湖北省武汉市汉阳县部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市汉阳县部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在展开式中，的系数为( )
A.0B.C.D.55
2．已知等差数列的前n项和为，如果，且，的等比中项为，则( )
A.2B.C.D.
3．若随机变量，且，则( )
A.B.C.D.
4．复数的共轭复数的模是( )
A.B.C.D.
5．在正四面体中，E，F分别为，的中点，则异面直线，所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
6．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．若函数的最小正周期为π，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．如果，记为区间内的所有整数.例如，如果，则；如果，则或3；如果，则不存在.已知，则( )
A.36B.35C.34D.33
二、多项选择题
9．设a，，则下列命题正确的有( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10．已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是( )
A.当时，B.
C.数列是等差数列D.
11．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，，上顶点为，点C是椭圆上任意一异于顶点的点，连接交直线于点P，连接交于点M（O是坐标原点），则下列结论正确的是( )
A.为定值
B.
C.当四边形的面积最大时，直线的斜率为1
D.点M的纵坐标没有最大值
三、填空题
12．已知A，B是双曲线上关于原点对称的两点，动点P在双曲线E上，且，的斜率之积为（e为双曲线的离心率），则______.
13．已知圆，圆的半径为，过直线上的动点P作圆，的切线，切线长始终相等，则圆的标准方程为______.
四、双空题
14．等比数列的公比为q，其通项为，如果，则______；数列的前5项和为______.
五、解答题
15．已知锐角的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，
（1）求角A的大小；
（2）如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，底面四边形满足：，，，，平面平面，点E在线段上（不与A，B重合）.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）当点E在何处时，二面角的平面角的余弦值为？
17．某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3人，4人，5人进入决赛，决赛采取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1场比赛（每场比赛都采取5局3胜制，初赛、决赛的赛制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员积1分.
（1）从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛，这2人恰好来自不同年级的概率是多少？
（2）初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为，记甲以取胜的概率为，当最大时，甲处于最佳竞技状态.在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所得积分X的分布列及期望.
18．某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深入研究.已知点在曲线上，曲线在点P处的切线方程为.请同学们研究以下问题，并作答.
（1）问题1：过曲线的焦点F的直线与曲线交于A，B两点，点A在第一象限.
（i）求（O为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点A，B处的切线分别为，，两直线，相交于点M，证明.
（2）问题2：若A，B是曲线上任意两点，过的中点N作x轴的平行线交曲线于点C，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值.
19．函数，，，，.
（1）求函数的极值；
（2）若恒成立，求n的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为与的展开式中没有的项，
只有与的展开式中有的项，
其中的展开式的通项为，则的系数为，
的展开式的通项为，则的系数为，
所以展开式中的系数为.
故选：B.
2．答案：A
解析：设等差数列的公差为d，
由，得，
即，解得，又，则，
所以.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为随机变量，即，，且，
则，故D正确，C错误；而y的大小无法判断，故AB错误；
故选：D.
4．答案：B
解析：由，所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：设正四面体棱长为1，
设，，，则，，
，，.
E，F分别为，的中点，，是等边三角形，
，，，
.
设异面直线，所成角为，则，
则，所以，
所以异面直线，所成角的正切值为.
故选：D.
6．答案：C
解析：依题意，，，由，
得，又，
则当时，，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是.
故选：C.
7．答案：B
解析：由函数的最小正周期为π，得，而，解得，
则，由，，
得，，又在上单调递减，
因此，且，，解得，①，
由余弦函数的零点，得，，即，，
而在上存在零点，则，，
于是，②，又，联立①②解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
8．答案：B
解析：令函数，求导得，
则可视为函数在处的切线斜率，
设，，则直线的斜率，
由导数的几何意义有，因此，
而，
即有，
又，因此，
所以.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：对于A，由，得，而，则，
因此，即，于是，A正确；
对于B，由，得，即，
又，B正确；
对于C，令，，，则，
其中锐角满足，，显然，
因此当时，，C正确；
对于D，由，得，，，
当，即时，，即，D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：对A，由题意可知，所以，
则，所以，故A错误；
对C，由，故C正确；
对C，所以，
则，故B正确；
对D，易知，令，
则，则单调递增，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：依题意，，，设，，，
对于A，，A正确；
对于B，直线的方程为，它与直线的交点，
因此，B正确；
对于C，不妨令，四边形面积，当且仅当时取等号，此时点，
直线的斜率为，C错误；
对于D，当点C无限接近点时，点M的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，
因此没有最大值，D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：设，，则，依题意，，
而，两式相减得，即，
即，因此，所以.
故答案为：.
13．答案：或
解析：设，，切线长l，
由已知可知两圆的半径分别为1，，
所以，，
化简得，
由题意知，上式恒成立，
又，
所以，
解之得或，
则圆的标准方程为或.
故答案为：或.
14．答案：或2；或14
解析：等比数列的公比为q，由，得，
整理得，所以或；
当时，，数列的前5项和为，
当时，，数列的前5项和为，
所以数列的前5项和为或14.
故答案为：或2；或14.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1），
由余弦定理可得，
化简整理得，又，
，又，
所以.
（2）因为三角形外接圆半径为，所以，，
，由（1）得，
所以
，
因为是锐角三角形，且，
所以，，，
，即.
所以的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）当点E为中点时，二面角的平面角的余弦值为
解析：（1），，
化简整理得，所以，即，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角为.
（2）由（1）知，，，两两互相垂直，以点A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设点，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，，
所以，又平面的法向量为，
，解得或14，又，
所以，即点E是的中点.
所以当点E是的中点时，二面角的平面角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是.
（2）由题意可知，
所以，
显然时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
则时，取得最大值，
由题意可知X的可能取值为3，2，1，0，
则，
，
，
，
则其分布列为：
所以.
18．答案：（1）（i）；（ii）证明见解析
（2）
解析：（1）（i）明显直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，
联立，消去x得，
则，，
又，
则当时，的面积最小，且最小值为8；
（ii）由已知得，，
联立，解得，即，
所以，，
所以；
（2）如图.，，线段的中点，
则.
，
分别过线段的中点，线段的中点，
作x轴的平行线交抛物线分别于，两点，连接，，，.
同理可得；.
，
又由于的面积的面积的面积，
所以，解得.
19．答案：（1）极小值为，极大值为
（2）3
解析：（1）函数，，，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，
当时，，求导得：
，
由于，由，得，解得，
由，得，解得，即在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上有极小值，
从而在上的极小值为，极大值为.
（2）当时，恒成立，即恒成立，亦即恒成立，
令，，求导得，
则函数在上为增函数，有，因此恒成立；
当时，恒成立，即不等式恒成立，
令，，求导得：
，
令，求导得则
，
由，，得，
当时，即时，，则函数在上单调递减，
则有，即，因此函数在上单调递减，有，即，
当时，即时，存在一个，使得，
且当时，，即在上单调递增，且，
则，于是在上单调递增，因此，即，与矛盾，
所以n的最大值为3.
X
0
1
2
3
P