【二轮复习】高考数学模块六 立体几何（考点测试）

这是一份【二轮复习】高考数学模块六 立体几何（考点测试），文件包含二轮复习高考数学模块六立体几何考点测试原卷版docx、二轮复习高考数学模块六立体几何考点测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在四面体中，，则四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，，，所以.
又，所以，故.
取的中点，则到四面体四个顶点的距离均为2，即四面体外接球的半径为2，则四而体外接球的体积为.
故选：D.
2．如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
【答案】C
【解析】
设正方体的棱长为1，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，，，，，
，不是定值，故A错；
，不是定值，故B错；
，所以直线与直线所成角为，故C正确；
，不是定值，故D错.
故选：C.
3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，
因此球的半径，有，
所以球的表面积.
故选：C
4．在三棱柱 中， 平面 是等边三角形， 是棱 的中点，在棱 上，且. 若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】取AB中点,连接DF，EF,
因为D是BC的中点，所以，
即异面直线AC 与 DE 所成角就是平面或补角，
假设，因为△ABC 是等边三角形，所以,
因为, ，
所以,
因为 平面ABC，则为直三棱柱，
所以, ,
在△DEF中，,
故异面直线AC 与 DE 所成角余弦值为.
故选：B.
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，
由题知为等腰直角三角形，，，
设正方体的棱长，
则，，
则由与相似可得，即，
，所以正方体棱长为.
故选：C.
6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长，外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故选：D.
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，两圆锥的表面积分别为和，内切球半径分别为和．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】两圆锥的母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面半径为，
由圆心角之和为，得，则，
又，即，将代入，
所以，
即，所以，从而，．
由圆锥内切球半径公式得，，
所以，将代入，解得，同理可得，所以.
故选：C.
8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分别取的中点，连接，
根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；
根据题意可知，
而平面，
故平面，又平面，
故平面平面，则平面平面，
作，垂足为S，平面平面，
平面，故平面，
则梯形的高即为平面与平面之间的距离；
，
故，
即平面与平面之间的距离为，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（ ）

A．若平面，则B．若平面，则
C．若平面，则D．若平面，则
【答案】BD
【解析】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的法向量可以为，
设，，则，
若平面，则，即，解得，
即，故A错误，B正确；
若平面，则，则，即，
所以，解得，即，故C错误，D正确.
故选：BD
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，则三点共线
【答案】BD
【解析】对于：若，则，
且，故错误；
对于，若对空间中任意一点，
有，，
四点共面，故B正确；
对于，是空间中的一组基底，
且，共面，
不可以构成空间的一组基底，故C错误；
对于，若空间四个点，，
，三点共线，故D正确.
故选：BD
11．在等腰梯形中，，点分别为的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（ ）
A．该旋转体的侧面积为
B．该旋转体的体积为
C．直线与旋转体的上底面所成角的正切值为
D．该旋转体的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图．
因为，
所以圆台的上、下底面的半径分别满足．
又，
所以该圆台的侧面积，所以A正确．
过点分别作于点于点，
则，所以，
故该圆台的体积，
所以B错误．
易知圆台的上、下底面平行，
所以直线与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角．
过点作于点．易知为直线与下底面所成的角．
又，，
所以，所以正确．
设该圆台的外接球的半径为，球心为．
当点在线段上时，．由，得，即，解得．
当点在线段的延长线上时，．由，得，即．
化简，得，此时无解．
所以，
则该旋转体的外接球的表面积，所以正确．
故选：ACD
12．如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（ ）
图1 图2
A．B．
C．的最大值为D．多面体的体积为定值
【答案】AC
【解析】设正方形，的边长为1因为两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设，，
由，且,
可得，解得，
即，，
对于A中，，可得，
即，所以A正确；
对于B中，由，所以当且仅当时，，
即，所以B错误；
对于C中，因为，
当且仅当时等号成立，由 为钝角，所以，
即的最大值为，所以C正确；
对于D中，多面体的体积，非定值，所以D错误.故选：AC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 .
【答案】
【解析】如图：在正四棱台,分别为侧面上的高以及棱台的高，
设棱台的上下底面的边长分别为，则，
在等腰梯形中，，
所以，
故棱台的高为，
故答案为：
14．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．

【答案】
【解析】连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为的中点，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
所以为的中点，
所以.
故答案为：.
15．在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时， .
【答案】3
【解析】如下图所示，设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，
所以；设四棱锥的外接球半径为，
通过构造长方体可知满足；
即，
令，则，令,即；
当
所以，在上单调递减，在上单调递增；即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以，.
故答案为：3
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】 /
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为；
由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由上易知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
所以点到平面的距离为；
（3）由上可知，
设面的一个法向量为，则有，
取，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值.
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.

(1)证明：平面；
(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.
【解析】（1）证明：如图，在上取一点，使得，连接，，，
因为底面是平行四边形，所以，所以，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以 平面，
又因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以 平面，
又因为，平面，所以平面 平面，
因为平面，所以 平面.
（2）当为中点，，，易知，为中点，
又因为平面，所以两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
故二面角的正弦值为，
所以正切值为.
故二面角的正切值为.
19．（12分）
如图，在五面体中，面面，，面，，，，二面角的平面角为.
(1)求证：面；
(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.
【解析】（1）∵面，
又面，面面，
∴.
又面，面，
∴面；
（2）取中点，中点，连结，.
∵面面，交线为，
面，，∴面.
∴是二面角的平面角.即.
∵面，
又面，面面，
∴.
∴.又，∴四边形是梯形.
∴是梯形的中位线.∴.∴面.
∵，是中点，∴.
以为原点，，，为轴如图建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，，，，
由，
设面的一个法向量为，由，，得
，取，得，，∴.
设面的一个法向量为，由，，得
，取，得，，∴.
∴
∴二面角的平面角的余弦值为.
20．（12分）
如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：
(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以都为正三角形，
所以，四边形是菱形，
记与的交点为，为和的中点，
因为，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，平面，
所以平面．
（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，
以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
取，则，
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
21．（12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．

(1)求的值；
(2)若，求多面体的体积．
【解析】（1）连接，
由题意，与的交点即为点，连接，
因为底面是正方形，所以,
又因为面，面，
所以面，
因为平面平面，面，
所以，
又为中点，所以，
所以，
又因为且，
所以且，
所以，
因为是中点，所以.
（2）连接，，所以多面体的体积为
因为，是中点，
所以，，
又因为平面平面，平面平面， 平面，
所以面，
所以，
因为为中点，
所以，
由（1）可知，
所以，
所以多面体的体积为.
22．（12分）
无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等.
（2）在中，可求，
所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为，
所以，
所以.
（3）法1.四元均值不等式
.
当且仅当，即时取等号.
所以最大值为.
法2.琴生不等式法
，
当且仅当，即取等号.
所以最大值为.
法3.二元均值不等式推广，
，
当且仅当时取等号.
所以最大值为.
法4.柯西不等式
，根据二次函数知识可知当取得最大值，
所以；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当.
所以最大值为.