山西省应县第一中学校2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)

这是一份山西省应县第一中学校2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，z的共轭复数为，则( )
A.B.C.4D.2
3．已知，，且，则( )
A.B.C.4D.
4．已知是偶函数，则( )
A.0B.1C.D.
5．已知一组样本数据，，，，，分别为1，4，5，5，3，a，若这组数据的平均数为4，则数据，，，，，的方差为( )
A.B.8C.16D.24
6．已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆M的离心率为，则椭圆M的短轴长为( )
A.2B.4C.D.
7．设为等差数列的前n项和，若，则( )
A.B.3C.D.5
8．在三棱锥中，，，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则( )
A.圆锥的母线长为4
B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C.圆锥的体积为
D.沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
10．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A.的最小正周期为π
B.是的一个对称中心
C.的单调递增区间为，
D.在上恰有3个零点
11．在信道内传输M，N，P信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为.若输入四个相同的信号，，的概率分别为，，且.记事件，，分别表示“输入”“输入”“输入”，事件D表示“依次输出”，则( )
A.若输入信号，则输出的信号只有两个M的概率为
B.
C.
D.
三、填空题
12．的展开式中y的系数为______.
13．若，则______.
14．已知点F是双曲线的右焦点，过F的直线l与C交于M，N两点，点P与点M关于原点对称，.若F为线段上靠近点M的四等分点，则C的离心率为______.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求B；
（2）求的最小值.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，E，F分别为，上的点，，平面.
（1）若，求的长；
（2）若E为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
17．甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为.
（1）当时，求球又回到甲手中的概率；
（2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求.
18．已知抛物线的准线方程为，直线与圆E相切于点，且圆心E在直线上.
（1）求抛物线C和圆E的标准方程；
（2）若A，B是y轴上的两点，是抛物线C上的动点，且直线，与圆E均相切，，求的周长最小时，点P的坐标.
19．已知函数，为的导函数.
（1）若函数在处的切线的斜率为2，求a的值；
（2）求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：,
故，
故选：C.
2．答案：B
解析：，则，
故.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为，，则，，
则，故，
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意可得，
即恒成立，即，即.
故选：A.
5．答案：D
解析：由题设有，故，
故，
故数据，，，，，的方差为：
，
故选：D.
6．答案：D
解析：因为椭圆与双曲线有且只有两个交点，椭圆的左右顶点与双曲线的顶点重合，
而双曲线的顶点为，故，
设椭圆的半焦距为c，则，故，故短轴长为，
故选：D.
7．答案：A
解析：因为，故即，而，
故，
故选：A.
8．答案：A
解析：如图，取的中点为S，连接，，
因为，，故为等边三角形且，
因为为等边三角形，故，
由余弦定理可得，
故，而为等边的边上的中线，
故，同理，故，
而为三角形内角，故.
设E为的中心，F为的中心，则E在上且F在上，
因为、均为等边三角形其它们有公共边，
由对称性可得O在平面中，
设O为外接球的球心，连接，则平面，平面，
而平面，平面，故，，连接，
则由O，E，S，F四点共圆可得，
故，所以即外接球半径为，
故棱锥的外接球的体积为.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：对于A，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则，，故，，故A正确.
对于B，圆锥的高为h，则，故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误.
对于C，圆锥的体积为，故C正确.
对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为，故所得圆台的体积为，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A，由题设可得，故其最小正周期为，
故A正确.
对于B，，故不是的一个对称中心，
故B错误.
对于C，令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
故C正确.
对于D，由可得，，
而时，，故，π即或，
故D错误.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
所以输入信号，则输出的信号只有两个M的概率为，故A错误；
B：因为，故B正确；
C：，故C正确；
D：因为，
而
，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
12．答案：
解析：，
通项为，
所以，即，
又通项为，当时，才能得到y，
所以展开式中y的系数为，
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意得，
又，解得，
，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：取左焦点，设，则，
由双曲线定义可得，，
由，点P与点M关于原点对称，故四边形为矩形，
故，有，化简可得得，
故，，则在中，有，
即，故.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
由正弦定理可得即，
故，所以，
而B为三角形内角，故.
（2）结合（1）可得：，
，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为平面，，平面，故，，
而底面是正方形，故，
因，，平面，故平面，
而平面，故，
又，，，故，故，
故分别以直线，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，故，
设，故，
故，
由，故，故，
，
设，故，
故，
因，故，所以，故，
故.
（2）因为E为的中点，故，故，，
设平面的法向量为，
则，故，取，则，，
故，
由（1）可得，故，而，
设平面的法向量为，
则，故，取，则，，
故，
故.
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析，
（3）证明见解析，
解析：（1）传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有种；
传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有种，
传球的过程中传给甲，有种；
故传球4次，球又回到甲手中的概率为.
（2）根据题意可得，2，3，
，，
，
故X的分布列如下所示：
则.
（3）n次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：
第一种，时，次传球后，此3人均接过他人传球，则其概率为；
第二种，时，次传球后，此3人中只有2人接过他人传球，则第n次传球时将球传给剩余的1人，
其概率为：；
所以当时，，
故，因为，.
所以数列从第3项起构成等比数列，
，则.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）由抛物线准线方程为，故，即，故，
由圆心E在直线上，设，圆E的半径为r，
则有，，
整理可得，，
即，故，则，
即圆.
（2）由题意可得，直线、的斜率存在，设、的斜率分别为、，
则，，
对，令，则，即，同理可得，
则，
同理可得，，
即，
有，则有，
即，，
则，
，
由亦可得，
同理可得，
故、是关于k的方程的两个不同根，
，
有，，
则
，
则当取最大值时，的周长最小，
即，即时，的周长最小，
此时，即P的坐标为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1），故.
（2）当时，，而，
故在上恒成立.
当时，
设，，则，
故在上递增，故，故，，
设，，则，故在上递增，
故，故.
，
综上，.
X
1
2
3