2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高二上学期期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案.
【详解】方程表示椭圆，则，解得.
故选：B
2．数列满足，，则“”是“为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由，解得或，
所以“”是“为单调递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
3．某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合按比例分配的分层抽样即可求解.
【详解】高一年级有女生504人，男生596人．总人数为，
从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，
不能直接用样本平均数估计总体平均数，
需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，
即，即D选项最合理.
故选：D
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4B．3C．5D．
【答案】B
【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
5．“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（ ）．
A．事件A，B互斥B．事件A，B对立C．事件A，B相互独立D．事件A与不相互独立
【答案】C
【分析】根据题意结合互斥、对立事件的定义逐项分析判断A、B；根据独立事件的定义分析判断C、D.
【详解】由题意可知：事件，事件，样本空间，
则，
因为，所以事件A，B不互斥，更不可能对立
故A、B错误；
因为，则，
可得，
所以事件A，B相互独立，事件A与相互独立，故C正确，D错误；
故选：C.
6．图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可推出，且，从而说明数列是以为首项，为公差的等差数列，求得数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
，，，，都是直角三角形，
，且，故，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
又，，
数列的通项公式为，
，
故选：C．
7．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解.
【详解】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，则，
所以得：，
又，则，即；
设（），由双曲线的定义得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即双曲线的离心率，
故选：C.
8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以O为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可.
【详解】
在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，
，
设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知，
，
，
P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，
若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M，R，所以P在四边形内的轨迹为，
在中，，
所以，当P在面内部的轨迹长为，
同理，当P在面内部的轨迹长为，
当P在面时,如图③所示，
面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与分别交于，且，
所以P在正方形内的轨迹为，
所以，
综上：P的轨迹长度为.
故选：C
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
B．“"是直线与直线互相垂直的充要条件
C．若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为
D．过两点的直线的方程都可以表示为
【答案】ABD
【分析】根据直线方程、直线的方向向量、直线斜率、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线在两坐标轴上截距相等，所以A选项错误.
B选项，若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
所以“"是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，
所以B选项错误.
C选项，若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为，
所以C选项正确.
D选项，当或时，直线方程不能表示为，
所以D选项错误.
故选：ABD
10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4B．中位数可能是2
C．极差可能是4D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为，
对于A：若取到数字4，不妨设为，
则，可得，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为，
则这5个数字的平均数，
则，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
11．已知是椭圆：上任意一点，是圆：上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则（ ）
A．使为直角三角形的点共有4个
B．的最大值为4
C．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
D．当最大时，
【答案】CD
【分析】根据已知，结合图形，利用圆的方程与性质、直线与圆相切的性质、勾股定理以及椭圆的参数方程进行求解.
【详解】
因为椭圆：，所以，
以为直径的圆的方程，与椭圆有4个交点，
由有：，解得，
所以使点共有4个；
使或点共有4个；
所以共有8个点满足要求，故A错误；
若为钝角，则点的横坐标的取值范围为，故C正确；
由圆：有：，，
设椭圆：上任意一点，
则，
所以 ，故的最大值为，故B错误；
如图，当最大时，与圆M相切，由勾股定理有：
，因为，，
所以，故D正确.
故选：CD.
12．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．存在直线，使得两点关于对称
【答案】BCD
【分析】对于A，根据抛物线定义即可得到；对于B，利用三角形两边之和大于第三边即可得到；对于C，借助直线与圆相切的性质即可得到；对于D，设出直线方程，与抛物线联立后，借助对称性思想即可得到.
【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；
对于B：由，故，则，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设为，则，
故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，
有圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确；
对于D：设存在该直线，则与直线垂直，则该直线的斜率，
即可设该直线为，、分别设为、，
由，消去可得，，
则，即，
有，，
故，，
则弦的中点在直线上，
即有，解得，
故存在直线，使得两点关于对称，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果，则P(AB)= .
【答案】
【分析】由可知，，从而得出所求.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：.
14．抛物线的准线方程是 .
【答案】
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解.
【详解】由，所以，即准线方程为，
故答案为：.
15．已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先求得的坐标，然后判断出，根据基本不等式求得的最大值.
【详解】直线，即，
所以直线过定点.
直线，即，
所以直线过定点.
所以，
由于，所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
16．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】利用点差法结合题意即可求解出直线的斜率.
【详解】
设椭圆，
设直线与的交点为，直线的斜率为k，
则所以，即，
同理可得，
又，
所以，
由，
得，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为，且为锐角，，求的周长.
【答案】(1)，增区间为
(2)
【分析】（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最小正周期和增区间；
（2）根据求得，然后由正弦定理得到，然后利用余弦定理求得，进而可求周长.
【详解】（1）∵函数，
所以函数的最小正周期；
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
因为，所以 ，
所以，即，
因为，根据正弦定理可得，
根据余弦定理可得，
解得，（舍去负值），
所以△ABC的周长.
18．已知双曲线的离心率为，且右焦点F与抛物线的焦点相同.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据抛物线焦点得到，再根据离心率和关系即可得到答案；
（2）设直线，，，将直线方程与双曲线方程联立得
，再利用弦长公式即可求出值，则得到直线方程.
【详解】（1）抛物线的焦点为，可得，则；
由，可得，由得，
故双曲线的标准方程为；
（2）当直线垂直于轴时，，不合题意；
当直线不垂直于轴时，可设过双曲线右焦点的直线，且与双曲线的交点为，，
由可得，则，
因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且时，直线与双曲线必有两交点，，
则，
则，
解得，即直线的方程为或.
19．某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)计算这次测试成绩的第70百分位数；
(3)在测试成绩位于区间[80，90）和[90，100]的学生中，采用分层抽样，确定了6人，若从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A＝“抽取的两人的测试成绩分别位于和”，求事件A的概率P（A）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，得到关于的方程；
（2）根据大于第70百分位数的频率为0.3求解即可；
（3）首先确定分层抽样的各层人数，分别计算其频率，得到其比值，确定各层人数，然后根据古典概型的特点求出样本空间和满足题意的情况数，最终得到概率.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）因为大于第70百分位数的频率为0.3，测试成绩位于的频率，位于的频率，故第70百分位数位于，设为.
则，解得，即第70百分位数为
（3）测试成绩位于的频率，
位于的频率，
因为，所以确定的6人中成绩在内的有4人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，
从6人中随机抽取2人的样本空间：
共有15个样本点，
其中，即，所以概率为.
五、证明题
20．如图，多面体中，平面，且，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取CA的中点N，连接MN，BN，易证四边形为平行四边形，得，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，利用线面垂直的判定定理和性质证明OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系，结合空间向量法求线面角即可求解.
【详解】（1）由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，所以平面；
（2）分别取AB、EF的中点O、D，连接OD，OC，则，
由平面，得平面，则，
又为正三角形，所以，
因为平面，平面，得，
而平面，所以平面，
故OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，得，
设ME与平面所成角为，，
则，所以，
故ME与平面所成角为.
六、解答题
21．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于、两点，且满足
（1）求抛物线的方程；
（2）若是抛物线上的动点，点、在轴上，圆内切于，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）本小题先设直线方程，再联立方程化简整理得到待定系数为、的关于的一元二次方程，最后根据题意建立方程求即可解题.
（2）本小题先设点，再根据题意表示出只含待定系数为的，最后根据基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为()，则焦点的坐标为.
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，，
所以，，，
因为，所以故抛物线的方程为.
（2）设（），，，易知点、的横坐标与的横坐标均不相同.
不妨设.
易得直线的方程为化简得，
又圆心到直线的距离为1，所以，
所以，
不难发现，故上式可化为，
同理可得，
所以、可以看作是的两个实数根，
则，，
所以
因为是抛物线上的点，所以，
则，又，所以，
从而
当且仅当时取得等号，此时，
故△PMN面积的最小值为8.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质以及基本不等式求最值问题，是偏难题.
22．已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过点的直线交椭圆于两点，再过点A作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)是，定点为，理由见解析.
【分析】（1）利用等边三角形和通径长得到参数间的关系式，进而求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，，再分别设出的方程，与椭圆方程联立，得到相关点的坐标间的关系，整理直线方程证明其过定点.
【详解】（1）由题意令，代入得，
所以解得，，所以椭圆的方程为：.
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，不妨设直线的方程为，
即，
联立方程得，
设，，，
当，即时，，，
则的方程为，①
与椭圆联立得，
，所以，
代入①得，代入得，
直线的方程为：，联立得，.
，
，
故，不恒为0，所以，
则，
故直线与直线交于定点.
【点睛】直线与圆锥曲线交点问题，往往设出含参直线，联立方程，结合韦达定理，得出两交点横坐标或纵坐标间的和关系式或积关系式，再用关系式去表示所要求的元素，即可将所求内容用参数表示出来，即可进一步讨论