2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷03-【完美适应】备战2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（19题新题型）

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2、锻炼同学的考试心理，训练学生快速进入考试状态。高考的最佳心理状态是紧张中有乐观，压力下有自信，平静中有兴奋。
3、训练同学掌握一定的应试技巧，积累考试经验。模拟考试可以训练答题时间和速度。高考不仅是知识和水平的竞争，也是时间和速度的竞争，可以说每分每秒都是成绩。
4、帮助同学正确评估自己。高考是一种选拨性考试，目的是排序和择优，起决定作用的是自己在整体中的相对位置。因此，模拟考试以后，同学们要想法了解自己的成绩在整体中的位置。
2024年新结构模拟适应性特训卷（三）
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．1，C．，D．，
【答案】D
【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可．
【详解】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，
则数据，，…，的平均数为，方差为，
得，，
故选：D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对化简，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为，即，即，解得，
因为“”不能推出“”，“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.
【详解】因为，且，
所以，则，.
则.
故选：A.
4．在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为（ ）（保留至整数，参考数据：）.
A．4B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题意结合对数运算即可得.
【详解】由题意可得.
故选：B.
5．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上、下两底面面积的和的比为，且正四棱柱的体积是，则这个球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据该四棱柱的侧面积和底面积的关系可得底面边长与侧棱长的关系，再利用其体积关系式联立求出相关量，结合正四棱柱外接球直径与其体对角线长的关系求得球半径即得.
【详解】
如图，正四棱柱中，设其底面边长为，侧棱长为，体积为，外切球的半径为．
依题可得：，解得： ①．
又②，由①②解得：．
因正四棱柱的体对角线 即其外切球的直径，故
于是，这个球的体积为：.
故选：D．
6．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式计算得解.
【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
，，，
，
，
.
故选：A.
7．如图，椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，为轴上一点，在以为直径的圆上，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可设，结合椭圆定义以及得，再结合余弦定理知识求得等量关系式，则椭圆的离心率可求.
【详解】由，可设，则，
由对称性知，
由题可知，则，
由椭圆的定义知，则，
在中，，
则，整理得，故的离心率为.
故选：D.
8．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】取线段的中点，则，
，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，
连接，则，
同理，
由正六边形的几何性质可知，，
所以，，
则、、三点共线，则，即，
当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，
同理可知，，
当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，
所以，当取最大值时，点在折线段上运动，
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、、
、，设点，
（1）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
则；
（2）当点在线段上运动时，，，则，
所以，；
（3）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
所以，，
因为函数在上单调递增，
故.
综上所述，的最大值为，故，
故的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先根据集合的研究对象求出两集合，按选项分别求交集，并集和补集再判断即得.
【详解】由函数有意义可得：，故，
由可得：.
因，故A项错误，B项正确；因，故C项正确；又，得.故D项正确.
故选：BCD.
10．在中，，，，则的面积可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由余弦定理可求得，再用三角形面积公式可得解.
【详解】，，，
，即，
整理得，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
故选：AC.
11．正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．的最大值为D．
【答案】ABC
【分析】先根据题干条件判断出，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项．
【详解】由得或，
若，则，结合得，矛盾；
所以，所以，故A正确；
由上述分析得，故B正确；
由上述分析得，故最大，C正确；
，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．是虚数单位，复数 ．
【答案】/
【分析】根据复数除法法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
13．函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数单调性求得正确答案.
【详解】令，解得，
令，对称轴为，
则在上单调递增，则在上单调递减，
而在上单调递减，
所以在上单调递减.
故答案为：.
14．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）.
【答案】
【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式.
【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，
根据乘法原理和加法原理得到.
在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，
即的个数为、、、、，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，
两式相减得到.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）已知数列的首项，前n项和为，且．设．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出，证明出是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；
（2）求出，裂项相消法求和得到，结合，得到答案.
【详解】（1）在数列中，①，
②，
由①-②得：，即，，
所以，即，
在①中令，得，即，而，故．
则，即，
又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；
（2），
，
又因为，所以，所以.
16．（满分15分）如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）设，所以，
因此，
由余弦定理可知，，
因为，所以，
因此，于是有，
因此有，即，而，
所以，因此，即，
因为平面，平面，
所以，因为平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，由（1）知，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，
即，
于是，
，
设平面的法向量为，
则有，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角的正弦值.
17．（满分15分）2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表：
(1)由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01）
(2)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1）
参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：，．
【答案】(1)答案见解析
(2)，51.3百人．
【分析】（1）先计算相关系数，再根据近似值判断说明即可；
（2）先根据公式计算得出回归直线，再根据回归直线预测即得.
【详解】（1）由题意，知，
所以相关系数．
因为与的相关系数，接近于1，
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与之间的关系．
（2）因为，
，所以关于的线性回归方程为．
又1月9日对应的日期代码，
当时，，所以预测1月9日的客流量约为51.3百人．
18（满分17分）．在中，.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式进行化简得到，又由，从而可求解.
（2）由，得，，然后再利用正弦定理求出，再由，从而可求解.
【详解】（1），
，
，
且，则，
或或.
（2）.
，解得.
由正弦定理得.
设，
，解得，
.
19．（满分17分）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）分析函数的单调性与奇偶性，由可得出，令，可得以及，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围；
（2）计算出，求出函数的值域，根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可求得正整数的可能取值.
【详解】（1）解：因为，
任取、且，则，
所以，，
所以，，则函数为上的增函数，
又因为，所以，函数为上的奇函数，
由可得，
所以，，即，
即，
令，其中，所以，，可得，
因为函数、在上均为增函数，则在上为增函数，
当时，，所以，，可得，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
当时，，因此，实数的取值范围是.
（2）解：因为
，
所以，
，
所以，，
，其中，
由基本不等式可得，
所以，，
若存在正整数，使不等式有解，则，解得，
又因为，所以，满足条件的正整数的值为或或.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
日期
12月31日
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
1月5日
1月6日
1月7日
日期代码
1
2
3
4
5
6
7
8
客流量
16.6
18.8
22
24.9
28.6
33.1
38.9
46.3