2022-2023学年河南省郑州市登封市直属八中七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市登封市直属八中七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算中正确的是（ ）
A．32＝6B．34＝81
C．x2m•x3m＝x6mD．a•an•a3n＝a4n
2．计算：＝（ ）
A．4B．﹣4C．D．
3．一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．75°
4．已知直线m外一点P，它到直线m上的点A、B、C的距离分别是6厘米、3厘米、5厘米，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于3厘米B．小于3厘米
C．不大于3厘米D．等于6厘米
5．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．3x2+2x2＝5x4
C．x3•x3＝x6D．（x+y）2＝x2+y2
6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣3+x）（3﹣x）B．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
C．（﹣3x+2）（2﹣3x）D．（3x+2）（2x﹣3）
7．少年的一根头发的直径大约为0.0000412米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（ ）
A．0.412×10﹣4B．4.12×10﹣4
C．4.12×10﹣5D．4.12×10﹣6
8．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要用A、B、C三类卡片拼一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
9．按下列程序计算，最后输出的答案是（ ）
A．a3B．a2+1C．a2D．a
10．如果（x﹣y）（ ）＝y2﹣x2，则括号里应填的式子是（ ）
A．x﹣yB．y﹣xC．﹣x﹣yD．x+y
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．计算：201×199＝ ．
12．若3m＝21，3n＝，则代数式2m÷2n＝ ．
13．若（ax+y）2＝9x2﹣6xy+y2，则a＝ ．
14．若x+y＝1003，x﹣y＝2，则代数式x2﹣y2的值是 ．
15．若a+b＝5，ab＝2，则（a﹣b）2＝ ．
三、解答题（本题共计7小题，共计75分）
16．计算
（1）（﹣xy）•（x2y﹣4xy2+y）
（2）（﹣x2）3•x2+（2x2）4﹣3（﹣x）3•x5
（3）2﹣2×（π﹣3）0﹣（﹣3﹣1）2×32．
17．先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），其中x＝10，y＝﹣．
18．（1）已知am＝5，an＝3，求a2m+n的值；
（2）已知xm＝2，xn＝3，求x2m+3n的值．
19．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
问题：（1）已知a+＝6，则a2+＝ ；
（2）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．
20．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
21．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
22．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①
②
（3）观察图2，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系
根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
参考答案
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．下列计算中正确的是（ ）
A．32＝6B．34＝81
C．x2m•x3m＝x6mD．a•an•a3n＝a4n
【分析】根据同底数幂的乘法和幂计算即可．
解：A、32＝9，错误；
B、34＝81，正确；
C、x2m•x3m＝x5m，错误；
D、a•an•a3n＝a4n+1，错误．
故选：B．
【点评】此题考查同底数幂的乘法和幂问题，关键是根据法则计算．
2．计算：＝（ ）
A．4B．﹣4C．D．
【分析】根据直接计算即可．
解：．
故选：B．
【点评】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记定义是解本题的关键．
3．一个角的余角比它的补角的少20°，则这个角为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．75°
【分析】因为一个角的余角比它的补角的少20，
所以不妨设这个角为α，则它的余角为β＝90°﹣∠α，补角γ＝为180°﹣∠α，且β＝﹣20°，化简即可得出答案．
解：设这个角为α，则它的余角为β＝90°﹣∠α，补角γ＝为180°﹣∠α，且β＝﹣20°
即90°﹣∠α＝（180°﹣∠α）﹣20°
∴2（90°﹣∠α+20°）＝180°﹣∠α
∴180°﹣2∠α+40°＝180°﹣∠α
∴∠α＝40°．
故选：B．
【点评】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°，也考查了对题意的理解，可结合换元法来解题．
4．已知直线m外一点P，它到直线m上的点A、B、C的距离分别是6厘米、3厘米、5厘米，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于3厘米B．小于3厘米
C．不大于3厘米D．等于6厘米
【分析】根据垂线段的性质“直线外和直线上所有点的连线中，垂线段最短”作答．
解：∵垂线段最短，
∴点P到直线m的距离≤3cm，
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义和垂线段的性质，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．
5．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5B．3x2+2x2＝5x4
C．x3•x3＝x6D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则以及完全平方公式计算判断即可．
解：A、（x2）3＝x6，故此选项错误；
B、3x2+2x2＝5x2，故此选项错误；
C、x3•x3＝x6，正确；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算以及完全平方公式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣3+x）（3﹣x）B．（﹣a﹣b）（﹣b+a）
C．（﹣3x+2）（2﹣3x）D．（3x+2）（2x﹣3）
【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可得到结果．
解：能用平方差公式计算的是（﹣a﹣b）（﹣b+a）．
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．少年的一根头发的直径大约为0.0000412米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为（ ）
A．0.412×10﹣4B．4.12×10﹣4
C．4.12×10﹣5D．4.12×10﹣6
【分析】绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000412＝4.12×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，若要用A、B、C三类卡片拼一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为a+b的长方形的面积是多少，判断出需要C类卡片多少张即可．
解：长为a+3b，宽为a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片4张．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．按下列程序计算，最后输出的答案是（ ）
A．a3B．a2+1C．a2D．a
【分析】根据题中条件，列式进行解答．
解：由题可知（a3﹣a）÷a+1＝a2．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的运算，样式新颖，有趣味性．
10．如果（x﹣y）（ ）＝y2﹣x2，则括号里应填的式子是（ ）
A．x﹣yB．y﹣xC．﹣x﹣yD．x+y
【分析】根据平方差公式进行判断即可．
解：∵y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x）＝﹣（y+x）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（x﹣y），
∴括号里应填的式子是﹣x﹣y，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．计算：201×199＝ 39999 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式展开，最后求出即可．
解：201×199
＝（200+1）×（200﹣1）
＝2002﹣12
＝39999，
故答案为：39999．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，能熟记公式是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
12．若3m＝21，3n＝，则代数式2m÷2n＝ 16 ．
【分析】根据同底数幂的除法，可得m﹣n的值，再根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
解：由3m＝21，3n＝得
3m﹣n＝3m÷3n＝21÷＝81＝34，
m﹣n＝4．
2m÷2n＝2m﹣n＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
13．若（ax+y）2＝9x2﹣6xy+y2，则a＝ ﹣3 ．
【分析】根据完全平方公式得出（ax+y）2＝a2x2+2axy+y2，而（ax+y）2＝9x2﹣6xy+y2，所以a2x2+2axy+y2＝9x2﹣6xy+y2，即2a＝﹣6，求出a＝﹣3．
解：∵（ax+y）2＝a2x2+2axy+y2，
（ax+y）2＝9x2﹣6xy+y2，
∴a2x2+2axy+y2＝9x2﹣6xy+y2，
∴2a＝﹣6，
∴a＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．熟记公式是解题的关键．
14．若x+y＝1003，x﹣y＝2，则代数式x2﹣y2的值是 2006 ．
【分析】本题可有两种方法：（1）将x+y＝1003，x﹣y＝2组成方程组，解出x、y的值；再代入x2﹣y2求值；
（2）将x+y＝1003，x﹣y＝2看作整体运用平方差公式计算．
解：∵x+y＝1003，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），
＝2×1003，
＝2006．
故答案为：2006．
【点评】本题考查了平方差公式法分解因式，把x+y＝1003，x﹣y＝2看作整体运用平方差公式计算，列方程组较复杂，同学们可以自己试一下．
15．若a+b＝5，ab＝2，则（a﹣b）2＝ 17 ．
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
解：∵a+b＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣8＝17，
故答案为：17．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
三、解答题（本题共计7小题，共计75分）
16．计算
（1）（﹣xy）•（x2y﹣4xy2+y）
（2）（﹣x2）3•x2+（2x2）4﹣3（﹣x）3•x5
（3）2﹣2×（π﹣3）0﹣（﹣3﹣1）2×32．
【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算出各数即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方法则分别计算出各数，再算乘法，加减即可；
（3）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再算乘法，最后算加减即可．
解：（1）原式＝﹣x3y2+x2y3﹣xy2；
（2）原式＝（﹣x6）•x2+16x8+3x8
＝﹣x8+16x8+3x8
＝18x8；
（3）原式＝×1﹣×9
＝﹣1
＝﹣．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．
17．先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），其中x＝10，y＝﹣．
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的法则计算，再利用单项式的除法计算化简，然后代入数据求解即可．
解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷（xy），
＝[（xy）2﹣22﹣2x2y2+4]÷（xy），
＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（xy），
＝（﹣x2y2）÷（xy），
＝﹣xy，
当x＝10，y＝﹣时，原式＝﹣10×（﹣）＝．
【点评】考查了整式的混合运算．主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．
18．（1）已知am＝5，an＝3，求a2m+n的值；
（2）已知xm＝2，xn＝3，求x2m+3n的值．
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
解：（1）∵am＝5，an＝3，
∴a2m+n
＝a2m•an
＝（am）2•an
＝52×3
＝25×3
＝75；
（2）∵xm＝2，xn＝3，
∴x2m+3n
＝x2m•x3n
＝（xm）2•（xn）3
＝22×33
＝4×27
＝108．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．
19．阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而使某些问题得到解决．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．
问题：（1）已知a+＝6，则a2+＝ 34 ；
（2）已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．
【分析】（1）把已知条件两边平方，然后整理即可求解；
（2）先根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab求出a2+b2的值，然后根据所求结果a2b2＝9同理即可求出a4+b4的值．
解：（1）∵＝a2+2
∴a2+＝﹣2＝34；
（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
＝4+2×3，
＝10，
a2b2＝9，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2，
＝100﹣2×9，
＝82．
【点评】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式整理成已知条件的形式是求解的关键．
20．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
【分析】（1）由（a+b）＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1．
（2）将25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．
解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）原式＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5
＝（2﹣1）5
＝1
【点评】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
21．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【分析】（1）利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）所得的两个式子相等即可得到．
解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1＝a2﹣b2．
S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．
22．如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 m﹣n ？
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
① （m﹣n）2
② （m+n）2﹣4mn
（3）观察图2，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系 （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）根据图形得出即可；
（2）根据图形中各个部分的面积得出即可；
（3）根据（1）中的结果即可得出答案，先根据（2）的结果进行变形，再代入求出即可．
解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n，
故答案为：m﹣n；
（2）图中阴影部分的面积为①（m﹣n）2或②（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
∵a+b＝7，ab＝﹣5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×（﹣5）＝49+20＝69，
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，69．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．