【最新中考数学压轴之满分集训】专题06 常考应用综合—最值、最优方案问题（五大类型）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
冲刺中考数学压轴之满分集训
专题06 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类）
【典例分析】
【类型一：方程（组）+不等式（组）】
【典例1】（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．
由题意得：，即，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．
∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．
设今年购进B足球的个数为a个，则有：．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．
∴3.6a≤120，
∴．
∴最多可购进33个B足球．
【变式1-1】（2023•市南区一模）2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求．商家又用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元．
（1）该商家第一次购进的羽绒服有多少件？
（2）若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），则每件羽绒服的标价至少为多少元？
【解答】解：（1）设该商家第一次购进的羽绒服有x件，则第二次购进的羽绒服有2x件．
由题意得：，
解得x＝240．
经检验，x＝240是原方程的解．
答：该商家第一次购进的羽绒服有240件；
（2）设每件羽绒服的标价为a元．
由题意得：0.6a×50+（240+240×2﹣50）a﹣（26400+57600）≥（26 400+57 600）×25%，
解得a≥150．
答：每件羽绒服的标价至少为150元．
【变式1-2】（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以购买100个篮球．
【变式1-3】（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
【类型二：方程（组）+不等式（组）——一次函数模型】
【典例2】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；
（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：
设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（100﹣m）棵，
∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，
∴100﹣m≤3m，
解得m≥25，
根据题意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25+3000＝3250（元），
此时100﹣m＝75，
答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少．
【变式2-1】（2022•桐梓县模拟）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．
（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？
（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．
①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；
②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．
【解答】解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，
根据题意得：，解得，
答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；
（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；
方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．
②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，
解得x＝65；
当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，
解得：x＜65；
当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，
解得x＞65．
∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；
当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；
当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．
【变式2-2】（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元．
（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？
（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；
（2）设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为（400﹣m）盆，种植两种花卉的总费用为w元，
根据题意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200时，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元．
【变式2-3】（2022•天津模拟）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y1（元），选择公路运输时，所需费用y2（元），请分别写出y1（元），y2（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
【解答】解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，
由题意可得：，
解得：，
答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克；
（2）由题意可得：y1＝0.58x，y2＝0.28x+600；
（3）当y1＝y2时，0.58x＝0.28x+600，
解得x＝2000，
∴当运输2000千克时，两种方式均可，
当y1＜y2时，0.58x＜0.28x+600，
解得x＜2000，
∴当运输少于2000千克时，铁路划算，
当y1＞y2时，0.58x＝0.28x+600，
解得x＞2000，
∴当运输超过2000千克时，公路划算．
【变式2-4】（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
，
解得，
∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w小＝10+40＝50．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．
【变式2-5】（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，
根据题意得：50x＝10（40+x），
解得：x＝10，
40+x＝40+10＝50（元），
答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；
（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得：30≤m≤40，
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，
w最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．
【变式2-6】“桂花糕”是中国特色传统小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜为原料制作而成，历史悠久，种类多样．小李在某糕点生产厂家选中A，B两款不同包装的“桂花糕”，决定从该厂家进货并销售．两款“桂花糕”的进货价和销售价如表：
（1）若小李用2000元购进了A，B两款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”购进了35盒，求B款“桂花糕”购进多少盒？
（2）若小李计划A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，且计划购进两款“桂花糕”共60盒，小李应该如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设B款“桂花糕”购进x盒，
根据题意得：35×40+30x＝2000，
解得x＝20，
答：B款“桂花糕”购进20盒；
（2）设购进A款“桂花糕”m盒，销售利润为W元，则购进B款“桂花糕”（60﹣m）盒，
∵A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的一半，
∴m≤（60﹣m），
解得m≤20，
根据题意得W＝（56﹣40）m+（45﹣30）（60﹣m）＝m+900，
∵1＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴m＝20时，W取最大值，最大值为20+900＝920（元），
此时60﹣m＝60﹣20＝40，
答：购进A款“桂花糕”20盒，购进B款“桂花糕”40盒，获得最大利润，最大利润是920元
【类型三：方程（组）+不等式（组）——二次函数模型】
【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
【变式3-1】（2023•蜀山区校级一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，
由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，
解得x2﹣440x+48300＝0，
解得x＝230或x＝210，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，
∵﹣2＜0，
∴当m＝220时，W最大，最大为96800，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．
【变式3-2】某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，
根据题意得：，
解得，
答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；
（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，
∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，
根据表格可得：，
解得，
∴y＝﹣2x+124，
当y＝80﹣2m时，x＝22+m，
即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，
设该店每天所获利润是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【变式3-3】（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）“二十大”临近结束时，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A款钥匙扣200件，B款钥匙扣100件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（800﹣m）件B款钥匙扣，
根据题意得：30m+25（800﹣m）≤22000，
解得：m≤400．
设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此时800﹣m＝800﹣400＝400．
答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是10800元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，
根据题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a1＝30，a2＝34．
又∵要尽快减少库存，
∴a＝30．
答：B款钥匙扣的售价应定为30元．
【变式3-4】（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
又∵x为整数，
∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6
【类型四：确定取值范围】
【典例4】（2022•新昌县二模）如图，是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x（cm），单层部分的长度为y（cm）．经测量，得到表中数据．
（1）根据表中数据规伸，求出y与x的函数关系式．（不必写出自变量取值范围）
（2）设背带的长度为L（cm），即L＝x+y．
①按小文的身高和习惯，L＝130（cm）时为最佳背带长度．请计算此时双层部分的长度．
②求L的取值范围．
【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题知 ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；
（2）①根据题意知 ，
解得 ，
∴双层部分的长度为22cm；
②由题知，当x＝0时，y＝152，
当y＝0时，x＝76，
∴76≤L≤152．
【变式4-1】（2021•衡阳）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．
【解答】解：（1）由表格数据规律可知y与x的函数关系为一次函数，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题知，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；
（2）根据题意知，
解得，
∴双层部分的长度为22cm；
（3）由题知，当x＝0时，y＝152，
当y＝0时，x＝76，
∴76≤L≤152．
【变式4-2】（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
（1）填空：m与x的函数关系为 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数） ；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时当x＝21时，取得最大日销售利润W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，且x只能取整数，故只要第20天的利润高于第19天，即对称轴要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范围是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范围是1.75＜n＜4．
【变式4-3】（2022•黄冈模拟）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为：y＝，且x为整数，且日销量m（千克）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表：
（1）求m与x的函数关系式；
（2）当1≤x≤20时，最大日销售利润是多少？
（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元？
【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m＝kx+b（k≠0），
将（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m与x的函数关系为：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；
（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：
当1≤x≤20且x为整数时，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时当x＝16时，取得最大日销售利润为1568元，
∴第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；
（3）由（2）得，当1≤x≤20且x为整数时，W＝﹣0.5（x﹣16）2+156，
令W＝1550，得1550＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
解得：x1＝10，x2＝22．
∵﹣＜0，对称轴为直线x＝16，10≤x≤20，共11天．
当20＜x≤40且x为整数时，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
令W＝1550，得1550＝﹣30x+2160，
解得：x＝，
∵﹣30＜0，
∴20＜x＜，无整数解，即0天．
综上所述，在未来40天中，有11天销售利润不低于1550元．
【变式4-4】（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]
【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横纵坐标相同．
∴A（4，4）．
设OA的解析式为：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，
∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
∵2号机在爬升到A处时水平方向上移动了4km，飞行的距离为4km，
又1号机的飞行速度为3km/min，
∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，
由题意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式为h＝．
令h＝0，则s＝19．
∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．
（3）解法一：∵PQ不超过3km，
∴5﹣h≤3．
∴PQ＝，
解得：2≤s≤13．
∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝（min）．
解法二：当PQ＝3km时，h＝5﹣3＝2（km），
∵h＝s，
∴s＝2．
由2＝得：s＝13，
∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（min）．
【变式4-5】（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝＝18，50＞0，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
对称轴为直线x＝，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5＜＜17.5，
解得：50＜a＜150
【类型五：拱形问题】
【典例5】（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
【变式5-1】（2022•柯城区校级三模）如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【解答】解：（1）根据题意得：D（﹣2，0），C（2，0），E（（0，1），
设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0），
把D（﹣2，0）代入得：4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；
（2）在y＝﹣x2+1中，令y＝﹣3＝得：
＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴距离地面米高处，隧道的宽度是2m；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在y＝﹣x2+1中，令y＝3.6﹣3＝0.6得：
0.6＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴|2x|＝≈2.53（m），
∵2.53＞2.4，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【变式5-2】（2022•诸暨市模拟）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（10，6），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣10）2+6，
将点（0，1）代入可得a＝，
∴抛物线为，
当x＝15时，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）由题可知A点坐标为（15，3），
则直线OA为，
∴，
答：y1﹣y2的最大值为；
（3）设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），
答：喷射架应向后移动1米．
【变式5-3】（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
【变式5-4】（2022•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+m，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5，
解得m≥1.6，
∴水管高度至少向上调节1.6米，
∴0.5+1.6＝2.1（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
【变式5-5】（2022•六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
【解答】解：（1）设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵h＝4，k＝4，
∴y＝a（x﹣4）2+4，
由已知：当x＝0时y＝2，
即2＝16a+4，
∴a＝﹣，
∴抛物线ACD的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）令y＝0，﹣（x﹣4）2+4＝0，
∴（x﹣4）2＝32，
解得：x1＝4+4≈9.7，x2＝﹣4+4＜0（舍去），
∴篮球第一次落地距O点约9.7米；
如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，
根据题意：DE＝AN，相当于将抛物线ACD向下平移了2个单位，
∴2＝﹣（x﹣4）2+4，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴DE＝|x1﹣x2|＝8，
∴OE＝OD+DE≈9.7+8＝17.7（米），
∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；
（3）当y＝3时，3＝﹣（x﹣4）2+4，
解得：x1＝4﹣2≈1.2，x2＝4+2≈6.8，
∵OF＝25，
∴EG＝OF﹣OE﹣（6.8﹣1.2）＝1.7（米），
∴EG的长为1.7米．
类别
价格
A款
B款
进货价（元/盒）
40
30
销售价（元/盒）
56
45
售价（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天销售量（本）
……
80
78
76
74
……
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
双层部分长度x（cm）
2
8
14
20
单层部分长度y（cm）
148
136
124
112
双层部分长度x（cm）
2
8
14
20
单层部分长度y（cm）
148
136
124
112
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（kg）
142
138
132
124
…
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量m（千克）
142
138
132
124
…
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5