四川省成都市高新区2023届高三数学（理）一诊模拟试题（Word版附解析）

成都高新区2020级高中毕业班“一诊”模拟检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页；满150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所以题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

2. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（    ）

A. 1 B.  C. 3 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的坐标写出复数，再求加法及模.

【详解】由题意可得：，则，

故.

故选：B.

3. 已知等差数列满足，则数列的前5项和为（    ）

A. 15 B. 16 C. 20 D. 30

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式计算作答.

【详解】等差数列中，，解得，而，

所以数列的前5项和.

故选：A

4. 中国营养学会把走路称为“最简单､最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能､血管弹性､肌肉力量等，甲､乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（    ）

A. 甲走路里程的极差等于11

B. 乙走路里程的中位数是27

C. 甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数

D. 甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.

【详解】由图可知，7-12月甲走路的里程为：31,25,21,24,20,30，

乙走路的里程为：29,28,26,28,25,26，

所以甲走路里程的极差等于，故A正确；

乙走路里程的中位数是，故B正确；

甲下半年每月走路里程的平均数为，

乙下半年每月走路里程的平均数为，

故C错误；

由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，

所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，

故D正确.

故选:C.

5. 若向量满足（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.

【详解】向量满足，

则，解得，

所以.

故选：C

6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则//

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面位置关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误；

对B：若，则的位置关系不确定，故B错误；

对C：若，则//，故C正确；

对D：若，则的位置关系不确定，故D错误.

故选：C.

7. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角恒等变换和诱导公式求解.

【详解】由得，所以，

所以，

所以，其中，

所以，则，

所以，

所以

.

故选:D.

8. 已知函数，下列说法中，正确的是（    ）

A. 函数不是周期函数

B. 点是函数图象的一个对称中心

C. 函数的增区间为

D. 函数的最大值为

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断C选项；利用函数的最值与导数的关系可判断D选项.

【详解】对于A，，

故函数是周期函数，A错；

对于B，

，

所以，点不是函数图象的一个对称中心，B错；

对于C，由，

可得，解得，

所以，函数的增区间为，C对；

对于D，由可得，解得，

所以，函数的单调递减区间为.

由A知，函数为周期函数，且为函数的一个周期，

不妨考虑函数在区间上的最大值，

由题意知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，，D错.

故选：C.

9. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

10. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数证得在上单调递增，从而得到；再利用作差法得，从而由的单调性及中间值证得，由此得解.

【详解】令，则，

所以在上单调递增，

因为，所以，即，即，则；

因为，所以，

因为在上单调递增，所以，则，故，则；

综上：.

故选：C.

11. 已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.

【详解】如图，三棱锥中，，平面平面，

取BD中点E，连接CE，AE，则，而平面平面，平面，

则平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，

令点分别为正，正的中心，在平面内分别过点作的垂线，它们交于点O，连OC，

因此平面，平面，而分别为三棱锥的外接球被平面，平面所截得的小圆圆心，

则是三棱锥的外接球的球心，而，，

显然四边形为正方形，，则球半径，

所以三棱锥的外接球的表面积.

故选：A

12. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解.

【详解】因为，所以，，

则，，

因为在区间上为“凹函数”，所以，

即在上恒成立，则在上恒成立，

当，即时，因为，，所以，

故显然成立，

当，即时，令，则在上恒成立，

又因为，所以在上单调递增，

所以，即，则在上恒成立，

令，则，

又，当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，则，

所以，

综上：，即.

故选：D.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

第II卷（非选择题，共90分）

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上

13. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，

将化为，观察图形可得当直线经过点时，取得最大值，

联立方程组，解得，.

故答案为：3.

14. 在的展开式中的系数为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式的展开公式求解即可.

【详解】展开式的通项公式为，

所以的展开式中含的项等于，

故答案为: .

15. 在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则__________，__________.

【答案】    ①.     ②. ##

【解析】

【分析】空1：在中，利用余弦定理求，即可得，在中，利用余弦定理求；空2：在中，由勾股定理可得，在中，由正弦定理可得，再根据结合诱导公式运算求解.

【详解】空1：

在中，则，即，

整理得：，解得或（舍去），

故，

在中，则，

故；

空2：

在中，由，则，

在中，由，则，

故.

故答案为：；.

16. 已知双曲线的左，右顶点分别为，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得，利用基本不等式求其最大值，即可得，运算求解即可.

【详解】设双曲线右焦点为F，，则，

由题意可得：

，

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，整理可得：，

故，即.

故答案为：.

三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17. 已知数列满足.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）若__________，求数列的前项和.

（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.

【小问1详解】

∵，则，即

故数列是首项和公差都为2的等差数列，

∴，即

【小问2详解】

选①：

∵，

∴.

选②：

∵，则有：

当时，；

当时，；

∴.

选③：

∵，

∴.

18. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，得到以下的2×2列联表：

（1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？

（2）若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩墩，记为抽取的2人中男生人数，求X的分布列和数学期望.

附：.

【答案】（1）没有的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）先根据题中数据和公式求，并与临界值对比分析；（2）先根据分层抽样求选取的男、女生人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

∵，

∴没有的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关.

【小问2详解】

选出的女性人数为人，选出的男性人数为人，

由题意可得：的可能取值为，则有：

，

故的分布列为：

∴.

19. 如图三棱柱中，为正三角形，且平面分别是棱的中点，记与平面所成的角为，二面角的平面角为.

（1）求证：；

（2）判断与的大小，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；   

（2），理由见解析.

【解析】

【分析】（1）取AC的中点H，连接FH，HE，利用线面垂直的判定、性质推理作答.

（2）作出二面角的平面角并确定线面角，再比较它们的正切值即可判断作答.

【小问1详解】

在三棱柱中，取AC的中点H，连接FH，HE，如图，

因F为的中点，而为平行四边形，即有，

又平面，则平面，又平面，有，

正中，D为AB中点，有，而为BC中点，则，

因此，因，平面，则平面，又平面，

所以.

【小问2详解】

过H作于G，连接FG，为正三角形，，

由（1）知平面，平面，有，而，

平面，则平面，又平面，因此，

即为二面角的平面角，有，显然为与平面所成的角，即，

因，在中，，又，

所以.

20. 已知函数（其中，是自然对数底数）.

（1）当时，讨论函数在上的单调性；

（2）证明.

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数求函数的单调区间；

(2)利用导数证明不等式，再利用放缩法得到，根据数列的累加法证明不等式.

【小问1详解】

时，，，

令即得，

令即得，

所以在上单调递增，在上单调递减

【小问2详解】

证明；当时，不等式左边右边，所以不等式成立.

当时，在上恒成立，

所以时在上的单调递减，

此时，

即当时，，

令，则，

故

当时，

所以

综上所述

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键在于借助当时，，进而可得，利用放缩法以及数列的累加法即可证明.

21. 已知椭圆过点，其离心率为，设、是椭圆上异于点的两点，且在线段上，直线、分别交直线于、两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、的横坐标，求出关于的表达式，即可求得的最小值.

【小问1详解】

解：由题知，，又，解得，

椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

解：若直线的斜率不存在，则点或点与点重合，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，整理得，

设、，，

由韦达定理可得，，

直线的方程为，，

同理可得，

，

当且仅当时，取最小值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.

选修44：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若点，直线与曲线C的交点为M，N，求的值.

【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，根据求直线的直角坐标方程；（2）根据直线参数方程的几何意义结合韦达定理运算求解.

【小问1详解】

∵曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得：，

∴曲线的普通方程为，

又∵直线的极坐标方程为，且，

∴直线的直角坐标方程为

综上所述：曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为.

【小问2详解】

由（1）可知：直线的直角坐标方程为，即直线过点，斜率为，倾斜角为，

则可设直线的参数方程为（为参数），

将代入整理得：，

设点对应的参数分别为，判别式恒成立，

可得：，即，

∴.

选修4-5：不等式选讲

23. 已知，，且

（I）若恒成立，求x取值范围；

（II）证明：.

【答案】（I）（II）证明见解析

【解析】

【分析】(I)配凑均值不等式的形式求的最小值，再由恒成立转化成关于x的不等式，求解即可；

(II) 展开变形利用均值不等式即可证明.

【详解】（I）由，得.

故.

当且仅当，即时，等号成立.

即的最小值为.

因为恒成立，

所以.

解得：.

（II）

，当且仅当时等号成立.

【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用，恒成立转化为求最值，解不等式，不等式的证明，属于中档题.