【二轮复习】2024年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅱ卷专用）.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，得，所以，
函数中，，即，所以，
，所以.
故选：B
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．笵三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，易得该点在第四象限.
故选：D.
3．设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等式，两边平方得：，
则，且，所以.
，即.
故选：B.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
由可得：.
因为，
所以.
所以.
故选：C.
5．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川的六条航线.甲､乙､丙､丁､戊､已6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班.则不同的体验方案有（ ）
A．56种B．72种C．96种D．144种
【答案】C
【解析】由题意，
共6个城市，3个方向，
甲不去沈阳､哈尔滨，有种方案，
乙和丙乘坐同一方向的航班，有种方案，
剩余3人有种方案，
故不同的体验方案有：，
故选：C.
6．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示：
由可得，
所以四边形与四边形的面积之比为，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的；
当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为.
故选：C
7．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列的公比为，则，
所以，
，
则，则，可得，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
8．已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．3.5B．4
C．4.5D．5
【答案】C
【解析】易判断函数为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数，上的最大值.
当时，，二次函数的对称轴为，函数在上单调递增，所以；
当时，，
因为，所以在上递增，在上也是递增，
所以；
当时，，
因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以或，
若，则；
若，则;
当时，，（因为），
所以函数在上递增，在上递减，所以.
综上可知：的最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆，，则（ ）
A．直线的方程为
B．过点作圆的切线有且仅有条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆上到直线的距离为的点共有个
【答案】AB
【解析】由题知，，
则直线的方程为，所以A正确；
因为，圆半径为，
过点作圆的切线有两条，所以B正确；
又，
公共弦所在直线为，
圆心到的距离为，
所以公共弦长为，所以C错误；
圆心到直线的距离为，
所以圆上到直线距离为的点有个，所以D错误．
故选：AB
10．某校有在校学生900人，其中男生400人，女生500人，为了解该校学生对学校课后延时服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生．每位被调查的学生都对学校的课后延时服务给出了满意或不满意的评价，统计过程中发现随机从这90人中抽取一人，此人评价为满意的概率为．在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如下列联表，下列结论正确的是（ ）
参考公式与临界值表，其中．
A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法
B．50名女生中对课后延时服务满意的人数为20
C．的观测值为9
D．根据小概率的独立性检验，不可以认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”
【答案】AD
【解析】A选项，因为在校学生中有400名男生，500名女生，随机调查了40名男生和50名女生，
男女比例始终是4：5，所以采用了分层抽样的方法，故A正确；
B选项，调查的90人中，对学校课后延时服务满意的人数为，
其中男生满意的人数为，所以女生满意的人数为30，女生不满意的人数为20，故B错误；
C选项，由B选项的分析，补全列联表如下：
由列联表可得，故C错误；
D选项，：对课后延时服务的满意度与性别无关，由，
根据小概率的独立性检验，没有充足的证据推断不成立，
即不能认为“对课后延时服务的满意度与性别有关系”，故D正确．
故选：AD．
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D．函数的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项：将代入，得，故的图象不关于点对称,故选项A错误;
对于B选项：在，令，则，
因为，所以，
根据余弦函数图象可知在单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将图象上的所有点向右平移个单位长度,
可得到故选项C正确；
对于D选项：,
结合余弦函数的性质可知：，故选项D正确.
故选：BCD.
12．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于对称D．
【答案】ABD
【解析】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，
所以，
，
所以是周期函数，4是它的一个周期.
，
，В正确；
是偶函数，A正确；
因此的图象关于点对称，其中为奇数，得不到C；
对任意的，且，都有，即时，，
所以在是单调递增，
，
，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共110分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是正项等比数列，若则的最小值等于 .
【答案】/
【解析】由可得，所以，
当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为，
故答案为：
14．已知直线是曲线的一条切线，则 .
【答案】2
【解析】，
当时，，，
设切点为，则切线斜率为，故切线斜率不可能为，舍去，
当时，，，
设切点为，则切线斜率为，令，
解得，则切点为，
将代入中得，，解得.
故答案为：2
15．，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ．
【答案】3
【解析】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以，
代入得，
当且仅当时取等号，即，
又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即.
故答案为：3
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】 /
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为；
由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【解析】（1）由，
则，
所以，
由，，则
故数列为等比数列.
（2）由（1）可知数列是以为首项，以3为公比，
故，，
则；；
.
由累加法可得：，
由，则.
18．（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值.
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
由得，
所以，即.
因为，所以.又，
所以.因为，所以.
（2）
由，
得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，
从而，当且仅当取等号.
则，
当且仅当取等号，则长的最大值为3.
19．（12分）
随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用表示第关的难度为“困难”的概率，求．
【解析】（1）已知第1关的难度为“容易”，则第 2关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，
故第3关的难度是“困难”的概率为；
（2）由题意可得，表示第关的难度为“困难”的概率，表示第关的难度为“困难”的概率，
则，整理可得：，
根据题意得，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
20．（12分）
如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点．
(1)在三棱锥中，证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）
由，得，且为的中点，
所以，
取中点为，连接，，
可得，
在中，，
在中，，
所以，
所以
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
（2）如图，过点作，交于点，
以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，
在中，可得点到距离为，
故可得，
，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
平面与平面的夹角为，
由,取，
所以，
由,取，
所以，
所以
所以两平面的夹角的余弦值为.
21．（12分）
已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，若点，且，求实数的取值范围．
【解析】（1）由可得：①因，则即：，
又因直线与圆相切，则，化简得：②，
联立①②，可解得：，故椭圆的标准方程为：.
（2）
如图，因直线与轴不重合，椭圆焦点为，故可设，
由，消去整理得：，
易得：，不妨设，则有
设中点为，则：,，
即：，
因，则为直线的中垂线.
当时，直线的斜率为，故直线的中垂线的斜率为，
于是，因，则有：，
①当时，，此时直线，点，符合题意；
②当时，，若，则，可得，当且仅当时取等号；
若，则,可得，当且仅当时取等号.
综上，实数的取值范围为.
22．（12分）
已知函数（），为的导函数，.
(1)若，求在上的最大值；
(2)设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围.
【解析】（1）若，可得，则，
即，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又由，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，即函数的最大值为.
（2）由，可得，
因为，
所以对任意且，都有，
因为，可得，则，
对任意且，令，
则
对于恒成立，
由
则对于恒成立，
记，
可得，
①若，则，在单调递增，所以，符合题意；
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，当时，，不符合题意（舍去），
综上可得，，即实数的取值范围为
满意
不满意
合计
男
10
女
合计
90
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男
30
10
40
女
30
20
50
合计
60
30
90