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题型10 阅读理解及定义型问题 （专题训练）-2024年中考数学二轮题型突破（全国通用）
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这是一份题型10 阅读理解及定义型问题 （专题训练）-2024年中考数学二轮题型突破（全国通用），文件包含题型10阅读理解及定义型问题专题训练教师版docx、题型10阅读理解及定义型问题专题训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围．
【详解】解：由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．
2．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】
先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵是“相随数对”，
∴，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
【点睛】
本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
3．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y<3；
当，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，=0；
∴当时，y<0；
综上，的最大值为3．
故选C．
【点睛】
本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
4．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．
【详解】
解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为，
∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，
∴点A，B，O在同一直线上，
∴直线经过原点，
∴m+3=0，
∴m=-3，
∴一次函数的解析式为，
∴一次函数的特征数是．
故选：D
【点睛】
本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．
5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或B．C．或D．或
【答案】C
【分析】
根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
7．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
8．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏．
【答案】10
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．
【答案】8
【分析】
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【详解】
解：根据题意知：．
因为，
所以当时，．
即的最大值是8．
故答案是：8．
【点睛】
本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．
10．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
【答案】；8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
11．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
【答案】；
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，
则，
∴，
即，解得（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，
∴，，
即，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
对抛物线来说，
∵，
∴开口向下，
当时，，
当时，，
∵对称轴为，，
∴当时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
12．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【答案】或2
【分析】
根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
【点睛】
本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
13．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
【答案】6200；9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
14.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①④
【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ满足MN∥PQ，设P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝＋1，PQ＝－(－1)＝＋1，∴PM＝PQ，故四边形PMNQ是广义菱形．综上所述正确的是①④．
15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
【答案】或．
【解析】当∠A是顶角时，底角是50°，则k=；当∠A是底角时，则底角是20°，k=，故答案为：或．
16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，，或
(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形“梦之点”满足，，
∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，
故答案为：，；
（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴把代入得，
∴，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线上，
联立，解得或，
∴，
∴直线的解析式是，
函数图象如图：
由图可得，当时，x的取值范围是或；
故答案为：，，或；
（3）是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
17.阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1（2）若x1例题：证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．
证明：设0f（x1）–f（x2）=．
∵0∴＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）=+x（x<0），
f（–1）=+（–1）=0，f（–2）=+（–2）=–．
（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；
（2）猜想：函数f（x）=+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【答案】（1）–，–；（2）增；（3）见解析．
【解析】（1）∵f（x）=+x（x<0），
∴f（–3）=–3=–，f（–4）=–4=–，
故答案为：–，–；
（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），
∴函数f（x）=+x（x<0）是增函数，
故答案为：增；
（3）设x1∵f（x1）–f（x2）==（x1–x2）（1–）
∵x1∴f（x1）–f（x2）<0，∴f（x1）∴函数f（x）=+x（x<0）是增函数．
【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)，
(2)猜想结论：，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
19．（2022·四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．故答案为：；．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，当时，，
当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；
②若–=26，则y=__________；
③若+=，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．
【解析】（1）①∵=10m+n，
∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），
∴–一定能被9整除．
∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴•–mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
21．（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．
【分析】
（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；
（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为；
（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的，
∴；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，
∴，
∴，
∴；
由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接，过点作于点P，
∴，
设，则有，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述：当时，此时；当时，此时．
【点睛】
本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
23.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点。
例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x==1，y==2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.
①试确定y与x的关系式.
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
【解析】解：（1）∵=2，=4，
∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分
（2）①由融合点定义知x=，得t=3x-分
又∵y=，得t=...….5分
∴3x-3=，化简得y=2x-1.……6分
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
由点T是点D，E的融合点，
可得m=或2m-1=
解得m=，∴点E1（，6）.…7分
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）.
由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分
（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分
（注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（，6），E2（6，15）. ……10分
25.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【解析】解：（1）当m＝0时，二次函数的表达式为y＝－x2＋2，画出函数图象（图1），
∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1；
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．
（2）当m＝3时，二次函数的表达式为y＝－（x－3）2＋5，画出函数图象（图2），
∵当x＝1时，y＝1；当x＝4时，y＝4；
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）．
（3）∵抛物线顶点P的坐标为（m，m＋2），
∴点P在直线y＝x＋2上．
由于点P在正方形内，则0＜m＜2．
如图3，点E（2，1），F（2，2）．
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）．
当抛物线经过点E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝1，
解得m1＝，m2＝（舍去）．
当抛物线经过点F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝2，
解得m1＝1，m2＝4（舍去）．
∴当＜m＜1时，点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在个好点．
26.如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角中，，，则 ；
（2）如图2，在中，，，，求的面积；
（3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求，
【思路分析】（1）如图1中，作．根据正投影的定义求出即可．
（2）如图2中，作于．由正投影的定义可知，，利用相似三角形的性质求解即可解决问题．
（3）如图3中，作于，于．根据正投影的定义，求出，即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图1中，作．
，，，，，故答案为2．
（2）如图2中，作于．
，，，，，，，，，，，，
．
（3）如图3中，作于，于．
，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，
．
27．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
(1)
解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0时，抛物线开口向上．
当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a>0，
∴顶点纵坐标﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
(3)
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】
本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
28．（2022·浙江嘉兴）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
（数据来自某海洋研究所）
(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【答案】(1)①见解析；②，
(2)①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80
(3)和
【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可；
②根据函数图像估计即可；
（2）从增减性、最值等方面说明即可；
（3）根据图像找到y=260时所有的x值，再结合图像判断即可．
(1)①
②观察函数图象：
当时，；
当y的值最大时，；．
(2)答案不唯一．
①当时，y随x的增大而增大；
②当时，y有最小值80．
(3)根据图像可得：当潮水高度超过260时和，
【点睛】本题考查函数图像的画法、从函数图像获取信息，准确的画出函数图像是解题的关键．
29.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE= QUOTE ．
【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中， QUOTE ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4 QUOTE ，BE=5 QUOTE ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE= QUOTE ．
【名师点睛】
根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
30．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出的值；
(3)求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；
（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．
【详解】（1）将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
31．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
32．（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②
(3)或
【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；
（2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论；
②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解；
（3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解．
【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称，
∴与关于点中心对称，
则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵，
∴，
∵,关于直线对称，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，．
（2）①，理由如下，
连接，
由对称性可得，，
∴，
②连接分别交于两点，过点作，交于点，
由对称性可知：且，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴
（3）解：设，则，
依题意，，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∵，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴
在中，，则，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如图所示，若，则，
∵，则，
则，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
33．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．
例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．
(1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；
(2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；
(3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解；
（2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解；
（3）当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，直线的解析式为，得出，可得到直线的距离为，则当点与点重合时，当点与点重合时，求得两个临界点时的的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，则，点是直线的“伴随点”时，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，
则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
∴等边三角形的边长为
（3）解：如图所示，当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，
∵，，
∴，，
∵，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
∴直线垂直，
当时，
∴，
∵，即得到直线的距离为，
则当点与点重合时，是直线：的伴随点．
此时在上，则，解得：，
当点与点重合时，则过点，此时，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）
∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围．
【详解】解：由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．
2．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】
先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵是“相随数对”，
∴，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
【点睛】
本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键．
3．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y<3；
当，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，=0；
∴当时，y<0；
综上，的最大值为3．
故选C．
【点睛】
本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．
4．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．
【详解】
解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为，
∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，
∴点A，B，O在同一直线上，
∴直线经过原点，
∴m+3=0，
∴m=-3，
∴一次函数的解析式为，
∴一次函数的特征数是．
故选：D
【点睛】
本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．
5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或B．C．或D．或
【答案】C
【分析】
根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
7．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
8．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏．
【答案】10
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．
【答案】8
【分析】
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
【详解】
解：根据题意知：．
因为，
所以当时，．
即的最大值是8．
故答案是：8．
【点睛】
本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．
10．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．
【答案】；8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
11．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
【答案】；
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，
则，
∴，
即，解得（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，
∴，，
即，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
对抛物线来说，
∵，
∴开口向下，
当时，，
当时，，
∵对称轴为，，
∴当时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
12．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【答案】或2
【分析】
根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
【点睛】
本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
13．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
【答案】6200；9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，
∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
14.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①④
【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ满足MN∥PQ，设P(m，0)（m＞0），∵PM＝＝＋1，PQ＝－(－1)＝＋1，∴PM＝PQ，故四边形PMNQ是广义菱形．综上所述正确的是①④．
15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
【答案】或．
【解析】当∠A是顶角时，底角是50°，则k=；当∠A是底角时，则底角是20°，k=，故答案为：或．
16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，，或
(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形“梦之点”满足，，
∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，
故答案为：，；
（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴把代入得，
∴，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线上，
联立，解得或，
∴，
∴直线的解析式是，
函数图象如图：
由图可得，当时，x的取值范围是或；
故答案为：，，或；
（3）是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
17.阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1
证明：设0
∵0
∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）=+x（x<0），
f（–1）=+（–1）=0，f（–2）=+（–2）=–．
（1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________；
（2）猜想：函数f（x）=+x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【答案】（1）–，–；（2）增；（3）见解析．
【解析】（1）∵f（x）=+x（x<0），
∴f（–3）=–3=–，f（–4）=–4=–，
故答案为：–，–；
（2）∵–4<–3，f（–4）＞f（–3），
∴函数f（x）=+x（x<0）是增函数，
故答案为：增；
（3）设x1
∵x1
【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)，
(2)猜想结论：，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
19．（2022·四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．故答案为：；．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，当时，，
当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；
②若–=26，则y=__________；
③若+=，则t=__________；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）①2．②4．③7．（2）11；9；10．
【解析】（1）①∵=10m+n，
∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，
∴x=2，
故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，
解得y=4，
故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得
若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，
∴100t=700，
∴t=7，
故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），
∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），
∴–一定能被9整除．
∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴•–mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，
972–279=693，
963–369=594，
954–459=495，
954–459=495，…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，
∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a–c≤9，
∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，
故都可以得到该黑洞数495．
【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
21．（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时．
【分析】
（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；
（2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为；
（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
设与y轴的交点为D，连接，易得轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的，
∴；
（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：
由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，
∴，
∴，
∴；
由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接，过点作于点P，
∴，
设，则有，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
综上所述：当时，此时；当时，此时．
【点睛】
本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
23.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数，令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数，令y=x，则，
解得：(负值已舍)，
∴函数的“等值点”为A(，)；
∵函数，令y=x，则，
解得：，
∴函数的“等值点”为B(，)；
的面积为，
即，
解得：或；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，
∴函数W的解析式为，
令y=x，则，即，
解得：，
∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则，即，
当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当时，观察图象，恰有2个“等值点”；
当时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴，
整理得：，
解得：．
综上，m的取值范围为或．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点。
例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x==1，y==2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.
①试确定y与x的关系式.
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
【解析】解：（1）∵=2，=4，
∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分
（2）①由融合点定义知x=，得t=3x-分
又∵y=，得t=...….5分
∴3x-3=，化简得y=2x-1.……6分
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
由点T是点D，E的融合点，
可得m=或2m-1=
解得m=，∴点E1（，6）.…7分
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）.
由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分
（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分
（注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（，6），E2（6，15）. ……10分
25.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【解析】解：（1）当m＝0时，二次函数的表达式为y＝－x2＋2，画出函数图象（图1），
∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1；
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．
（2）当m＝3时，二次函数的表达式为y＝－（x－3）2＋5，画出函数图象（图2），
∵当x＝1时，y＝1；当x＝4时，y＝4；
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）．
（3）∵抛物线顶点P的坐标为（m，m＋2），
∴点P在直线y＝x＋2上．
由于点P在正方形内，则0＜m＜2．
如图3，点E（2，1），F（2，2）．
∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）．
当抛物线经过点E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝1，
解得m1＝，m2＝（舍去）．
当抛物线经过点F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝2，
解得m1＝1，m2＝4（舍去）．
∴当＜m＜1时，点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在个好点．
26.如图，平面内的两条直线、，点，在直线上，点、在直线上，过、两点分别作直线的垂线，垂足分別为，，我们把线段叫做线段在直线上的正投影，其长度可记作或，特别地线段在直线上的正投影就是线段．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角中，，，则 ；
（2）如图2，在中，，，，求的面积；
（3）如图3，在钝角中，，点在边上，，，，求，
【思路分析】（1）如图1中，作．根据正投影的定义求出即可．
（2）如图2中，作于．由正投影的定义可知，，利用相似三角形的性质求解即可解决问题．
（3）如图3中，作于，于．根据正投影的定义，求出，即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图1中，作．
，，，，，故答案为2．
（2）如图2中，作于．
，，，，，，，，，，，，
．
（3）如图3中，作于，于．
，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，
．
27．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当时，有．∵，∴顶点纵坐标．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
③当时，
……
（2）时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC（或AD或CD）
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
(1)
解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC（或AD或CD）；
(2)
解：a>0时，抛物线开口向上．
当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a>0，
∴顶点纵坐标﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
(3)
解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】
本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
28．（2022·浙江嘉兴）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
（数据来自某海洋研究所）
(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【答案】(1)①见解析；②，
(2)①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80
(3)和
【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可；
②根据函数图像估计即可；
（2）从增减性、最值等方面说明即可；
（3）根据图像找到y=260时所有的x值，再结合图像判断即可．
(1)①
②观察函数图象：
当时，；
当y的值最大时，；．
(2)答案不唯一．
①当时，y随x的增大而增大；
②当时，y有最小值80．
(3)根据图像可得：当潮水高度超过260时和，
【点睛】本题考查函数图像的画法、从函数图像获取信息，准确的画出函数图像是解题的关键．
29.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE= QUOTE ．
【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中， QUOTE ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4 QUOTE ，BE=5 QUOTE ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE= QUOTE ．
【名师点睛】
根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
30．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出的值；
(3)求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；
（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．
【详解】（1）将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
31．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键．
32．（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题：
①若，请判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求，两点间的距离．
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②
(3)或
【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；
（2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论；
②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解；
（3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解．
【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称，
∴与关于点中心对称，
则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
∵，
∴，
∵,关于直线对称，
∴，
即，
可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度．
故答案为：，．
（2）①，理由如下，
连接，
由对称性可得，，
∴，
②连接分别交于两点，过点作，交于点，
由对称性可知：且，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴,
∴
（3）解：设，则，
依题意，，
当时，如图所示，过点作于点，
∴
∵，，
∴，
∴，则，
在中，，
∴，则，
∴
在中，，则，，
在中，，
，
∴
由（2）②可得，
∵
∴
∴，
解得：；
如图所示，若，则，
∵，则，
则，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
33．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．
例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．
(1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；
(2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；
(3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解；
（2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解；
（3）当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，直线的解析式为，得出，可得到直线的距离为，则当点与点重合时，当点与点重合时，求得两个临界点时的的值，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，则，点是直线的“伴随点”时，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，
则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
∴等边三角形的边长为
（3）解：如图所示，当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，
∵，，
∴，，
∵，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
∴直线垂直，
当时，
∴，
∵，即得到直线的距离为，
则当点与点重合时，是直线：的伴随点．
此时在上，则，解得：，
当点与点重合时，则过点，此时，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）
∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
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