【二轮复习】高考数学专题20 概率与统计常考小题归类（考点专练）（原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157086343" 01 抽样方法与随机数表 PAGEREF _Tc157086343 \h 2
\l "_Tc157086344" 02 统计图表及其数字特征 PAGEREF _Tc157086344 \h 3
\l "_Tc157086345" 03 传统线性拟合 PAGEREF _Tc157086345 \h 6
\l "_Tc157086346" 04 非线性拟合处理 PAGEREF _Tc157086346 \h 7
\l "_Tc157086347" 05 传统独立性检验 PAGEREF _Tc157086347 \h 9
\l "_Tc157086348" 06 创新类定义统计 PAGEREF _Tc157086348 \h 11
\l "_Tc157086349" 07 正态分布 PAGEREF _Tc157086349 \h 14
\l "_Tc157086350" 08 超几何分布与二项分布 PAGEREF _Tc157086350 \h 16
\l "_Tc157086351" 09 随机变量的分布列、期望、方差 PAGEREF _Tc157086351 \h 18
\l "_Tc157086352" 10 古典概型 PAGEREF _Tc157086352 \h 21
\l "_Tc157086353" 11 条件概率与全概率 PAGEREF _Tc157086353 \h 22
\l "_Tc157086354" 12 概统结合问题 PAGEREF _Tc157086354 \h 24
\l "_Tc157086355" 13 传统规则的概率问题 PAGEREF _Tc157086355 \h 26
\l "_Tc157086356" 14 新赛制概率问题 PAGEREF _Tc157086356 \h 30
\l "_Tc157086357" 15 递推型概率命题 PAGEREF _Tc157086357 \h 31
01 抽样方法与随机数表
1．（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（ ）
A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义，知男生共抽取（人），女生共抽取（人）．
故选：D．
2．（2024·广东·高三统考学业考试）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是（ ）
A．1，11，21，31，41，51B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56D．3，9，13，27，36，54
【答案】A
【解析】由知组距为10，
当第一组抽到的编号为i时，根据系统抽样方法可知，第k组取的编号为，
当时可知A正确，易知BCD错误.
故选：A
3．（2024·全国·高三专题练习）某校要从高一、高二、高三共2 019名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2 019名学生中剔除19名，再从剩下的2 000名学生中按分层抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性（ ）
A．都相等且为B．都相等且为
C．不完全相等D．均不相等
【答案】A
【解析】根据简单随机抽样及分层抽样的定义可得，每个个体被抽到的概率都相等，
所以每个个体被抽到的概率都等于，故A项正确.
故选：A.
02 统计图表及其数字特征
4．（多选题）（2024·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）

A．2023年中国乡村旅游消费者中年龄在岁之间的男性占比超过
B．2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过
C．2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
D．2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）
【答案】BC
【解析】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在岁之间的男性占比为，故A正确；
由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为，故B错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为
，故C错误；
由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为，故D正确.
故选：BC
5．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．

根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
【答案】BC
【解析】每周都消费新式茶饮的消费者占比,A错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比，B正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比,D错误．
故选：BC
6．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的中位数为0.1%
C．环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的下四分位数为1.55%
【答案】ACD
【解析】由题意得，同比涨跌幅从小到大排列依次为0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%；
环比涨跌幅从小到大排列依次为－0.2%，－0.2%，－0.1%，0%，0%，0%，0.1%，0.3%，0.4%，0.4%，0.5%，0.6%．-
选项A中：环比涨跌幅的极差为，
同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的中位数为，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的下四分位数为，所以D正确.
故选：ACD.
7．（多选题）（2024·全国·模拟预测）记男生样本的平均数为，方差为；女生样本的平均数为，方差为；男女总样本的平均数记为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．
【答案】BCD
【解析】对A，，可得，则或，A不正确．
对B，，所以，若，则，B正确．
对C，因为，所以，
则．
又，
所以，C正确．
对D，
，
所以，D正确．
故选：BCD
03 传统线性拟合
8．已知一组数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若，则 ．
【答案】
【解析】根据题意可知该组数据点，
所以，
所以，
故答案为：
9．（2024·广西·模拟预测）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：
根据上表，可得关于的线性回归方程为.则 .
【答案】
【解析】根据表格可知，
，，
代入，可得.
故答案为：
10．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为 ．
【答案】3
【解析】．
因为回归直线过样本中心点，
所以，解得．
故答案为：
04 非线性拟合处理
11．（2024·湖南·校联考模拟预测）若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（，为自然对数的底数）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而增大，不合题意，故A错误；
对于B：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误；
对于C：因为在定义域内单调递增且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误；
对于D：因为在定义域内单调递减且，所以随着的增大而减小，当解释变量，，故D错误；
故选：D．
12．（2024·广东梅州·统考一模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
即经验回归方程，
当时，，
所以，
即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，
故选：B
13．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，设，可得.
又经验回归方程为，
所以，故.
故选：B
05 传统独立性检验
14．（2024·全国·高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设，
于是，
由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知，解得，于是最小值为.
故选：C
15．（2024·全国·高三专题练习）2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（ ）
参考数据：
A．不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C．根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D．根据小概率的的独立性检验认为两者无关
【答案】B
【解析】由数表知，，而，
所以根据小概率的的独立性检验认为两者有关．
故选：B
16．（2024·全国·高三专题练习）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（ ）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
A．0.001B．0.05
C．0.01D．0.005
【答案】B
【解析】完善2×2列联表如下：
零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．
因为χ2＝，
所以根据小概率值的独立性检验，推断H0不成立，
即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．
故选：B.
06 创新类定义统计
17．（多选题）为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为
【答案】BCD
【解析】极大似然是一种估计方法，A错误；
设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为，
设
，
时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故当时，最大，故B正确；
根据题意，（其中或1，），
所以，可知C正确；
令，解得，且时，时，故在上递增，在上递减，故达到极大值时，参数的极大似然估计值为，故D正确.
故选：BCD
18．高一模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数点后一位有效数字）
A．41.7%，71.4%B．60%，71.4%
C．41.7%，35%D．60%，35%
【答案】A
【解析】由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；
“学科对总分上线贡献率”为，
“学科有效分上线命中率”为，
故选：A．
19．（2024·河北·高三学业考试）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（ ）
A．600石B．800石C．1600石D．3200石
【答案】C
【解析】设这批米大约为石，
根据题意，可得，解得石.
故选：C.
07 正态分布
20．（2024·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.65865
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则.
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
21．（2024·全国·高三专题练习）老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条路线可以选择．乘坐路线A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家，要5分钟，乘坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（ ）
（参考数据：，则，，）
A．若乘坐路线A，则在17:48前到家的可能性超过1%
B．若乘坐路线B，18:00前一定能到家
C．乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样
D．乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更小
【答案】C
【解析】设乘坐路线A所需时间为，乘坐路线B所需时间为
对于A，由知，，
因为，所以，所以A选项错误；
对于B，“18:00前一定能到家”是随机事件，可能发生，可能不发生，所以B选项错误；
对于C，，，，，
因此乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样，选项C正确．
对于D，，，乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更大，选项D错误．
故选：C.
22．（2024·江苏镇江·高三统考开学考试）已知某工厂生产零件的尺寸指标，单位为.该厂每天生产的零件尺寸在的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为（ ）
参考数据：若，则，，.
A．1587B．2275C．2700D．1350
【答案】D
【解析】由已知，，，

零件尺寸在15.15以上的概率为，
设零件尺寸在15.15以上的零件数为，
则，，
故选：D．
08 超几何分布与二项分布
23．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【解析】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有.
故答案为：410
24．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
25．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
若任取的3个数中有0个阴数，则概率为；
若任取的3个数中有1个阴数，则概率为；
故这3个数中至多有1个阴数的概率为.
故选：A.
26．（2024·湖北十堰·高三统考期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，
，
，
因为，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误．
故选：B
09 随机变量的分布列、期望、方差
27．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .
【答案】17
【解析】由题意可得：的可能取值为，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
故的分布列为：
故.
所以
故答案为：.
28．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为
则 ； .
【答案】 2.8 10.4
【解析】,
.
故答案为：2.8；10.4.
29．（2022上·浙江湖州·高三校考期末）用0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数，则其中0和4不相邻的四位数有 个，设这些无重复数字的四位数的各数字之积为，则 ．
【答案】
【解析】当在不在时，此时有个，
当不在在时，此时有个，
当都在时，
若在千位，可在十位或百位，此时有个，
若在百位，只能在个位，此时有个，
若在十位，无合适位置，故不成立，
若在个位，只能在百位，此时有个，
所以和不相邻的四位数有个；
当四位数中含有时，此时有个，此时
当四位数中不含有时，此时有个，此时，
由上可知可取，
所以，，
所以，
故答案为：；.
30．（2023·安徽·校联考模拟预测）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意知，则，则，
设，则，
故，所以，
当时，取最小值，
故答案为：
10 古典概型
31．（2024·河北邢台·高三统考期末）保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为 ．
【答案】/0.8
【解析】利用分步乘法原理计算出一共有25种结果，其中两个班抽到不同歌曲的个数为20种，
则根据古典概型的概率公式计算：.
故答案为：
32．（2024·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．
（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
【答案】 / /
【解析】放回的抽取时，两次抽取共有种情况，
其中两次抽取颜色相同共有种情况，
其中黑色相同的有种，白色相同的共有种，
故所求概率为；
当不放回的抽取时，颜色相同的有种情况，
其中其中黑色相同的有种，白色相同的共种，
所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，
第一次抽取的球是白球的概率为.
故答案为：；
33．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生.从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 .
【答案】
【解析】一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生,
从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为,
选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为,
则所求事件的概率为，
故答案为：.
34．（2024·重庆·高三统考期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 ．
【答案】/
【解析】由题意取出的球颜色不同的取法数有，若球的编号之和为奇数，
当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白球，
当选编号为2的黑球时，可以选编号为1，3的白球，
即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有种，
所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为.
故答案为：.
11 条件概率与全概率
35．（2024·广东东莞·高三统考期末）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病．用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率 ．
【答案】
【解析】由条件概率公式可得，
，
由条件概率公式可得，
所以，，
所以，.
故答案为：.
36．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，4），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则 ， ．
【答案】
【解析】依题意，，
所以，
又，因此；
；
.
故答案为：；.
37．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是 .
【答案】
【解析】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为，小明上班不迟到的事件为，
则，且两两互斥，依题意，，
，
因此，
所以某天上班他迟到的概率.
故答案为：
12 概统结合问题
38．（2024·辽宁大连·高三统考期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为
故答案为：C.
39．（2024·河南·高三校联考阶段练习）如下表，根据变量与之间的对应数据可求出.其中.现从这个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表中的数据可知，，
设的最后一个数据为，则，，
将，代入得，
这个样本点对应的残差分别为：
，
，
，
，
，
所以残差不大于的概率为.
故选：.
40．（2024·全国·校联考模拟预测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是（ ）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2.6小时
C．估计该地初一年级学生的平均做作业的时间超过2.6小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【解析】由直方图得超过3小时的频率为,所以A正确；
设直方图的中位数为x，则有，
解得，故B正确；
直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：所以平均数大于中位数，所以C正确；
做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误,
故选:D．
13 传统规则的概率问题
41．（多选题）（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
42．（多选题）（2024·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校考阶段练习）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】，均服从于超几何分布，且，，
，，
对选项A：，错误；
对选项B：，，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：BCD.
43．（2024·浙江·高二统考阶段练习）现有n（n>2,）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其它无区别的小球，第k（k=1,2,3…n）个袋子中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为，则n=（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第 k个袋子中连取三次球第三次取出的球是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故选：B.
44．（2024·浙江绍兴·高三统考学业考试）一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：
所以有,
，
随机变量的分布列如下图所示：
，
，
因为，所以，因此有，故本题选D.
45．（2024·浙江·高三专题练习）甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得甲对获胜可能以下分为两种情况：
①第一局甲队获胜，此时的概率为；
②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为，
综上所述，甲队获胜的概率为，
故选：D.
46．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以领先,则最后乙队获胜的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为；
第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为；
第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜；
故最后乙队获胜的概率，
故选：B.
14 新赛制概率问题
47．（2024·浙江宁波·高一统考期末）2022年2月6日，中国女足在亚洲杯赛场上以3:2逆转击败韩国女足，成功夺冠.之前半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足.假设罚点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且即使方向判断正确也有的可能性扑不到球，不考虑其它因素，在一次点球大战中，门将在第一次射门就扑出点球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得门将在第一次射门就扑出点球的概率为，
故选：B
48．（2024·福建漳州·高三校考期末）已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随机均分为组，同组人先进行一场比赛，组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为，则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为所有人在比赛中获胜的概率均为，所以甲、乙、丙、丁四人进入决赛的可能性相等.
所以进入决赛可能出现的情况有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6种情况，
甲乙在决赛中相遇的情况只有（甲乙）1种，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在决赛中相遇的概率为.
故选：B.
49．（2024·全国·模拟预测）为了丰富同学们的业余生活，增强体质，培养团队意识，甲、乙两校举行乒乓球比赛．比赛采取5局3胜制．假设每局比赛甲校胜乙校的概率都为，没有平局，且各局比赛的结果互不影响，则甲校以3：0获胜或以3：1获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】甲校以3：0获胜表示比赛进行3局结束，甲校胜3局，概率为，
甲校以3：1获胜表示比赛进行4局结束，甲校胜3局，且第4局甲校胜，概率为，
所以所求概率为，
故选：C．
15 递推型概率命题
50．（2023·全国·高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
【答案】
【解析】设第次由乙同学传球的概率为，显然，
第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为，
如果球传到乙，则乙不能传到乙，
故第次由乙传球的概率与第次由乙传球的概率的关系为：
，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，则，故.
故答案为：.
51．（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则 ；该棋手获胜的概率为 ．
【答案】 /0.75
【解析】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
52．（2022下·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）五名运动员、、、、相互传球．每个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由开始进行第次传球，那么恰好在第次传球把球传回到手中的概率是 （用最简分数表示）．
【答案】
【解析】设第次传球把球传回到的手中的概率为，
第次传球将球传给其他运动员，故；
表示第次传球把球传回到的手中，故传球前球不在手中，
而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为，由乘法原理，故．
于是，且，
故数列为首项为，公比为的等比数列，
于是，即，，
故.
故答案为：.
53．（2022·天津·天津市蓟州区第一中学校联考一模）某高中食堂鲜奶站提供、两种鲜奶，他们经过统计分析发现：第一次购买的人购买种鲜奶的概率为、购买种鲜奶的概率为，而前一次购买种鲜奶的人下一次来购买种鲜奶的概率为、购买种鲜奶的概率为，前一次购买种鲜奶的人下一次来购买种鲜奶的概率为、购买种鲜奶的概率也是，如此往复．记某人第次来购买种鲜奶的概率为．则 ﹔经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备种鲜奶 份．
【答案】 320
【解析】解:根据题意,,所以
由题知，，
所以，
所以是等比数列，公比为，首项为，
所以，即，
因为假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，
所以当时，，
所以公司每天应该准备种鲜奶份
故答案为：；.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
年借阅量万册
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
3
4
5
6
2.5
t
4
4.5
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
0.05
0.01
3.841
6.635
认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
4
5
6
7
8
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
0
1
P
0
1
P