专题29圆与相似及三角函数综合问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用）

这是一份专题29圆与相似及三角函数综合问题（教师版）-拔尖2023中考数学压轴题突破（全国通用），共48页。


【例1】（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；
(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBA+∠ABO=90°，再由∠PBA=30°，可得∠ABO=60°，从而得到△AOB为等边三角形，再跟等边三角形的性质可得BE平分∠ABO，即可求证；
（2）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得∠PBA=∠OBC=∠OCB，从而得到∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，进而得到∠AOB=∠ACD，再由∠BAO=∠BDC，即可求证．
（1）
证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵∠PBA=30°，
∴∠ABO=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
又∵OE=AE，
∴BE平分∠ABO，
∴∠ABE=12∠ABO=30°，
∴BA平分∠PBD；
（2）
证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA+∠ABO=90°，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，
∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，
∴∠AOB=∠ACD，
又∵∠BAO=∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【例2】（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF//AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34,求ON的长度．
(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2)ON=207
(3)4+169π
【分析】（1）由DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB，可得出DF为△COM的中位线，可得出D为CO中点，即可得出CD的长度；
（2）过N点作ND⊥OH，交OH于点D，可得出△NHD为等腰直角三角形，根据tan∠COH=34,可得出tan∠NOD=NDOD=34，设ND=3x=DH，则OD=4x，根据OD+DH=OH，即可求得x=47，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为：OB+ lBT，推导得出∠BOT=80°，即可计算给出lBT，即可得出答案．
（1）
∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB
∴DF为△COM的中位线
∴D为CO的中点
∵CO=AO=4
∴CD=2
（2）
过N点作ND⊥OH，交OH于点D，
∵∠OHN=45°，
∴△NHD为等腰直角三角形，即ND=DH，
又∵tan∠COH=34，
∴tan∠NOD=34，
∴tan∠NOD=NDOD=34，
∴ND:OD=3:4，
设ND=3x=DH，则OD=4x，
∵OD+DH=OH，
∴3x+4x=4，
解得x=47，
∴ND=127，OD=167，
∴在Rt△NOD中，ON=ND2+OD2=(127)2+(167)2=207；
（3）
如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为：OB+ lBT．
∵∠NHO=∠MHO,∠THO=∠MHO,∠HOM=50°．
∴∠OHA=∠OAH=65°．
∴∠THO=65°,∠TOH=50°．
∴∠BOT=80°，
∴lBT =2π×4×80°360°=169π，
∴N点的运动路径长为：OB+ lBT=4+169π，
故答案为：4+169π．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
【例3】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OF=193
【分析】（1）根据SAS证明△COD≅△COE即可得到结论；
（2）证明∠H=∠ECO即可得出结论；
（3）先证明OF⊥CH，连接AH，证明AH=BH，设AG=5x，BG=3x，在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH，证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2，根据AG=AM+MG可求出x=1，得AG=5，BG=3，过点H作HN⊥MG于点N，求出HB=19，再证HF=2OF，根据HB=3OF=19可得结论．
（1）
如图1．∵点D，点E分别是半径OA,OB的中点
∴OD=12OA，OE=12OB
∵OA=OB，
∴OD=OE
∵∠BOC=2∠CHB，∠AOC=2∠CHB
∴∠AOC=∠BOC
∵OC=OC
∴△COD≅△COE，
∴∠CDO=∠CEO；
（2）
如图2．∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°
由（1）得∠CEO=∠CDO=90°，
∴sin∠OCE=OEOC=12
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=90°-∠OCE=60°
∵∠H=12∠BOC=12×60°=30°
∴∠H=∠ECO，
∴FC=FH
（3）
如图3．∵CO=OH，FC=FH
∴OF⊥CH
∴∠FOH=90°
连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°
∴∠AOH=∠BOH=120°，
∴AH=BH，∠AGH=60°
∵AG:BG=5:3
设AG=5x，
∴BG=3x
在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH
∵∠HAM=∠HBG，
∴△HAM≌△HBG
∴MH=GH，
∴△MHG为等边三角形
∴MG=HG=2
∵AG=AM+MG，
∴5x=3x+2
∴x=1，
∴AG=5
∴BG=AM=3，
过点H作HN⊥MG于点N
MN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3
∴AN=MN+AM=4，
∴HB=HA=NA2+HN2=19
∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，
∴∠OFH=60°
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=30°，
∴∠FOB=∠OBF=30°
∴OF=BF，
在Rt△OFH中，∠OHF=30°，
∴HF=2OF
∴HB=BF+HF=3OF=19，
∴OF=193．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【例4】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)310
(3)32
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COE∽△BPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
（1）
解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴△CMA∽△CBD．
（2）
连接OC，
∵∠MAN=90°，
∴MN是直径，
∵MN=10，
∴OM=ON=OC=5，
∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，
∴AN=25，AM=45，
∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，
∴AP=4，
∴BP=AP=4，
∴NP=AN2-AP2=2，
∴OP=5-2=3，
∵MC=NC，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴△COE∽△BPE
∴COBP=OEPE=CEBE，
即54=OEPE=CEBE
由OE+PE=OP=3，
∴OE=53，PE=43，
∴CE=OC2+OE2=52+532=5310，
BE=BP2+PE2=42+432=4310，
∴BC=5310+4310=310．
（3）
过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵tan∠MDB=34，
∴tan∠CNM=tan∠GCM=34，
∵tan∠GCM=GMCG
∴设GM=3x，CG=4x，
∴CM=5x，
∴CN=20x3， NG=16x3，
∴NM=25x3，
∴OM=ON=25x6，
∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，
∴AN=553x，AM=1053x，
∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，
∴AP=103x=PB，
∴NP=53x，
∴PG=163x-53x=113x，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴△CGE∽△BPE，
∴CGBP=GEPE=CEBE，
即4x103x=GEPE=CEBE
∴GE=2x，PE=53x
∴ME=5x，NE=10x3，
∴ME:NE=3:2，
∴MENE的值为32．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
一、解答题【共20题】
1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．
【答案】(1)见解析
(2)DM=2
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC 得OD⊥BC，由垂径定理得BD=CD，进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得DN=2147，再证明△BDN∽△ADB，可得BD=2 ，最后证明∠BMD=∠DBM,进而即可求解．
（1）
证明：连接OD交BC于点H.
∵EF与⊙O相切于点D
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵BC∥EF，
∴∠OHC=∠ODF=90°，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；
（2）
解：∵BC∥EF，
∴BEAE=NDAD，
∵AB:BE=5:2，AD=14，
∴DN=2147，
∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，
∴∠BMD=∠MBD，
∴BD=DM，
∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴NDBD=DBAD
∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4 ，
∴BD=2（负值舍去），
∴DM=BD=2
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．
2．（2022·湖北黄石·中考真题）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE⋅AP的值．
【答案】(1)见解析
(2)22
(3)42
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到∠OAC+∠OAD=90°，再证明∠OAD=∠BAC即可证明结论；
（2）先证明△BCA∽△BAD，得到ACAD=BCBA，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，利用勾股定理求出AB=22r，解直角三角形即可答案；
（3）先求出CD=23，在Rt△CAD中，ACAD=22，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，AD=22，证明△CAP∽△EAD，得到ACAE=APAD，则AE⋅AP=AC⋅AD=42．
（1）
解：如图所示，连接OA，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠OAD=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=90°，即∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴ACAD=BCBA，
由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB=OB2-OA2=22r，
在Rt△CAD中，tan∠ADC=ACAD=BCBA=2r22r=22，
即tan∠ADB=22；
（3）
解：在（2）的条件下，AB=22r=26，
∴r=3，
∴CD=23，
在Rt△CAD中，ACAD=22，AC2+AD2=CD2，
解得AC=2，AD=22，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴ACAE=APAD，
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×22=42．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为BC的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AC=BD，CG＝23，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)1532
【分析】（1）连接OD，根据已知条件，由OD⊥BC ，DE∥BC，证明OD⊥DE即可；
（2）根据AC=BD相等，再由（1）中CD=BD可得，AC=CD=BD，从而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数求出AC、AG的长，从而求出△CAG的面积，在Rt△ABD中利用锐角三角函数求出AD的长，根据DE∥BC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出S△EAD=2732，进而即可阴影部分的面积．
（1）
证明：连接OD，如图所示，
∵点D为BC的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）
连接BD，如图所示，
∵AC=BD
∴BD=AC
∵点D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴AC=CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACG中，tan∠CAD=CGCA,sin∠CAD=CGAG，
∴CA=CGtan30°,AG=CGsin30°，
∵CG=23，
∴CA=23×3=6，AG=43，
∴BD=CA=6，
∴S△ACG=12CG⋅AC=63，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD,
∴AD=BDtan30°=633=63.
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴S△CAGS△EAD=(AGAD)2，
即63SΔEAD=49，
∴S△EAD=2732.
∴S阴影部分=S△EAD-S△ACG=1532．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．
(1)求证：EF是⊙O的切线．
(2)若BF=2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．
【答案】(1)过程见解析
(2)3
【分析】（1）连接OE，先根据圆周角定理及已知条件得出∠ABC=∠BOE，进而得出OE∥BC，再由EF∥CA，根据平行线的性质得出∠FEO=∠ACB，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）先说明△FEO∼△ACB，再设⊙O的半径为r，并表示FO，AB，BC，然后根据对应边成比例得出EOBC=FOAB，根据比例式求出半径即可．
（1）
证明：连接OE．
∵∠BCE=12∠ABC，∠BCE=12∠BOE，
∴∠ABC=∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠BCD．
∵EF∥CA，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴FE⊥EO．
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）
∵EF∥AC，
∴△FEO∼△ACB．
∵BF=2，sin∠BEC=35．
设⊙O的半径为r，
∴FO=2+r，AB=2r，BC=65r．
∵EOBC=FOAB，
∴r65r=2+r2r，
解得r=3，
∴⊙O的半径是3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)365
【分析】（1）由圆周角定理得∠ADC=90°，则∠ACD+∠DAC=90°，从而说明OA⊥AF，即可证明结论；
（2）作DH⊥AC于点H，利用△ADH～△ACD，ADAC=AHAD，求出AH的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD=DE，利用等腰三角形的性质可得答案．
（1）
证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴OA⊥AF，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴ADAC=AHAD，
∴AD2=AH⋅AC，
∵AD＝6，
∴AH=3610=185，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
AE=2AH=365．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．
6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是⊙O的切线；
(2)若HA=3,csB=25，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)65
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得OD∥BC，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出∠HBG=∠HOD，设OD=OA=OB=r，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
（1）
连接OD，
∵DG⊥BC，
∴∠BGH=90°，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴OD∥BC，
∴∠BGH=∠ODH=90°，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）
由（1）得OD∥BC，
∴∠HBG=∠HOD，
∵cs∠HBG=25，
∴cs∠HOD=25，
设OD=OA=OB=r，
∵HA=3，
∴OH=3+r，
在Rt△HOD中，∠HDO=90°，
∴cs∠HOD=ODOH=r3+r=25，
解得r=2，
∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，
∵D是AC的中点，AB为直径，
∴BC=2OD=4，
∵∠BGH=∠ODH=90°，
∴△ODH∼△BGH，
∴OHBH=ODBG，即57=2BG，
∴BG=145，
∴CG=BC-BG=4-145=65．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；
(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，即可证明结论；
（2）连接AD和BE，由圆周角定理可以得出∠ADB=∠AEB=90°，可以得出DH∥BE，OD∥AC，进而根据平行线分线段成比例推出BD=CD，CH=HE，根据E为AH的中点，可得出AE=EH=CH，AE=13AC，根据OD//AC且OD=12AC，可以得出△FAE∽△FOD，根据相似三角形的性质得到FEFD=AEOD，将AE，OD代入即可求出答案．
（1）
连接OD，则OD=OB．
∴∠ODB=∠ABC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∴∠DHC=∠HDO．
∵DH⊥AC，
∴∠DHC=∠HDO=90°．
∴DH⊥OD．
∴DH是⊙O的切线．
（2）
连接AD和BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．
∵OD∥AC
∴OBOA=BDCD=1
∴CD=BD．
∴OD//AC且OD=12AC．
∵OD∥AE，
∴∠AEF=∠ODF．
∵∠F=∠F，
∴△FAE∽△FOD．
∴FEFD=AEOD．
∵∠DHA=∠BEA=90°
∴DH∥BE
∴CHHE=CDBD=1
∴CH=HE．
∵E为AH的中点，
∴AE=EH=CH．
∴AE=13AC
∴FEFD=AEOD=13AC12AC=23．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．
8．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；
(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)2
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得∠PAD=∠ABD，等量代换后即可得∠PAB=90°，进而得证；
（2）连接OE,EB，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠DBE，由垂径定理可得DE=EB=2，进而可得tan∠EBF=22，即可求解．
（3）过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例，求得DG=22，设⊙O的半径为x，则GB=12OE=12x，证明△CGB∽△CDA，可得AD=32x，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵AD=AD，
∴∠AED=∠ABD，
∵ ∠PAD=∠AED，
∴∠PAD=∠ABD，
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°，
∴PA是⊙O的切线，
（2）
如图，连接OE,EB，
∵ AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥DB，AE⊥EB，
即∠ADF=∠BEF=90°，
∵DE⏜=DE⏜
∴∠DAE=∠DBE，
∴tan∠EBF=tan∠DAE=22，
∴EFEB=22，
∴EF=22EB=1 ；
（3）
如图，过点B作BG∥AD，
由（2）可知AD∥OE，
∴OE∥BG，
∵AO=OB=BC，
∴DE=EG=GC，
设⊙O的半径为x，则GB=12OE=12x，
∵AD∥BG，
∴△CGB∽△CDA，
∴CGCD=GBAD，
∴AD=3GB=32x，
∵OE⊥DB，
∴DB⊥GB，
∵ DE=2，
∴DG=2DE=22，
在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x2，
在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，
即32x2+8-12x2=2x2，
解得：x=2（负值舍去），
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)AD=365
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，ADAC=ACAB，即AD12=1220，从而得到AD=365．
（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC=ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
10．（2022·山东济宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．
(1)求证：DF与半圆相切；
(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2003
【分析】（1）连接OF，证明△DAO≅△DFO(SAS)，可得∠DAO=∠DFO，根据矩形的性质可得∠DAO=90∘，进而即可得证；
（2）连接AF，根据题意证明△AOD∽△FBA，根据相似三角形的性质求得DO，进而勾股定理AD，根据矩形的面积公式即可求解．
（1）
证明：连接OF．
∵AE=EF，
∴∠DOA=∠FOD.
∵AO=FO,DO=DO，
∴△DAO≅△DFO(SAS)
∴∠DAO=∠DFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO=90∘
∴∠DFO=90∘.
∴DF与半圆相切.
（2）
解：连接AF，
∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆的直径，
∴∠AFB=90∘，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.
∵∠OAD=∠AFB=90∘，
∴△AOD∽△FBA
∴AOBF=DOAB，
∴56=DO10，
∴DO=253，
在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.
∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
(1)求证：四边形EMFC是矩形；
(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．
【答案】(1)详见解析
(2)253
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出∠CFD=90°，由⊙O与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出 OE⊥AC ，进而可得出 ∠OEC=∠AEO=90°，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形 EMFC 是矩形．
（2）在Rt△AOE 中，利用勾股定理可求出 OA 的长，进而可得出 AB 的长，由∠AEO=∠C=90°，利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE//BC，进而可得出△AEO∼△ACB利用相似三角形的性质可求出 AC 的长，结合 CE=AC-AE， 可求出 CE 的长，再利用矩形的对边相等，即可求出 FM 的长．
（1）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°，
∴⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=∠AEO=90°，
又∴∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）
解：在Rt△AOE中∠AEO=90° AE=5 OE=OB=2，
∴OA2=AE2+OE2，
∴OA=AE2+OE2=52+22=3，
∴AB=OA+OB=3+2=5，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE//BC，
∴△AEO∼△ACB，
∴AEAC=AOAB，即5AC=35，
∴AC=553，
∴CE=AC-AE=553-5=253，
∴四边形EMFC是矩形，
∴FM=CE=253．
【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
12．（2022·辽宁大连·中考真题）AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与DO的延长线相交于点E．
(1)如图1，求证∠B=∠E；
(2)如图2，连接AD，若⊙O的半径为2，OE=3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2213
【分析】（1）证明∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，即可得出∠B=∠E；
（2）证明ΔODB ∼ΔOAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．
（1）
解：∵ OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵ AE是⊙O的切线，
∴∠OAE=90°，
在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴∠B=∠E；
（2）
解：如图，连接AC．
∵ ⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，AB=4，
∵ 在ΔODB和ΔOAE中，
∠ODB=∠OAE=90°，∠DOB=∠AOE，
∴ΔODB ∼ΔOAE，
∴ODOA=OBOE，即OD2=23，
∴OD=43，
在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，
∴DB=OB2-OD2=22-432=253．
∵ OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，
∴CD=DB=253，
∴BC=2DB=453．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，
在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴AC=AB2-BC2=42-4532=83．
在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，
∴AD=AC2+CD2=832+2532=2213．
【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB ∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．
13．（2022·青海·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接OD，根据AD平分∠CAB，可得∠CAD=∠OAD，从而得到∠CAD=∠ODA，可得OD∥AF，再由切线的性质，即可求解；
（2）由△ODE∽△AFE，可得OE:AE=OD:AF，设BE为x，可得OE=OB+BE=2+x，即可求解．
（1）
证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF．
（2）
解：由（1）得：OD∥AF，
∴△ODE∽△AFE，
∵AC=2，CF=1，
∴AF=3，
∵AB=4，
∴OD=2，OB=2，
∴OE:AE=OD:AF，
设BE为x，
∴OE=OB+BE=2+x，
∴2+x4+x=23，
解得：x=2，
即BE的长为2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝42，HB＝2，求⊙O的直径．
【答案】(1)见解析
(2)22
(3)⊙O的直径为65
【分析】（1）连接OF，先证明OF∥AC，则∠OFD＝∠C＝90°，根据切线的判定定理可得出结论．
（2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝45°，从而可求出sin∠FHG的值．
（3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得DFDB=FHHB=2，再证△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得DADF=DFDB=2，又由角平分线的性质可得DADF=AGGF，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的直径．
（1）
证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵EF=FB,
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG=sin45°=22
（3）
解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
S△DHF ∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝42
∴FH＝FG＝4，
∴DFDB=42=2
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF
∴FGAG=DFAD=12
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB=AF2+BF2=122+622=65
∴⊙O的直径为65
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2022·广西河池·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝22BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为3，BE的长为2
【分析】（1）连接OC，根据角平分线求得∠ABC = ∠CBD，由等边对等角可得∠PCA= ∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO = 90°，即可得证；
（2）设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可求解．
（1）
证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+∠ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
（2）
连接 AE， 设 OB=OC=r，
∵PC=22OB，
∴PC=22r，
∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，
∵PB=12，
∴4r=12，
∴r=3，
由 (1) 可知， ∠OCB=∠CBD，
∴OC//BD，
△PCO∽△PDB
∴OCBD=OPPB，∠D=∠PCO=90∘，
∴3BD=912，
∴BD=4，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AEB=∠D=90∘，
∴AE//PD，
∴BEBD=BABP，
∴BE4=612，
∴BE=2．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
16．（2022·山东聊城·中考真题）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．
(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．
【答案】(1)见解析
(2)FD的长为8310-83
【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．
（1）
证明：在△AOF和△EOF中，
OA=OE∠AOD=∠EODOF=OF，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴AF=FC2-AC2=8，
∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴EOAF=COCF，
设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，
解得r=83，
在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=83，
∴OF=AF2+AO2=8310，
∴FD=OF-OD=8310-83，
即FD的长为8310-83．
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)1255
【分析】（1）连接OE，方法一：根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；
方法二：根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠OEC＝90°即可；
（2）连接EF，根据三角函数求出AB和半径的长度，再利用三角函数求出AE的长即可．
（1）连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，∵CF＝2，sinC＝35，∴OEOF+CF=35，∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC•sinC＝8×35＝245，∵∠OAE＝∠BAE，∴cs∠OAE＝cs∠BAE，即ABAE=AEAF，∴245AE=AE3+3，解得AE＝1255（舍去负数），∴AE的长为1255．
【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．
18．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若tan∠OAC=12，AD=32，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证∠BOC +∠AOD=90°，再因为∠ADO=∠BOC，得出∠ADO +∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）先证明∠AED=∠DAE，得出DE=AD=32，再证∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC= tan∠OCA=OEOC=12,设OC=OA=R,则OE=12R，在Rt△OAD中，由勾股定理，得
12R+322=R2+322，解之即可．
（1）
证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵∠ADO=∠BOC，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
∴DE=AD=32，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
∴tan∠OAC= tan∠OCA=OEOC=12,
设OC=OA=R,
则OE=12R，
在Rt△OAD中，∠OAD=90°，
由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，
即12R+322=R2+322，
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
19．（2022·广东广州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是55
【分析】(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF=12BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=25，最后在Rt△CDF中由sin∠ACD=DFCD=225=55即得答案．
（1）
解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与AC交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；
（2）
解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：
∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=12BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA=12AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF=12AC=4，
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=25，
则sin∠ACD=DFCD=225=55，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是55．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．
20．（2022·山东淄博·中考真题）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
图1
(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
图2
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
图3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID=∠DBI，利用等角对等边即可证明BD=DI；
（2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（3）设法证明△HBG∽△CHG，推出GH2=GC×GB，再证明△GFC∽△GBF，推出GF2=GC×GB，据此即可证明GF=GH．
（1）
证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC +∠CBD，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=DI；
（2）
证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）
证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，
∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，
∴∠HCI=∠IHG=90°，
∴∠IHC+∠I=90°=∠IHC+∠GHC，
∴∠I=∠GHC，
∵∠HBG=∠I，
∴∠HBG=∠GHC，
∴△HBG∽△CHG，
∴HGCG=GBHG，
∴GH2=GC×GB，
∵AD∥FG，
∴∠DAF=∠GFC，
∵∠DAF=∠DBC，
∴∠GFC=∠DBC，
∴△GFC∽△GBF，
∴GFGB=GCGF，
∴GF2=GC×GB，
∴GF2=GH2，
∴GF=GH．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．