【二轮复习】高考数学考点2-2 利用导数研究恒成立能成立整数点问题（考点精练）.zip

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考点一：利用导数研究函数恒成立问题
【精选例题】
【例1】已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得．
【详解】因为
所以，
当时，，函数在上为减函数，
又当时，，不满足在定义域内恒成立；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
所以=＝
由，得，即，
所以k的取值范围是.
故选：D．
【例2】已知函数，若恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意得：，当时，，函数在上单调递增，无最大值，不符合题意；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以.令，则，所以，设，则，若，即，则，此时单调递减，符合题意；若，由，得，此时，解得，所以的最小值为.故选：B
【例3】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题可知，时，不等式恒成立，当时，得，
令，则，，令，，则，显然在上，，所以单调递减，，因此；当时，得，令，则，，令，，
则，显然在上，，所以单调递减，，因此；由以上两种情况得：.显然当时，得恒成立，综上得：实数的取值范围为.故选：C.
【例4】若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，则，不符合题意；当时，，恒成立，即恒成立，设，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，取得最大值，
所以，解得，故选：C．
【例5】若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式成立，即，即，
其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为．∵为直线：即上一点，∴设与平行，且与相切于点，∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率，∴解得，∴，∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离，∴当且仅当时，，∴解得，综上所述，的取值集合为．故选：A．
【例6】若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.设的切点为，.设的切点为，,所以.
由题得.设，所以，所以函数在上单调递减，在单调递增.
又，当时，，所以方程另外一个零点一定大于.所以方程小的零点为，所以.故选：C
【例7】已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【详解】设，，若，对任意和正数恒成立，则，对任意和正数恒成立，如图，时，，对任意和正数不恒成立；如图，时，，则，
设，解得，且，∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，由直线的点斜式方程可得切线方程为，即，
若，对任意和正数恒成立，则
∴∴，设，，，
∴，，，∴，∴故选：B.
【跟踪训练】
1.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】恒成立，则，只需
设，
当，；当，；所以，，，故选：B
2.已知不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则，，故可知在上，在上，在上，又不等式恒成立，.故选：B
3．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，则，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，若，令，则，则在上递增，可得，即对任意恒成立，则在上递增，可得，综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.故选：A.
4．若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】D
【详解】当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）
所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，
令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.
5．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】化简不等式可得，即：，令（），则对任意的，，所以，设，，则，令，所以，所以在上单调递减，又因为，所以，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得：，即：的取值范围为.故选：A.
6．已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．2eD．
【答案】C
【详解】由题意可得：，则，当时，则；当时，则；
故在上单调递减，在上单调递增，若与直线相切时，设切点为，则切线斜率，所以该切线方程为，注意到切线过点，则，整理得，解得或，当时，；当时，；结合图象可得实数a的取值范围为，即实数a的最大值为2e．故选：C．
考点二：利用导数研究函数能成立问题
【精选例题】
【例1】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围______．
【答案】解：存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
【跟踪训练】
1.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围______．
【答案】.
【解析】因为，由，即，即，设根据题意知存在，使得成立，即成立，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.
考点三：利用导数研究函数的最值问题
【精选例题】
【例1】若函数在上有最大值，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，得，.当，；当或时，.
从而在处取得极大值.根据单调性可知，在上有最大值即为，
由，得，解得或.在上有最大值，即，，.故选D.
【跟踪训练】
1．函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，设，因为，因此有两个不同实根，又，因此两根一正一负，由题意正根在内，所以，解得，故选：A．
2．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1) C．[－2,1) D．(－2,1)
【答案】C
【详解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，令，解得或，若函数在(,)内存在最小值，则，得．故选：C
考点四：利用导数处理双函数恒能成立问题
【精选例题】
【例1】设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】C
【详解】对，都，使得不等式成立，等价于,
当时，，所以，当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，所以对，恒成立，即，
当，成立，当时，恒成立.记,
因为恒成立，所以在上单调递增，且，所以恒成立，即所以.所以的最大值为1.故选：C.
【例2】已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故在成立，
当时，，设，，则，
由，得，所以在递减，所以，则在递减，所以，则，所以．
故选：A
【例3】已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】①当时，，则在上恒成立，所以函数在区间上单调递减，则，即，
②当时，，函数在区间上单调递增，所以，即，
综上，函数f（x）的值域为；由题意，的值域与的值域有交集，故分析的值域.又，，若时，则，函数在上单调递增，所以，即，此时若要满足题意，只需，当时恒成立；
当时，令，解得，，.当时，，故函数在上单调递增，故，所以，所以，解得，
当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；因为，，故若值域满足与有交集，则只能，解得，此时
当时，，在上单调递减，所以，，此时，不满足题意，综上，实数a的取值范围为故选：C．
【跟踪训练】
1．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
【答案】D
【详解】因为，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，，所以当时，，因为，所以在区间上单调递减，所以当时，，因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，所以实数的最大值为3，故选：D
2．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，使得成立，则，由题得，
当时，，当时，，所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，所以，由题得，∴故选：B.
3.已知函数若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意“对任意的，存在，使”,转化成；
易知，又，令，可得；所以时，，即在上单调递减，时，，即在上单调递增；因此时，取到在上的极小值，也是最小值，；易得，，易知二次函数开口向上，对称轴；①当时，在上单调递增，，所以，解得，不合题意，此时无解；②当时，在处取得最小值，，所以，解得或，所以可得③当时，在上单调递减，，所以，解得，所以可得；综上所述，实数的取值范围是.故选：C
考点五：利用导数处理整数点个数问题
【精选例题】
【例1】已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意；当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意；当时，不等式等价于，令，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
又，结合单调性可知，当时，恒成立，而表示经过点的直线，
由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件：解得．则实数的取值范围是，故答案为：．

【例2】已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由，即，得，设，则，显然是上的增函数.因为，所以存在，使得，即；当时，，当时，0，则；令，则，当时，，在上单调递减，因为，所以，则，又为整数，所以.故选：A
【精选例题】
1．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.
2．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是.故选：D