四川省成都市2024届高三下学期三诊考试数学（理）试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都市2024届高三下学期三诊考试数学（理）试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了 答非选择题时, 必须使用 0， 考试结束后, 只将答题卡交回，1 ” C等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷 (选择题) 1 至 2 页, 第 II 卷 (非选择题) 3 至 4 页, 共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上,
4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后, 只将答题卡交回。
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣x=2k+1,k∈Z},B={x∣x=4k+1,k∈Z} ,则
(A) A∩B=⌀ (B) A∪B=Z (C) A⊆B (D) B⊆A
2. 若复数 z 满足 z+1i=−1−i ,则 z 在复平面内对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
3. 已知 a,b 是两条不同的直线, α 是平面,若 a//α,b⊂α ,则 a,b 不可能
(A)平行 (B) 垂直 (C) 相交 (D) 异面
4. “数九”从每年“冬至”当天开始计算, 每九天为一个单位,冬至后的第 81 天, “数九”结束, 天气就变得温暖起来. 如图, 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: ​∘C ),下列说法正确的是
(A) “四九”以后成都市“平均气温”一直上升
(B) “四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C
(C) “一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
(D) “一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
5. 设 m∈R ,双曲线 C 的方程为 x2m2−y2m+12=1 ,则“ C 的离心率为 5 ” 是“ m=1n 的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6. 如图,由观测数据 xi,yii=1,2,3,4,5,6 的散点图可知, y 与 x 的关系可以用模型 y=blnx+a 拟合,设 z=lnx ,利用最小二乘法求得 y 关于 z 的回归方程 y=bz+1 . 已知 x1x2x3x4x5x6=e12 ,i=14yi=18 ,则 b=
(A) 17e12 (B) 12e12 (C) 1 (D) 1712
7. 已知 sin2α1−cs2α=2 ,则 tanα=
(A) 12 (B) −12 (C) 2 (D) -2
8. 已知直线 l1x−ay+1=0 与 ⊙C1x−a2+y−12=1 相交于 A,B 两点,若 △ABC 是直角三角形,则实数 a 的值为
(A) 1 或 -1 (B) 3 或 −3 (C) −17 或 -1 (D) −17 或 −3
9. 将函数 fx=sinωx+φω>0 的图象向左平移 π6 个单位后,与函数 gx= csωx+φ 的图象重合,则 ω 的最小值为
(A) 9 (B) 6 (C) 3 (D) 2
10. 已知函数 fx=ex−ex−x−csx ,若实数 x1,x2,x3 成等差数列,且 fx1+fx2 +fx3=0 ,则 x1+x2+x3=
(A) 0 (B) π2 (C) 3π2 (D) 3π
11. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,M,N 分别是边 AB,AD 上的点 (均不与端点重合),记 △AMN,△CMN 的面积分别为 S1,S2 . 若 S1=CM⋅AB⋅CN⋅AD ,则 S2 的取值范围是
(A) 14,34 (B) 2−1,34 (C) 14,12 (D) 2−1,12
12. 在棱长为 5 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, Q 是 DD1 中点,点 P 在正方体的内切球的球面上运动,且 CP⊥AQ ,则点 P 的轨迹长度为
(A) 5π (B) 25π (C) 5π4 (D) 5π
第 II 卷 (非选择题, 共 90 分)
二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡上.
13. 已知函数 fx=3x,x≥1,3−x,x<1, 则 flg32 的值为________
14. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 b2=2ac,sinC=2sinA ,则 csA 的值为________
15. 设 F 为抛物线 C1x2=2y 的焦点,过 F 的直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 A 作 C 的切线,与 x 轴交于点 D ,与 y 轴交于点 E ,则 DE⋅OB (其中 O 为坐标原点) 的值为________
16. 已知函数 fx=xex−me2x ,若 fx 存在最小值,且最小值为 2m ,则实数 m 的值为________
三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)
设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 2an=Sn+n .
(I) 证明: 数列 an+1 是等比数列;
(II) 设 bn=lg2an+1,cn=1bnbn+1 ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
18. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱雉 E−ABCD 中, AB//CD,∠BAD=60∘,AB=1 , AD=CD=2,BE⊥CD .
(I) 证明: 平面 BDE⊥ 平面 ABCD ;
(II) 若 AD⊥DE,DE=42,F 为 CE 中点,求直线 BF 与平面 ABE 所成角的正弦值.
19. (本小题满分 12 分)
课外阅读对于培养学生的阅读兴趣, 拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况, 从该市全体中学生中随机抽取了 500 名学生, 调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长 t (单位: 分钟),得到如下所示的频数分布表,已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过 100 分钟.
(I) 估计这 500 名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(II) 用频率估计概率, 从该市中学生中随机抽取 2 名学生参加座谈, 抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在 [0,20) 内记 0 分,在 20,60)内记 1 分,在[60,100 内记 2 分. 用 X 表示这两名学生得分之和,求 X 的分布列和数学期望.
20. (本小题满分 12 分)
已知函数 fx=xlnx−ax+aa∈R .
(I) 当 a=2 时,求 fx 的单调区间;
(II) 若 fx 有两个零点,求 a 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 C1x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32 ,过点 Pa,b 的直线 l 与椭圆 C 交 于 A,B 两点,当 l 过坐标原点 O 时, AB=10 .
(I) 求椭圆 C 的方程;
(II) 线段 OP 上是否存在定点 Q ,使得直线 QA 与直线 QB 的斜率之积为定值. 若存在, 求出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由.
请考生在第 22,23 题中任选择一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x=mt2,y=mt ( t 为参数). 以坐标原点为 极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcsθ+π4−22=0 .
(I) 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(II) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 M6,2 为线段 AB 的三等分点,求实数 m 的值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 : 不等式选讲
已知函数 fx=x−2m−mm<0 .
(I) 求不等式 fx≥2x 的解集;
(II) 当 m=−2 时,函数 fx 的最小值 n ,若非零实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2=n ,
证明: a2b2+c2+b2c2+a2+c2a2+b2≥32 .
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数学 (理科) 参考答案及评分意见
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分, 共 60 分)
1.D; 2.B; 3. C; 4.D; 5.B; 6.C; 7.A; 8.A; 9.C; 10.C; 11.D; 12. B.
第 II 卷 (非选择题, 共 90 分)
二、填空题: (每小题 5 分, 共 20 分)
13. 12 ; 14. 78 ; 15. 14 ; 16. −e3 .
三、解答题: (共 70 分)
17. 解: (I) 当 n=1 时, 2a1=S1+1=a1+1 ,得 a1=1 , ……1 分
由 2an=Sn+n,D
当 n≥2 时, 2an−1=Sn−1+n−1 (2), ……2分
(1) - (2)得: 2an−an−1=Sn−Sn−1+1=an+1 ,
整理得: an=2an−1+1n≥2 , ⋯⋯4 分
所以 an+1=2an−1+1n≥2 ,且 a1+1=2 , ……5 分
∴an+1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. ……6 分
(II) 由 (I) 得 an+1=a1+1⋅2n−1=2n , ……8 分
∴bn=lg22n=n,cn=1nn+1=1n−1n+1 . ⋯⋯10 分
∴Tn=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1.
……12 分
18. 解: (I) 在 △ADB 中,由余弦定理 DB=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅cs∠DAB=3 .
∵AD2=DB2+AB2,∴DB⊥AB . ……2 分
∵CD//AB,EB⊥CD,∴EB⊥AB . ……3 分
∵DB⊥AB,EB∩DB=B,∴AB⊥ 平面 EDB . ⋯⋯4 分
又 AB⊂ 平面 ABCD ,
∴ 平面 EDB⊥ 平面 ABCD . ……5 分
(II) 由 (I) 易得 CD⊥ 平面 EDB,ED⊂ 平面 EDB ,
∴CD⊥ED . 又 ∵ED⊥AD,AD∩CD=D ,
∴ED⊥ 平面 ABCD,∵BD⊂ 平面 ABCD ,
∴ED⊥BD . 又 BD⊥DC , ……7 分
如图,以 D 为坐标原点, DB,DC,DE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系D−xyz ,则:D0,0,0,B3,0,0,C0,2,0,
A3,−1,0,E0,0,42,
∵F 是 CE 中点,
∴F0,1,22,BF=−3,1,22 . ……8 分
设 m=x,y,z 为平面 ABE 的一个法向量,
AB=0,1,0,AE=−3,1,42,
m⋅AE=0m⋅AB=0 ,即 y=0−3x+y+42z=0 ,
令 x=42 得 m=42,0,3, ⋯⋯10 分
设直线 BF 与平面 ABE 所成角大小为 θ ,则
sinθ=cs⟨m,BF⟩=m⋅BFm⋅BF=7035.
⋯⋯11 分
所以直线 BF 与平面 ABE 所成角的正弦值为 7035 . ⋯⋯12 分
19. 解: (1) 由题意, 样本中 500 名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
t=10×50500+30×100500+50×200500+70×125500+90×25500=49.
所以估计这 500 名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为 49. ⋯4 分
(II) 抽到任意一名学生得 0 分的概率为: 50500=0.1 ,
得 1 分的概率为: 100+200500=0.6 ,
得 2 分的概率为: 125+25500=0.3 . ……5 分
由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ,
PX=0=0.1×0.1=0.01,PX=1=2×0.1×0.6=0.12 ,
PX=2=2×0.1×0.3+0.6×0.6=0.42,
PX=3=2×0.6×0.3=0.36,PX=4=0.3×0.3=0.09 . ……10 分
∴X 的分布列为:
X 的数学期望 EX=0×0.01+1×0.12+2×0.42+3×0.36+4×0.09=2.4 .
……12 分
20. 解: (I) 当 a=2 时, fx=xlnx−2x+2x>0 ,
f'x=1+lnx−1x,
……1 分
注意到函数 y=lnx 与 y=−1x 均在 0,+∞ 单调递增,
∴f'x 在 0,+∞ 上单调递增. ……3 分
由 f'1=0 ,得
x∈0,1,f'x<0,fx 在 0,1 上单调递减;
x∈1,+∞,f'x>0,fx 在 1,+∞ 上单调递增.
综上, fx 的单增区间为 1,+∞ ,单减区间为 0,1 . ……5 分
(II) 令 x=t>0 ,
设函数 gt=2t2lnt−at+a,g1=0 .
函数 fx 有两个零点等价于函数 gt 有两个零点.
(1)当 a≤0 时, gt=2t2lnt−at+a=2t2lnt−at−1 ,
当 t>1 时, gt>0 ; 当 0∴gt 在 0,+∞ 上只有一个零点,故 a≤0 不合题意. ……7分
(2)当 a>0 时,
g't=2t2lnt+1−a ,令 ℎt=2t2lnt+1−a ,
ℎ't=22lnt+3 ,令 ℎ't=0 得 t=1e32 ,
ℎt 在 0,1es2 上单调递减, 1e32,+∞ 上单调递增, ……8 分
∴ℎtmin=ℎ1e32=−4e32−a .
∵−4e32−a<0,t→0+ 时, ℎt→−a<0,t→+∞ 时, ℎt→+∞ .
由零点存在定理得存在 t0∈1e32,+∞ ,使得 ℎt0=0 ,
∴t∈0,t0 时, g't<0,gt 单调递减;
t∈t0,+∞ 时, g't>0,gt 单调递增. ……9 分
由 t→0+ 时, gt→a>0,t→+∞ 时, gt→+∞ ,且 g1=0 ,
故当 t0=1 时,函数 gt 有且仅有一个零点,不合题意;
当 t0≠1 时, gtmin=gt0此时 gt 在 0,t0,t0,+∞ 上各有一个零点. 满足题意. ……11 分
由 ℎt 在 1e32,+∞ 上单调递增,且 ℎ1=2−a .
故当 a=2 时, t0=1 ,不合题意;
当 a∈0,2∪2,+∞ 时, t0≠1 ,满足题意.
综上, a 的取值范围为 0,2∪2,+∞ . ……12 分
21. 解: (I) ∵ca=32,∴ba=1−ca2=12 ,即 a=2b .
∵l 过坐标原点 O,∴ 直线 l 的方程为 y=bax=12x . ……2 分
由 y=12xx24b2+y2b2=1 消去 y 得: x2=2b2,∴y2=14x2=12b2 .
∵AB=10,∴AB2=x2+y2=5b22=102 .
∴b2=1 . ⋯⋯4 分
∴a2=4 .
故椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 . ……5 分
(II) 假设存在定点 Q2m,m,m∈[0,1] ,由题意, l 斜率存在,
设直线 l:y−1=kx−2 ,即: y=kx+1−2k,Ax1,y1,Bx2,y2 ,
由 y=kx+1−2k,x2+4y2=4 消去 y 得 4k2+1x2+8k1−2kx+16k2−16k=0 .
其中 Δ>0 ,
x1+x2=8k2k−14k2+1,x1x2=16k2−16k4k2+1.
⋯⋯6 分
∴kQA=y1−mx1−2m,kQB=y2−mx2−2m.
∴kQA⋅kQB=y1−mx1−2m⋅y2−mx2−2m=kx1+1−2k−mx1−2m⋅kx2+1−2k−mx2−2m
=k2x1x2+1−m−2kkx1+x2+1−m−2k2x1x2−2mx1+x2+4m2
⋯⋯8 分
=k2⋅16k2−16k4k2+1+1−m−2kk⋅8k2k−14k2+1+1−m−2k216k2−16k4k2+1−2m⋅8k2k−14k2+1+4m2
=k216k2−16k+1−m−2kk16k2−8k+1−m−2k24k2+116k2−16k−16mk2k−1+4m24k2+1
=4m2k2−41−mk+1−m2161−m2k2−161−mk+4m2.
⋯⋯10 分
∴ 当 m2=1−m2 ,即 m=12 时, kQA⋅kQB=14 恒成立. ⋯⋯11 分
∴ 存在定点 Q1,12 ,使得直线 QA 与直线 QB 的斜率之积为定值 14,… ……12 分
22. 解: (I) 由曲线 C 的参数方程 x=mt2,y=mt ( t 为参数),
消去参数 t 可得曲线 C 的普通方程为 y2=mx . ……2分
由直线 l 的极坐标方程得: 22ρcsθ−ρsinθ−22=0 . ……3 分
∵x=ρcsθ,y=ρsinθ ,
∴ 直线 l 的直角坐标方程为 x−y−4=0 . ……5 分
(II) 直线 l 的参数方程为 x=6+22t,y=2+22t ( t 为参数). ……6 分
与曲线 C:y2=mx 联立得: t2+42−2mt+8−12m=0,Δ>0 ,
设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2 ,则 t1+t2=2m−42,t1t2=8−12m .
……7分
∵M 为线段 AB 的三等分点, ∴t1=−2t2 . ……8 分
代人 t1+t2=2m−42 可得 t1=22m−4,t2=−2m−4 .
代人 t1t2=8−12m ,可得 −4m−42=8−12m .
即 m2−11m+18=0 ,解得 m=2 或 m=9 均满足 Δ>0 .
故 m 的值为 2 或 9 . ……10 分
23. 解: (I) 当 x≥2m 时, x−3m≥2x ,解得 2m≤x≤−3m ; ⋯⋯2 分
当 x<2m 时, m−x≥2x,x≤m3 ,解得 x<2m . ……4 分
综上,所求不等式的解集为 x∣x≤−3m . ……5 分
(II) 由题意,当 m=−2 时, fx 的最小值为 2 . ⋯⋯6 分
∴a2+b2+c2=2.
a2b2+c2+b2c2+a2+c2a2+b2=2−b2+c2b2+c2+2−c2+a2c2+a2+2−a2+b2a2+b2
=2b2+c2+2c2+a2+2a2+b2−3
……8 分
=b2+c2+c2+a2+a2+b221b2+c2+1c2+a2+1a2+b2−3
≥12b2+c2⋅1b2+c2+c2+a2⋅1c2+a2+a2+b2⋅1a2+b22−3=32.
当且仅当 a2=b2=c2=23 时等号成立,不等式得证. ……10 分
时长 1
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
学生人数
50
100
200
125
25
X
0
1
2
3
4
P
0.01
0.12
0.42
0.36
0.09