2024届河南省TOP二十名校高三下学期4月冲刺（一）数学试卷

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全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 5D. 4
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A. B. 1C. 2D.
5. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7. 如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点在水平面内，从出发的三条两两垂直的线段位于的同侧，若到的距离分别为，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（ ）
参考公式与临界值表：
A. 任意一人不患疾病的概率为0.9
B. 任意一人不过量饮酒的概率为
C. 任意一人在不过量饮酒条件下不患疾病的概率为
D. 依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关
10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，将上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍得到椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若的离心率分别为，则
C. 若的周长分别为，则
D. 若的四个顶点构成的四边形面积为，则的离心率为
11. 将圆柱的下底面圆置于球的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球的内壁相接（球心在圆柱内部）．已知球的半径为3，．若为上底面圆的圆周上任意一点，设与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为，则（ ）
A. 可以取到中的任意一个值
B.
C. 的值可以是任意小的正数
D
三､填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分．
12. 若，则的值为__________．
13. 如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上､下底的面积分别为和，高为.现在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为______.（降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积）
14. 若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成角余弦值．
16. 某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设计难度相同的甲､乙､丙､丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为，其中四种设计全部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：在三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序员．已知每位普通程序员设计合格的概率分别为，同一普通程序员不同的设计相互不影响．
（1）已知设计合格的得分分别为，不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率．
17. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．
（1）求的轨迹的方程；
（2）已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标．
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
19. 在等差数列中，已知成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是否为等比数列？若是求其前项和，若不是，请说明理由；
（3）设，且，求所有取值．
患疾病
不患疾病
合计
过量饮酒
不过量饮酒
合计
400
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828