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2024广西高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学含解析
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这是一份2024广西高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学含解析，共14页。试卷主要包含了3，需要更换D元件的概率为0等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
2．如图1，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
图1
A．B．C．D．
3．某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为，则该器皿的高为（ ）
A．5cmB．12cmC．15cmD．20cm
4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数．若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
7．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．定义：设二元函数在点的附近有定义，当y固定在而x在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对x的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量x的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．
B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了．
C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于．
D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠。
10．复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上D．若，则点Z在抛物线上
11．若数列满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为等比数列，则
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
13．点P为圆上一点，点，，记P到A，B两点的距离分别为l与m．则的最大值为______．
14．已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设内切圆半径为r，则______，______．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．
16．（本小题满分15分）
在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
图2
（1）求证：平面平面AEF；
（2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（本题满分15分）
正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
图3
（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求；
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．
设，证明：；
附：若随机变量Y服从正态分布，则，，．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，A，B，O分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点D为椭圆C上异于A，B的一动点，面积的最大值为．
图4
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线交椭圆C于M、N两点，直线交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l于S、T两点，H为l上除点P的任一点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线HM、HN、HF的斜率分别为、、，求的值．
19．（本小题满分17分）
英国数学家泰勒发现了如下公式：以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围．
2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）
数学参考答案
1．B（把上的所有点向左平移个单位长度，
得到函数的图象．故应选B．）
2．A（由题意得， ．故应选A．）
3．B（由题意得， ，解得．故应选B．）
4．D（抛物线即的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转，
得到的抛物线开口向左，其方程为，所以，则，故应选D．）
5．A（∵， ∴， ，
∴，∴故应选A．）
6．A（展开式的通项为：；
当时，取，则，故充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立；
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故应选A．）
7．C（记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，
则，
由条件概率公式可得．故应选C．）
8．B （依题意，
同理可求得，所以，
设，则，由，
得，，
此方程有解，所以，，．故应选B．）
9．AB 对于选项A：设周长为，则圆的面积为，
正方形的面积为，因为，，可得，即，故A正确；
对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为，则，
因为，，可得，，
所以，即，故B正确；
对于选项C：设这两年的平均增长率为，
则，可得，
因为，即，
当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故错误；
对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg，
第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品，
第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为．
比较两次购的平均价格：，
当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济，故D错误；故应选AB．）
10．BD（ 表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确．故应选BD．）
11．ACD （依题意，，则，
而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，B错误．
又，因此，于是，，
对于A，，A正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，，
由为等比数列，得，解得或，
当时，，显然数列是等比数列，
当时，，显然数列是等比数列，
因此当数列是等比数列时，或，D正确．故应选ACD．）
12． （由已知，
则，又，即切点为，
所以曲线在处的切线方程为．故答案为：．）
13．850 （，，设，
则
，故最大值为850．）
14．2 18 （设内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则，
在双曲线右支上，由双曲线定义得，
则，
又，故，
即点横坐标为，即内切圆的圆心横坐标为，
由，得，
即，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为；
，故答案为：2；18．）
15． （1）由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则．
（2）因为，所以由余弦定理得，即，
所以，即（当且仅当时，等号成立），
因为，所以，
解得，因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），所以AD长度的最大值为．
16．（1）证明：为长方体平面
平面∴又，且∴
平面AEF平面平面
（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为．则，即
令，则．．
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
17． （1）由题设得，
所以
（2）由题设得：
，
所以．
18． （1）由题意知，解得，，所以的方程为；
（2）ⅰ解：易知点、，
若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则不存在，不合乎题意，
设直线MN的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
．
ⅱ解：设点，其中，则
．
19．（1）设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，，即．
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
，
，
所以
．即．
（3），则，
设，．
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立．
所以当时，，所以在上单调递增．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，是的极小值点．
下面证明：当时，不是的极小值点．
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，．
因此，在上单调递减．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，是的极大值点，不是的极小值点．
综上，实数的取值范围是．
注意事项：
1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（ ）
A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
2．如图1，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
图1
A．B．C．D．
3．某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为，则该器皿的高为（ ）
A．5cmB．12cmC．15cmD．20cm
4．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数．若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
7．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．定义：设二元函数在点的附近有定义，当y固定在而x在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对x的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量x的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．
B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了．
C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于．
D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠。
10．复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上D．若，则点Z在抛物线上
11．若数列满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若为等比数列，则
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
13．点P为圆上一点，点，，记P到A，B两点的距离分别为l与m．则的最大值为______．
14．已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设内切圆半径为r，则______，______．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．
16．（本小题满分15分）
在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
图2
（1）求证：平面平面AEF；
（2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（本题满分15分）
正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
图3
（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求；
（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．
设，证明：；
附：若随机变量Y服从正态分布，则，，．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，A，B，O分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点D为椭圆C上异于A，B的一动点，面积的最大值为．
图4
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线交椭圆C于M、N两点，直线交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l于S、T两点，H为l上除点P的任一点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设直线HM、HN、HF的斜率分别为、、，求的值．
19．（本小题满分17分）
英国数学家泰勒发现了如下公式：以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围．
2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）
数学参考答案
1．B（把上的所有点向左平移个单位长度，
得到函数的图象．故应选B．）
2．A（由题意得， ．故应选A．）
3．B（由题意得， ，解得．故应选B．）
4．D（抛物线即的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转，
得到的抛物线开口向左，其方程为，所以，则，故应选D．）
5．A（∵， ∴， ，
∴，∴故应选A．）
6．A（展开式的通项为：；
当时，取，则，故充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立；
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故应选A．）
7．C（记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，
则，
由条件概率公式可得．故应选C．）
8．B （依题意，
同理可求得，所以，
设，则，由，
得，，
此方程有解，所以，，．故应选B．）
9．AB 对于选项A：设周长为，则圆的面积为，
正方形的面积为，因为，，可得，即，故A正确；
对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为，则，
因为，，可得，，
所以，即，故B正确；
对于选项C：设这两年的平均增长率为，
则，可得，
因为，即，
当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故错误；
对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg，
第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为；
若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品，
第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为．
比较两次购的平均价格：，
当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济，故D错误；故应选AB．）
10．BD（ 表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确．故应选BD．）
11．ACD （依题意，，则，
而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，B错误．
又，因此，于是，，
对于A，，A正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，，
由为等比数列，得，解得或，
当时，，显然数列是等比数列，
当时，，显然数列是等比数列，
因此当数列是等比数列时，或，D正确．故应选ACD．）
12． （由已知，
则，又，即切点为，
所以曲线在处的切线方程为．故答案为：．）
13．850 （，，设，
则
，故最大值为850．）
14．2 18 （设内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则，
在双曲线右支上，由双曲线定义得，
则，
又，故，
即点横坐标为，即内切圆的圆心横坐标为，
由，得，
即，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为；
，故答案为：2；18．）
15． （1）由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则．
（2）因为，所以由余弦定理得，即，
所以，即（当且仅当时，等号成立），
因为，所以，
解得，因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），所以AD长度的最大值为．
16．（1）证明：为长方体平面
平面∴又，且∴
平面AEF平面平面
（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为．则，即
令，则．．
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
17． （1）由题设得，
所以
（2）由题设得：
，
所以．
18． （1）由题意知，解得，，所以的方程为；
（2）ⅰ解：易知点、，
若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则不存在，不合乎题意，
设直线MN的方程为，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
．
ⅱ解：设点，其中，则
．
19．（1）设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，，即．
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
，
，
所以
．即．
（3），则，
设，．
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立．
所以当时，，所以在上单调递增．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，是的极小值点．
下面证明：当时，不是的极小值点．
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增，
所以当时，．
因此，在上单调递减．
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，是的极大值点，不是的极小值点．
综上，实数的取值范围是．
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