因为，，
做，垂足为H，
所以，
所以，
，
，
，
又，
所以化简得到，
求导可得恒成立，
所以随着x的增大而减少，故②正确；
故选：A.
17．答案：（1），
（2）
解析：（1），且，，.
，且，，，.
（2）由题可知，，
为等比数列求和，首项为，公比为4，
.
18．答案：（1）350
（2）列联表见解析，一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关
解析：（1）由题知，一天中到该公园锻炼的平均人次约为：，即一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为.
（2）根据所给数据，计算出，则完成列联表为：
假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.
，
由可得，原假设不成立，
即一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19．答案：（1）
（2），理由见解析
解析：（1）过B作于H，连接，
平面平面，且平面平面，，平面，
平面，为直线与平面所成角.
，不妨设，，
在中，由正弦定理得.
易知，，，，
，
在中，，，，
，
直线与平面所成角的大小为.
（2）O是的中点，D是的中点，；
又平面，，平面PBC；
又平面平面，，
.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由题可知，直线为，
代入椭圆方程，解得，
所以.
（2）设，
当时，，不妨取，，，
则，，所以，即成立；
当时，设，的斜率分别为，，直线，
由，
因为直线与椭圆相切，所以，
即，
化简可得，
化为关于k的一元二次方程为，
所以.
因为在圆上，所以，
代入上式可得，
综上可得.
（3）设、、、，
直线、的斜率分别为、，
设直线，与椭圆联立得，
则，，，
由得，
即，
计算分子部分：
，所以，
设直线，与双曲线联立得，
则，，，，
所以，
计算分子部分
，
所以，
综上可得、均为定值.
21．答案：（1）
（2）答案见解析
（3）恒成立，理由见解析
解析：（1）由题可知，，
所以切线的斜率为，
且，
所以函数在点的切线方程为，即.
（2）由题可知，
又因为定义域上对任意的实数x满足，
所以，即，
当且时，，
当时，，
当时，.
（3）因为函数在定义域R上是奇函数，所以，
所以，所以，所以是偶函数，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，即，
所以是周期为2的函数，
所以，
所以.
锻炼人次空气质量等级
1（优）
3
18
25
2（良）
6
14
3（轻度污染）
5
5
6
4（中度污染）
6
3
0
人次
人次
总计
空气质量好
空气质量不好
总计
人次
人次
总计
空气质量好
36
39
75
空气质量不好
19
6
25
总计
55
45
100