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陕西省铜川市2024届高三下学期第三次模拟考试 数学（理） Word版含解析
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这是一份陕西省铜川市2024届高三下学期第三次模拟考试 数学（理） Word版含解析，共16页。试卷主要包含了已知，则，已知为正实数，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的值可能是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为，乙种杂交水稻的产量数据为，则下列说法错误的是（ ）
A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数
D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为
C.在区间上单调递增
D.
9.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A. B.
C.函数的周期为2 D.
10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.
14.已知点为外接圆的圆心，且，则__________.
15.已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则__________.
16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求正整数的最大值.
18.（本小题满分12分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为.
（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲､乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用表示教师甲的总得分，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上（包括端点）的动点，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面的夹角为，求的值.
20.（本小题满分12分）
过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线的准线上是否存在点，使得当时，的面积为.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设是曲线上的两点，且，求面积的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为，若正数满足，证明：.
铜川市2024年高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 【解析】依题意，由，可得，当时，符合题意，应选项；当或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除项；当时，，从而排除项.
2.D 【解析】复数复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选D项.
3.A 【解析】易知，令，解得，故，即，从而，从而的焦点坐标为.故选A项.
4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故A正确；，，故B正确；甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，故C正确.
，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故D错误.
5.C 【解析】函数在上单调递减，
解得.故选C项.
6.A 【解析】，.故选A.
7.C 【解析】若，根据糖水不等式可得，充分性得证；
若，则，即，故，必要性得证.
8.C 【解析】依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除选项.
，即，故在区间上不可能单调递增，应选C项.
为偶函数，从而，从而可排除D选项.
9.D 【解析】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，即C项错误.
由，令，得，即B项错误.
又，故选D项.
10.D 【解析】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，
过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选D.
11.C 【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，可得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的体积.故选项.
12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上.
如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，则，
由椭圆的定义知，则，
，
，
.
又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3，
，即，故椭圆的离心率.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.240 【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有种方法，
然后将4组学生分配到4个景点，有种方法，
由分步计数原理知共有种不同的游玩方式.
14. 【解析】由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.
15. 【解析】，
又，
.
为的一条中线，，
，即，解得，或（舍）.
由余弦定理得.
16. 【解析】，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当时，；当时，，
当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第11~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1）当时，，
当时，，
，
两式相减，得，
，
显然也符合上式，
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整数的最大值为15.
18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率，
，
，
甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
（2）易知的所有取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
.
19.解：（1）证明：如图，连接交于点，连接，
四边形是正方形，为的中点，
是的中点，，
平面平面平面.
（2）易知两两垂直，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则.
，
设，则.
.
设平面的法向量为，
则即令，则.
又直线与平面的夹角为，
，解得.
.
20.解：（1）根据抛物线概念易知，
直线垂直于轴，
不妨设，代入，可得，
.
，解得.
抛物线的方程为.
（2）由（1）易知抛物线的准线方程为，
设点，
当直线的斜率等于0时，不符合题意；
故可设直线的方程为：，
联立消去得，
，得，
由韦达定理得，
，
，
.
，
原点到直线的距离，
，解得.
.
存在点，符合题目要求.
21.解：（1）当时，，
.
，
所求切线方程为，即.
（2）函数存在零点，等价于方程有正根，
即有解，
令，则.
令，则，
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
当时，；当时，，
又，
存在，使得.
，即，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
当时，；当时，，
，即.
实数的取值范围为.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得，即，
又由
可得，
曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）易知曲线的标准方程为，
曲线是以为圆心，半径为5的圆，且过原点，
又过圆心，且为直角三角形.
.
，当时，等号成立.
面积的最大值为25.
23.解：（1）
不等式等价于或或
解得或或.
不等式的解集为.
（2）由（1）易知，即，
方法一：
当且仅当时，等号成立.
方法二：，
即，
当且仅当时，等号成立.-15
0
15
30
0.096
0.352
0.408
0.144
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的值可能是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为，乙种杂交水稻的产量数据为，则下列说法错误的是（ ）
A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数
D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
5.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知为正实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为
C.在区间上单调递增
D.
9.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A. B.
C.函数的周期为2 D.
10.在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.
14.已知点为外接圆的圆心，且，则__________.
15.已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则__________.
16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求正整数的最大值.
18.（本小题满分12分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为.
（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲､乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用表示教师甲的总得分，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上（包括端点）的动点，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面的夹角为，求的值.
20.（本小题满分12分）
过抛物线焦点的直线交于两点，若直线垂直于轴，则的面积为2，其中为原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）抛物线的准线上是否存在点，使得当时，的面积为.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设是曲线上的两点，且，求面积的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为，若正数满足，证明：.
铜川市2024年高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 【解析】依题意，由，可得，当时，符合题意，应选项；当或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除项；当时，，从而排除项.
2.D 【解析】复数复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选D项.
3.A 【解析】易知，令，解得，故，即，从而，从而的焦点坐标为.故选A项.
4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故A正确；，，故B正确；甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，故C正确.
，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故D错误.
5.C 【解析】函数在上单调递减，
解得.故选C项.
6.A 【解析】，.故选A.
7.C 【解析】若，根据糖水不等式可得，充分性得证；
若，则，即，故，必要性得证.
8.C 【解析】依题意，则函数的最大值为，最小值正周期为，从而可排除选项.
，即，故在区间上不可能单调递增，应选C项.
为偶函数，从而，从而可排除D选项.
9.D 【解析】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，即C项错误.
由，令，得，即B项错误.
又，故选D项.
10.D 【解析】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，
过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，所求面积.故选D.
11.C 【解析】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，可得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的体积.故选项.
12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上.
如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上，则，
由椭圆的定义知，则，
，
，
.
又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3，
，即，故椭圆的离心率.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.240 【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有种方法，
然后将4组学生分配到4个景点，有种方法，
由分步计数原理知共有种不同的游玩方式.
14. 【解析】由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.
15. 【解析】，
又，
.
为的一条中线，，
，即，解得，或（舍）.
由余弦定理得.
16. 【解析】，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当时，；当时，，
当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第11~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1）当时，，
当时，，
，
两式相减，得，
，
显然也符合上式，
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
，
解得.
正整数的最大值为15.
18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率，
，
，
甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
（2）易知的所有取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
.
19.解：（1）证明：如图，连接交于点，连接，
四边形是正方形，为的中点，
是的中点，，
平面平面平面.
（2）易知两两垂直，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则.
，
设，则.
.
设平面的法向量为，
则即令，则.
又直线与平面的夹角为，
，解得.
.
20.解：（1）根据抛物线概念易知，
直线垂直于轴，
不妨设，代入，可得，
.
，解得.
抛物线的方程为.
（2）由（1）易知抛物线的准线方程为，
设点，
当直线的斜率等于0时，不符合题意；
故可设直线的方程为：，
联立消去得，
，得，
由韦达定理得，
，
，
.
，
原点到直线的距离，
，解得.
.
存在点，符合题目要求.
21.解：（1）当时，，
.
，
所求切线方程为，即.
（2）函数存在零点，等价于方程有正根，
即有解，
令，则.
令，则，
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
当时，；当时，，
又，
存在，使得.
，即，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
当时，；当时，，
，即.
实数的取值范围为.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得，即，
又由
可得，
曲线的极坐标方程为.
（2）由（1）易知曲线的标准方程为，
曲线是以为圆心，半径为5的圆，且过原点，
又过圆心，且为直角三角形.
.
，当时，等号成立.
面积的最大值为25.
23.解：（1）
不等式等价于或或
解得或或.
不等式的解集为.
（2）由（1）易知，即，
方法一：
当且仅当时，等号成立.
方法二：，
即，
当且仅当时，等号成立.-15
0
15
30
0.096
0.352
0.408
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