精品解析：2024年广东省广州市南沙区中考一模数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2024年广东省广州市南沙区中考一模数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，考试时不可使用计算器等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质可得答案．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．
【详解】解：绝对值是．
故选：D．
2. “全民行动，共同节约”．我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电度．将“”用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图判断几何体的形状即可得到答案．
【详解】解：根据三视图可知几何体为：
，
故选：D
4. 下面的计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、负整数指数幂等知识，根据相应的运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：A．与不是同类项，不能进行计算，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项准确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：
去分母得到，
解得．
经检验，是原方程的解．
故选：B
6. 《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两”列出方程组即可得答案．
【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组，
故选A．
7. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：B．
8. 如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（ ）
A. ，8B. ，8C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，利用四边形内角和计算出，再利用圆周角定理得到，根据切线长定理得到平分，所以，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，是的切线，，为切点，
，，
，
，
，
，是的切线，
平分，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
9. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，若，，则四边形的周长是（ ）
A. 19B. 20C. 28D. 29
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形判定和性质等知识，先由是等边三角形得出，根据图形旋转的性质得出，即可求出结果
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的周长为．
故选：C
10. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据二次函数图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
，
，
，
的图象必在二，四象限，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
，
的图象经过一，二，四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
12. 清和四月，草长莺飞，正是踏春好时节．未来6天的每天的最低气温（单位：℃）分别为：17，16，19，20，22，20，这组数据的中位数为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，据此进行求解即可．
【详解】解：数据共6个，从小到大排列为：16，17， 19，20，20，22，
∴组数据的中位数为．
故答案为：
13. 如图，在中，，点D为边的中点，，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明是等腰三角形，，得到，再由等腰三角形三线合一得到答案．
【详解】解：在中，，
∴是等腰三角形，
∴
∵点D为边的中点，
∴
故答案为：
14. 如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么______．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出对称轴为，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线经过点和两点，，
∴对称轴为，
∵开口向下，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴当时，，
故答案为：．
15. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴,
∴点是的中点，
，
D，E分别是，边上的中点，
，
，
故答案为：3．
16. 已知在四边形中，，，．
（1）的长是______；
（2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长；
（2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小．
【详解】（1）解：连接，
在中，，，
，
，
，
在中，；
故答案为：4
（2）在中，易得，
连接，由题意可知是等腰直角三角形，
，
，
点P是外接圆的上的一个动点，
作外接圆，连接，得，
是等腰直角三角形，
，
过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小，
当点O、P、G共线时，，
，
是等边三角形，，
过点P作于点H，
∴四边形是矩形，
，
，
则，
故点P到的距离是．
故答案为：
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为
18. 如图，BD是的对角线，点E、F在BD上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得，则可得∠ABE＝∠CDF，利用可证得，根据全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】证明：∵BF＝DE
∴BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ABE＝∠CDF，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
19. 已知．
（1）化简A；
（2）若点是抛物线上的一点，求A的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．
（1）先计算括号内的加法，再计算除法即可；
（2）把点的坐标代入得到，则，整体代入（1）中结果即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
∵点是抛物线上的一点，
∴
∴
∴
20. 小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）．
方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米；
方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为．
请从两种方案中任选一种求树的高度．（参考数据：，，）
【答案】树的高度为米
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
方案①：证明，则，得到，即可求出答案；
方案②：过点C作，垂足为E．在中，利用得到，再利用线段求和即可得到．
【详解】解：方案①：如图，
由题意可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴树的高度为米；
方案②：如图，过点C作，垂足为E．
在中，，，，
∴，
∴．
21. 某校开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了“A：非常了解”，“B：比较了解”，“C：基本了解”，“D：不太了解”四个等级，采取随机抽样的方式，要求每个学生只能填写其中一个等级，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表，根据表格回答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为______人，频数分布表中______；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估计该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数；
（3）在“非常了解”垃圾分类的学生中，有1个男生2个女生来自同一班级，计划在这3个学生中随机抽选两个加入垃圾分类宣讲队，请用列表或画树状图的方法求所选的两个学生都是女生的概率．
【答案】（1）
（2）800人； （3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表以及用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，理解频率=频数÷总数，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．
（1）根据频率=频数÷总数可计算出得出总数，进而求出a的值；
（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000人中“非常了解”“比较了解”的人数；
（3）用树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生都是女生的概率．
【小问1详解】
（人），
，
故答案为：；
【小问2详解】
（人），
答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数有800人；
【小问3详解】
用树状图法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种等可能出现的结果情况，其中两个学生都是女生的情况有2种，
所以两个学生都是女生的概率为．
答：两个学生都是女生的概率为．
22. 越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
（2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
（3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
【答案】（1）
（2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析
（3）千克
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
（1）由表中数据可得，从而得出结论；
（2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
（3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据表中数据可知，，
，
李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为；
【小问2详解】
李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由：
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度一般不超过30千米/小时，
李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫；
【小问3详解】
∵，
∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，
∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）．
23. 如图，是的外接圆，为直径，
（1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，，
①求四边形的面积；
②求O到弦的距离．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）直接作的垂直平分线即可；
（2）①利用分割的思想求解面积，②作出相应辅助线，利用相似三角形的判定及性质求出，再利用勾股定理及等面积法进行求解．
【小问1详解】
解：根据题意作图如下：
【小问2详解】
解：①如下图：
由圆周角定理知：，
，，
，
解得：，
，
，
，
；
②解：过作的垂线交于，过作的垂线交于，取与的交点为，
根据等面积法得：，
解：，
，
，
，
，
，
解得：，
，
根据等面积法得：，
，
O到弦的距离为．
【点睛】本题考查了垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、利用正弦值求边长，解题的关键是利用等面积法建立等式求解．
24. 已知抛物线的图象过点．
（1）求b与a的关系式；
（2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值；
（3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案；
（2）根据和该抛物线的顶点到x轴的距离是1得到，解方程后根据即可得到答案；
（3）根据题意可知抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．则平移后的抛物线解析式为．把代入解得．当时，；当时，（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为．即顶点为，设，即．根据二次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线的图象过点．
∴，
∴；
【小问2详解】
∵
∴
∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1，
∴，
解得或或，
∵
∴或
【小问3详解】
由平移前的抛物线，
即，
因为平移后的对应点为
可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．
则平移后的抛物线解析式为．
把代入，得．
．
，
所以．
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
因为，所以．
所以平移后的抛物线解析式为．
即顶点为，
设，即．
因为，所以当时，随a的增大而减小，
所以当时，取最大值为，
此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质．
25. 如图，在边长为6的正方形中，点E是的中点，连接．
（1）求的线段长；
（2）若点P是射线上的动点，过点P作，垂足为Q．
①当P在线段上运动时，求的取值范围；
②连接，若点B，P到直线的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）①，②或
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数进行求解；
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）①求出当P在线段上运动时，求的最大值和最小值即可；②确定点P的位置，再求出的值即可．
【小问1详解】
解：边长为6的正方形中，点E是的中点，
∴，，，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点E作，垂足为H．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，；
①当P在线段上运动时，，
∴的最大值为，最小值为；
的取值范围为．
②当P在上时，如图，过点D作，垂足为K，点B，P到直线的距离分别是的长度，且，
∵点E是的中点，
∴，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
．
当P在线段延长线上时，如图，过点D作，垂足为K，点B，P到直线的距离分别是的长度，且，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴．
综上所述：的值为或.
等级
频数
频率
A（非常了解）
25
0.5
B（比较了解）
15
0.3
C（基本了解）
8
a
D（不太了解）
b
0.04
t（小时）
2
1.5
1.2
1
v（千米/小时）
12
16
20
24