【二轮复习】高考数学 题型18 4类数列综合.zip

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技法01 数列中不等式的证明
技法02 数列中的不等式放缩
技法03 数列中的参数求解
技法04 数列与三角函数综合
技法01 数列中不等式的证明
数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习.
例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【详解】（1）由得，则当时，有，
两式相减得，
整理得，即，
因此数列是以为公比的等比数列．
（2）由（1）及可得，
因此．
于是，
所以
，
由于，所以，
故．
1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助与的关系与等比中项的性质计算即可得；
（2）借助裂项相消法可求得，结合函数的单调性即可得证.
【详解】（1）因为，所以，①
当时，，②
①－②得，化简可得，，
且当时，满足上式，
所以数列是公差为2的等差数列，
由题可得，故，解得，
所以，；
（2）证明：令，
所以
，
又函数在上单调递增，所以.
2．（2023·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合与的关系可得的递推公式，然后利用构造法求，再根据与的关系求通项；
（2）根据裂项相消法求，然后可证明.
【详解】（1）由成等比数列，
得，
所以．
整理，得，则．
又，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，即．
当时，，
所以．
当时，不符合上式．
故.
（2）由（1）可知，，
所以
，
所以，
故．
3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知为数列的前项和，，，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）借助构造等比数列算出，即可求出；
（2）将裂项后求和，再分奇偶讨论即可得证.
【详解】（1）由，得，，
则，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
.
（2），
，
，
当为奇数时，，
当为偶数时，，由，可知是递增数列，
，
综上，.
技法02 数列中的不等式放缩
放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）

可推广为：

例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．
【详解】（1）因为， ①
当时，， ②
①②，得
，所以，
又时，，
所以．
（2）由（1）结合已知条件可得：．
当时，，，即成立．
当时，，
所以

综上，．
1．（2024·广东茂名·统考一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；
（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.
【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
2．（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列的前n项之积为，满足（）.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项之和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）时，有，变形为，可得数列为等比数列，可利用首项和公比求通项公式；
（2）利用数列求和的放缩法，结合函数单调性求最值，证明不等式.
【详解】（1）∵数列的前n项之积为，满足（），
时，，解得.
∴时，，化为， 变形为，
又，∴，，
数列是首项为4公比为2的等比数列，∴.
（2）先证明左边：即证明，
由（1）可得：，解得，
又由，解得，
又，
所以，
再证明右边：.
∴，
下面证明，
即证明，
设，，
则，即证明，.
设，，，
则函数在上单调递增，∴，
即，，
∴.
∴.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是通过放缩法结合等比数列前项和公式证明左边，对右边等价转化为证明，再构造函数，利用导数证明即可.
3．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题设，构造法得到，即可证结论.
（2）由（1）及放缩法得，再应用等比数列前n项和公式求和，即可证结论.
【详解】（1）由题设，又，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，显然时成立，
当有，此时，
综上，，得证.
4．（2023·湖北·模拟预测）设对任意，数列满足，，数列满足．
(1)证明：单调递增，且；
(2)记，证明：存在常数，使得．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可证明单调性，由反证法即可证明，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）证明：由于，则，
所以，即单调递增．
假设存在，使得，则，
所以．
不妨取，即，即，则，这与任意，恒成立相矛盾，故假设不成立，所以．
（2）由（1）有，又，所以
．
于是，
故可取，即有．
5．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
【详解】（1）时，，时，，
所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以，即，
当时，，
当时，，不满足上式，
所以，
（2）当时，，原式成立．
当时，
所以．
技法03 数列中的参数求解
对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、需强加练习.
例3．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，可得，
则，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得：，则，
可得，则，
两式相减得：，
所以，
因为，则，
原题意等价于关于的不等式恒成立，可得，
构建，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数的取值范围.
1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用整理化简可得，再结合得到数列为等差数列，即可求出数列的通项公式，将数列的通项公式代入，计算即可得结论；
（2）利用数列的通项公式即可得数列的通项公式；
（3）先利用错位相减法求出，再将恒成立转化为，构造，计算的正负确定其单调性，进而可得最值.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以数列为等差数列，
因为，所以数列的公差为，
所以.
设，
则，
因为（常数），
所以数列是等差数列；
（2）设数列的公比为，
结合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
设，则，
故，
因为，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则，即的取值范围为.
2．（2024·云南曲靖·统考一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
【答案】(1)；
(2)10.
【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；
（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.
3．（2024·全国·模拟预测）设，分别为数列，的前n项和，且．
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，，设m为整数，且对任意的，恒成立，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据题意得到通项公式，根据和分类讨论求数列的通项公式即可；
（2）先证明是等比数列，并求出其通项公式，再利用错位相减法求，最后求的取值范围即可得到m的最小值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
显然不适合上式．
所以，
由，得当时，，
又因为，所以，
当时，，
所以数列从第二项开始构成一个等差数列，
则当时，．
故数列的通项公式为
（2）由和，得，
所以，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，则，
设，
则，①
所以，②
①②得，
，
所以．
设，
由于，所以，
所以数列是递减数列，则，所以．
由题意可知，，，故m的最小值为6．
4．（2023·浙江·统考一模）已知等差数列满足.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设出公差，得到方程，求出公差，得到通项公式；
（2）法一：设，的公差为，代入题目条件变形后对照系数得到方程组，求出，得到，，利用放缩法和裂项相消求和得到，得到整数的最小值；
法二：记的公差为，由，，结合求出，进而得到，进而求出，进而得到，利用放缩法和裂项相消求和得到，得到整数的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，则，得，
故或.
（2）法一：由为等差数列，可设，记的公差为，
故.
所以，显然，，
平方得，该式对任意成立，
故，解得.
故.
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整数的最小值为3.
法二：记的公差为，
则，，，
上式平方后消去可得，
因为是等差数列，所以，故，
将其代入中，得，
解得或，
当时，，解得，
故，
，故，
当时，，此时无意义，舍去，
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整数的最小值为3.
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.
技法04 数列与三角函数综合
数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可和三角函数综合考查，需强化复习
例4．（2023·山东济南·一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若数列满足，则
【详解】A选项，，故，
由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立，
故，A正确；
B选项，由柯西不等式得
，
当且仅当时，等号成立，
故，
，故，当且仅当时，等号成立，
故，
依次类推，可得，当且仅当等号成立，
故
，B错误；
C选项，设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，故在上恒成立，
，C正确；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：ACD
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
1．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)当为偶数时，，当为奇数时，.
【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；
（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，
即，又因为，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
经检验，时，满足，
综上，当为偶数时，，
当为奇数时，.
2．（2023·全国·模拟预测）设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．
(1)求的通项公式．
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据正切的二倍角公式可推出，可知是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）由于，可证，化简，由已知可得，再利用等比数列的求和公式可证，得证.
【详解】（1）由于，则，
由于，所以，即，
又由可知，
从而是首项为，公比为的等比数列，
因此.
（2）一方面，由于，因此．
另一方面，由（1）中，可得．
由于，则，即，
因此，
，
综上，.
3．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（md3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
【答案】(1)或（）．
(2)①3036；②
【分析】（1）根据带除的定义求解，（md3），即能被3整除，从而得出或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和．
【详解】（1）由题意（md3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解．