2024省大庆实验中学实验二部高二下学期期中考试数学含解析

这是一份2024省大庆实验中学实验二部高二下学期期中考试数学含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为
A．8.4B．8.5C．8.6D．8.7
2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有
A．12B．16C．18D．24
3．已知二项式（其中且）的展开式中含与的项的系数相等，则的值为
A．5B．6C．7D．8
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列正确的是

A．B．
C．D．
5．从1,2,⋯,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为
A．B．C．D．
6．《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为
A．5B．10C．11D．55
7．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有
A．1张B．2张C．3张D．4张
8．我校举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，训练规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为
A．27B．24C．32D．28
二、多选题（本题共3 小题，每小题6分，共18分）
9．若，则下列正确的是
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是
A． B．的最小值为10 C．三点共线 D．
11．在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．C．D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知随机变量服从正态分布，， ．
13．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博．记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.
四、填空题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）
工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？
16. （15分）
记，分别为数列，的前项和，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．
17.（15分）
一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为.
（1）求的值；
（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.
18.（17分）
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质：①平方关系：，②导数关系：．
(1)直接写出，具有的类似①、②的性质（不需要证明）；
(2)证明：当时，；
(3)求的最小值．
19. （17分）
已知椭圆：，A，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过做斜率不为0的直线交椭圆于点P,Q两点,且.当直线轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线AP,AQ的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
(3) 直线AP交y轴于点E．若过O点作直线AP的平行线OM交椭圆C于点M，求AP+AEOM的最小值．
一、单选题
1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）
A．8.4B．8.5C．8.6D．8.7
【答案】B
【分析】
根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得.
【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，
所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.
故选：B
2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（ ）
A．12B．16C．18D．24
【答案】C
【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.
【详解】根据题意，甲有种选择，乙、丙都有种选择，
故所有的选法有：种.
故选：C.
3．已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】
利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案.
【详解】因为且，由题意知，
得，求得，
故选：.
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可.
【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，
左侧两图是正相关，样本相关系数大于0，则，，
右侧两图是负相关，样本相关系数小于0，则，，
下方两图的点相对更加集中，所以相关性较强，所以接近于1，接近于－1，
上方两图的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以和比较接近0，
由此可得．
故选：B．
5．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】这九个数字中任取两个，有种取法，
和为质数有，共14种情况，
因此所求概率为.
故选：C.
6．《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．5B．10C．11D．55
【答案】B
【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，解方程即可得解.
【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，
可得a1+a2+a3+a4+a5=60017(a3+a4+a5)=a1+a2，
所以a1+2d=1202d=11a1，
解得a1=10.
故选：B.
7．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张B．2张C．3张D．4张
【答案】B
【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.
【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
【答案】A
【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】设每一轮训练过关的概率为，
则
，
，当且仅当时等号成立.
函数的开口向上，对称轴为，
所以，
依题意，，则，
，所以至少需要轮.
故选：A
【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.
二、多选题
9．若，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】通过赋值法即可对A、B、C逐项求解判断，通过对两边同时求导后再利用赋值法从而可对D求解判断.
【详解】对于A：令，则，故A正确；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D，由，
两边同时求导得，
令，则，故D错误.
故选：ABC.
10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为10
C．三点共线D．
【答案】CD
【分析】设直线联立抛物线，应用韦达定理判断A；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断B；设，联立抛物线，应用韦达定理得，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求判断D.
【详解】
设直线，联立方程组，
可得，且，则，A不正确；
由，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，不正确；
设，，联立，可得，且，
则，结合A分析得，即直线过点，正确；
由，
，正确.
故选：CD
11．在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确.
【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误；
B：因为，故B正确；
C：，故C正确；
D：因为，
所以，
故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式.
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
【答案】0.2
【分析】随机变量服从正态分布,得到对称轴为，再由,可得,根据正态分布曲线的特点，即可得到结果.
【详解】随机变量服从正态分布，可得到对称轴为，
又由，则，
所以.
故答案为：
13．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围.
【详解】由题意，
在中，，
当时，解得或，
当即时，单调递减，
当即，时，单调递增，
∵，，
当，
方程有三个不同的实根，
∴即，
故答案为：.
【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件.
14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种赌徒输光了手中金币；一种是赌金达到预期的1000金币，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为100金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.
【分析】
当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
，由得,即,
当时，，
因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
四、解答题
15．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【答案】(1)
(2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，
此次品由甲车间生产的概率为：
16. 记，分别为数列，的前项和，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）由已知，可得 的关系，从而可得数列是等比数列，求出通项公式；由，将代入，可得为等差数列，再由可得的通项公式.
（2）由（1），将的通项公式代入，从而得到，求出整数的最小值．
【小问1详解】
当时，，所以，
当时，，
所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，
因为，所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列，
所以，所以，
因为，而，所以，
所以，.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，
当时，因为，
所以，
其中，当时，，，无限接近，
所以整数的最小值为3．
17．一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为.
（1）求的值；
（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.
【答案】（1）（2）详见解析
【详解】解：（1）随机变量服从二项分布，，
则，
所以，
解得：或，
因为，
所以.
（2）随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，，
于是，
，
.
因此的分布列可表示为下表：
所以.
答：抽到不合格产品数的数学期望为.
18．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的性质：①平方关系：①，②导数关系：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②的性质（不需要证明）；
(2) 证明：当时，；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)0
【分析】（1）类比，写出平方关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出.
【详解】（1）平方关系：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
导数：，；
，令，则所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
19.已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过做斜率不为0的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
(3) 直线AP交y轴于点E．若过O点作直线AP的平行线交椭圆C于点M，求AP+AEOM的最小值．
【答案】(1)
(2)为定值，证明见解析
(3)
【分析】（1）由，，及可求得，；
（2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；
（3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则，
由，得，
又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，
则，
联立，解得，，，
所以椭圆的方程为
（2）证明如下：
显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，
联立椭圆方程，消去并整理得，
又设，，由韦达定理得
从而，
，
所以，
即，故得证．
（3）直线AP的方程为x=my-2，
由x24+y23=1x=my−2，消元化简得，3m2y2+4 y2=12my
∴y1＝0，y2=12m3m2+4，即P点纵坐标yP=12m3m2+4
x=my-2∴E0，2m．
∵OM∥AP，
∴OM的方程可设为x＝my，
由x24+y23=1x=my，得M点的横坐标为x=±233m2+4，
由OM∥AP，得AD+AEOM=yP+yEyM=12m3m2+4+2m233m2+4≥22，
当且仅当m=±233时取等号，
∴，的最小值为．
0
1
2
P