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    (考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    第II卷(非选择题)
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12. 13. 14.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)
    【解析】(1)当时,,……………………1分
    求导得,…………………………………2分
    则,………………………………………………3分
    而,………………………………………………4分
    于是,即,
    所以的图象在点处的切线方程是.……………5分
    (2)函数定义域为,求导得,…………6分
    由,得,…………7分
    令,…………8分
    求导得,…………9分
    令函数,
    显然函数在上单调递增,而,
    则当时,,,
    当时,,,
    函数在上递减,在上递增,,…………11分
    因此,解得,所以实数的取值范围是.…………13分
    16.(15分)
    【解析】(1)∵抛物线的焦点为,…………………………………1分
    ∴椭圆的半焦距为,…………………………………2分
    又,得,.…………………………………4分
    ∴椭圆的方程为…………………………………5分
    证明:由题意可知,直线的斜率存在且不为0,
    设直线的方程为,…………………………………6分
    联立,得.…………………………………8分
    ,即,…………………………………9分
    设,,
    则,,…………………………………11分
    ∴,…………………………………12分
    ∴.…………………………………14分
    ∴为定值…………………………………15分

    17.(15分)
    【解析】(1)延长交于一点P,连接BD交AC于O;…………………………………1分

    由正四棱台定义可知,四条侧棱交于点P,且四棱锥为正四棱锥,……………………2分
    即,又点O分别为的中点,
    故,而,平面,
    故平面,……………………4分
    又平面,……………………5分
    故平面平面,即平面平面;……………………5分
    (2)由(1)知两两垂直,
    故分别以为轴建立空间直角坐标系,……………………6分

    设棱台的高为h,则,
    又平面的法向量可取为,而,……………………8分
    由题意知直线与平面所成角的正切值为,
    则其正弦值为,
    则,解得,……………………10分
    所以,……………………11分
    设平面的法向量为,则,
    令,则,……………………13分
    故,而二面角范围为,……………………14分
    故二面角的正弦值为.……………………15分
    (17分)
    【解析】(1)依据表中数据,,…………2分
    依据的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.……………………3分
    (2)设“第天去甲餐厅用餐”,“第天去乙餐厅用餐”,“第天去丙餐厅用餐”,
    则两两独立,.
    根据题意得,
    .……………………5分
    (ⅰ)由,结合全概率公式,得

    因此,张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为.……………………8分
    (ⅱ)记第天他去甲,乙,丙餐厅用餐的概率分别为,
    则,……………………9分
    由全概率公式,得
    故 ①
    同理 ②


    由①②,,
    由④,,……………………12分
    代入②,得:,即,
    故是首项为,公比为的等比数列,……………………13分
    即,所以……………………14分
    于是,当时
    ……………………16分
    综上所述:……………………17分
    19.(17分)
    【解析】(1)因为,则,又,
    所以,故函数具有性质;……………………2分
    因为,则,又,
    ,故不具有性质.……………………4分
    (2)若函数具有性质,则,即,
    因为,所以,所以;……………………5分
    若,不妨设,由,
    得(*),
    只要充分大时,将大于1,而的值域为,
    故等式(*)不可能成立,所以必有成立,
    即,……………………7分
    因为,所以,
    所以,则,此时,……………………8分
    则,
    而,即有成立,
    所以存在,使函数具有性质.……………………9分
    (3)证明:由函数具有性质及(2)可知,,……………………10分
    由可知函数是以为周期的周期函数,则,
    即,所以,;……………………11分
    由,以及题设可知,
    函数在的值域为,所以且;
    当,及时,均有,
    这与在区间上有且只有一个零点矛盾,因此或;……………………13分
    当时,,函数在的值域为,
    此时函数的值域为,……………………14分
    而,于是函数在的值域为,
    此时函数的值域为,……………………15分
    函数在当时和时的取值范围不同,
    与函数是以为周期的周期函数矛盾,……………………16分
    故,即,命题得证.……………………17分1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    D
    B
    A
    D
    A
    B
    C
    C
    9
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    11
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