2024年中考数学复习探究性试题汇编---反比例函数

这是一份2024年中考数学复习探究性试题汇编---反比例函数，共74页。试卷主要包含了如图，已知直线l，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
1．某同学借助反比例函数y=kx（k≠0）的图象设计了“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A(3，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）求图中阴影部分面积之和．
2．如图，直线y=32x+b经过点A（﹣2，0）与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且tan∠BDO=32．过D点作DC⊥x轴交直线y=32x+b于C点，反比例函数y=kx(x＞0)经过点C．
（1）求b和反比例函数的解析式；
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．
3．如图，一次函数y=12x-1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式12x-1＜kx的解集；
（3）若P（m，0）为x轴上的一动点，连接AP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+b的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点C（1，a），D是反比例函数图象上的一个动点，过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点E，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接DB，DC，当△DCE的面积等于△DBC面积的2倍时，求点E的坐标；
（3）若P是x轴上的一个动点，连接EP，DP，当△DPE与△AOB相似时，求点D的纵坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与双曲线y=kx的交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当△AOB与△BOC的面积相等时，求点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形ABOC的面积为563时，求此时点C的坐标；
（3）我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点E是平面内一点，点F在直线AB上，是否存在这样的点C，E，F，使四边形ACEF是“美好菱形”？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．
7．如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=kx经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
8．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx(x＜0)的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx(x＜0)的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
9．已知一次函数y＝2x﹣4的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，C（3，m）两点，一次函数y＝2x﹣4的图象交y轴于点B．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图，直线AO交反比例函数图象一象限分支于点F，连接CF，作射线CG∥x轴．求证射线CG平分∠ACF；
（3）目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数y=kx（k＞0）一、三象限分支上的点，连接AD、AE、DE，若点B是△ADE的“蓉心”，求点D的坐标．
10．综合与实践：利用相似三角形测量距离．
（1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝10时，y＝32．则y关于x的函数关系式是 （不用写自变量的取值范围）．
（2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离CD＝4m．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度AG＝ m．
（3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.8m，窗高BC＝1.6m，某一时刻，FD＝1m，DE＝3m，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
11．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【探究发现】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，点E是AB的中点，连接CE，已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求出线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE CD（填“＜”、“＞”），用含a，b的代数式表示该大小关系为 ．
当Rt△ABC为等腰直角三角形时，CE＝CD．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q=1m+1n，记l=14pq．
①当m＝2，n＝2时，l＝ ；当m＝3，n＝5时，l＝ ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 ．
12．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若∠PQR＝∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR＝∠PRQ．
（1）如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（2，5）、（﹣3，0），求直线PR的解析式；
（2）如图2，直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，点C是双曲线y=1x上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（0＜n＜m），直线BC、AC分别与x轴于点D、E；
①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F；连接EF，当∠EFD＝∠DCA时，求出线段DE+EF的值（用含n的代数式表示）．
13．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线y=kx（k≠0，且k为常数）上，则k＝ ；
②在①的条件下，F（2，n）在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
14．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=5x（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）设点D为反比例函数y=k′x(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=k′x(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=5x（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=(POOQ)2，且点P在点D上方时，求点P的坐标．
15．在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）．
（1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线y=2x上，求点N的坐标；
（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之反比例函数
参考答案
一．解答题（共15小题）
1．某同学借助反比例函数y=kx（k≠0）的图象设计了“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A(3，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）求图中阴影部分面积之和．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k=3；
（2）半径为2；圆心角的度数为60°；
（3）33-23π．
【分析】（1）将A（3，1）代入y=kx中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答．
【解答】解：（1）将A（3，1）代入到y=kx中，
得：1=k3，
解得：k=3；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（3，1），
∴AG＝1，OG=3，
OA=(3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴圆心角的度数为60°；
（3）∵OD＝2OG＝23，
∴S菱形AOCD=12×AC×OD＝23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO=k2=32，
∴S△FBO＝2×32=3，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=3+23-23π＝33-23π．
【点评】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
2．如图，直线y=32x+b经过点A（﹣2，0）与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且tan∠BDO=32．过D点作DC⊥x轴交直线y=32x+b于C点，反比例函数y=kx(x＞0)经过点C．
（1）求b和反比例函数的解析式；
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）b＝3；y=12x；
（2）m＝4；点P在反比例函数图象上；
（3）符合条件的点E坐标为（210，0）或（﹣210，0）或（46，0）或（10，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求出b＝3，进而求出点D的坐标，即可求出点C坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）利用菱形的性质判断出点P的坐标，即可得出结论；
（3）设E（n，0），结合C（2，6），O（0，0），得到△COE三条边的长度，利用等腰三角形的性质列出方程并解答．由于没有指出等腰三角形的底边或腰长，所以需要进行分类讨论．
【解答】解：（1）∵直线y=32x+b经过A（﹣2，0），
∴﹣3+b＝0，
∴b＝3，
∴直线的解析式为y=32x+3；
∴B（0，3）．
∴OB＝3．
∵tan∠BDO=OBOD=32．
∵OD＝2，
∴D（2，0），
把x＝2代入y=32x+3＝6，
∴C（2，6），
∵反比例函数y=kx经过点C，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
（2）点P在反比例函数图象上；理由如下：
如图，
∵将点B向右平移m个单位长度得到点P，
∴P（m，3）．
∵当四边形BCPD是菱形时，C（2，6），D（2，0），
∴CD⊥x轴，
∴点P和点B关于CD对称，
∴点P的坐标为（4，3），
∴m＝4，3×4＝12＝k，
∴点P在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BCPD为菱形，此时点P（4，3）；
（3）设E（n，0）．
∵C（2，6），O（0，0），
∴OC=22+62=210，OE=n2=|n|，CE=(n-2)2+62．
△COE是等腰三角形，分三种情况：
①OC＝OE，则210=|n|，
∴n＝210或n＝﹣210．
∴符合条件的点E坐标为（210，0）或（﹣210，0）；
②OC＝CE，则210=(n-2)2+62．
此时n＝4或n＝0（舍去）．
符合条件的点E坐标为（4，0）；
③OE＝CE，则|n|=(n-2)2+62．
此时n＝10．
符合条件的点E坐标是（10，0）．
综上所述，符合条件的点E坐标为（210，0）或（﹣210，0）或（46，0）或（10，0）．
【点评】此题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，对称的性质，求出点P的坐标是解答本题的关键．
3．如图，一次函数y=12x-1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式12x-1＜kx的解集；
（3）若P（m，0）为x轴上的一动点，连接AP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=4x；
（2）x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）（﹣3，0）或（7，0）．
【分析】（1）利用一次函数求出A（4，1），问题随之得解；
（2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）先求出C（2，0），表示出PC＝|m﹣2|，根据△APC的面积为52，表示出12|m-2|×1=52，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵函数y=12x-1的图象经过A（a，1），
∴1=12a-1，
解得：a＝4，
∴A（4，1），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数表达式为：y=4x；
（2）∵函数y=12x-1的图象经过B（﹣2，b），
∴b=12×(-2)-1=-2，
∴B（﹣2，﹣2），
∴由图可得，不等式12x-1＜kx的解集是：x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）如图：
在y=12x-1中，当y＝0时，得12x-1=0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∵P（0，m），
∴PC＝|m﹣2|，
∵S△APC=52，A（4，1），
∴12|m-2|×1=52，
解得：m＝﹣3或7，
∴点P的坐标为（﹣3，0）或（7，0）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+b的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点C（1，a），D是反比例函数图象上的一个动点，过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点E，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接DB，DC，当△DCE的面积等于△DBC面积的2倍时，求点E的坐标；
（3）若P是x轴上的一个动点，连接EP，DP，当△DPE与△AOB相似时，求点D的纵坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=12x(x＞0)；
（2）E（﹣1，6）；
（3）125，9+3414，9+318522．
【分析】（1）先把（﹣3，0）代入y＝3x+b求出一次函数解析式，再求出交点C（1，a），最后代入反比例函数解析式即可．
（2）当△DCE的面积等于△DBC面积的2倍时即可得到S△CDE＝2S△BDE，表示出D、E坐标，再计算即可；
（3）表示出D、E、P坐标，根据△DPE与△AOB相似计算即可，注意分情况讨论：△AOB∽△PED；△AOB∽△DEP；△AOB∽△PDE；△AOB∽△EDP；△AOB∽△EPD；△AOB∽△DPE等情况分别解答即可．
【解答】解：（1）一次函数y＝3x+b的图象与坐标轴交于点A，B，其中点A的坐标为（﹣3，0）．代入得：
0＝3×（﹣3）+b，
解得b＝9，
∴y＝3x+9，
∴B（0，9）；
一次函数y＝3x+9的图象与反比例函数y=kx(x＞0)的图象交于点C（1，a），代入得：
a＝3+9＝12，
∴C（1，12），
把C（1，12）代入y=kx（x＞0）得：
12=k1，
解得：k＝12，
∴y=12x（x＞0），
∴反比例函数的表达式为y=12x（x＞0）；
（2）如图1，D是反比例函数图象上的一个动点，过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点E，连接CD、BD，
∴DE∥x轴，
∴设D（m，12m），把纵坐标代入一次函数y＝3x+9得：
∴y＝3x+9=12m，
解得x=4m-3，
∴点E的坐标为（4m-3，12m），
∵S△CDE＝2S△BDE，
∴12（12-12m）•DE＝2×12（9-12m）•DE，
解得m＝2，
∴点E的坐标为（﹣1，6）；
（3）设P（n，0），由（2）可得D(m，12m)，E(4m-3，12m)，其中m＞0，
P是x轴上的一个动点，连接EP，DP，当△DPE与△AOB相似时，分以下几种情况：
当△AOB∽△PED时，当PE⊥x轴时，如图2，点E、P的横坐标相等，故点P的坐标为P(4m-3，0)，
∴PE=12m，DE＝m﹣（4m-3），
∴PEDE=12mm-(4m-3)=12m2+3m-4，
当PEDE=OAOB=13时，△AOB∽△PED，
∴12m2+3m-4=13，
解得m1＝﹣8，m2＝5，
∴m＝5，
∴D(5，125)，
当PEDE=OBOA=3时，△AOB∽△DEP，
∴12m2+3m-4=3，
解得m=-3±412，
∴m=-3+412，
∴D(-3+412，9+3414)，
同理，当PD⊥x轴时，如图3，点P的横坐标与点D的横坐标相等，故点P的坐标为P（m，0），
∴PD=12m，DE=m-(4m-3)，
∴PDDE=12mm-(4m-3)=12m2+3m-4，
当PDDE=OAOB=13时，△AOB∽△PDE，
∴点D的坐标为D(5，125)，
当PDDE=OBOA=3时，△AOB∽△EDP，
∴点D的坐标为D(-3+412，9+3414)，
当PD⊥PE时，作EM⊥x于M，DN⊥x于N，则△EPM∽△PDN，
∴EMPN=MPDN=PEPD，
此时EM＝DN=12m，DE＝MN＝PM+PN＝m-4m+3，
当△AOB∽△EPD时，PEPD=OAOB=13，
∴EMPN=MPDN=PEPD=13，
∴PN＝3EM=36m，PM=13DN=4m，
∴36m+4m=m-4m+3，
解得m=-3+1852或m=-3-1852（不合题意，舍去），
∴12-3+1852=9+318522，
∴点D的坐标为（-3+1852，9+318522），
同理当△AOB∽△DPE时，PEPD=OBOA=3，
∴EMPN=MPDN=PEPD=OBOA=3，
∴PN=13EM=4m，PM=3DN=36m，
∴36m+4m=m-4m+3，
解得m=-3+1852或m=-3-1852（不合题意，舍去），
∴12-3+1852=9+318522，
∴点D的坐标为（-3+1852，9+318522），
综上所述，当△DPE与△AOB相似时，求点D的纵坐标为125，9+3414，9+318522．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是分类讨论思想的运用．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与双曲线y=kx的交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当△AOB与△BOC的面积相等时，求点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=-16x；B（﹣4，4）；
（2）点C的坐标为x=8y=-2或x=2y=-8；
（3）存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB；C（8，﹣2）；D（6，14）．
【分析】（1）根据直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，可计算m的值，并确定k的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点B的坐标；
（2）首先依据△AOB与△BOC的面积相等，推导出AC∥OB；过点A作AP∥y轴，交OB于P，求得AP＝6，进而得到AC的解析式为y＝﹣x±6，与y=-16x联立解答即可得解；
（3）如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，证明∠ABG＝∠GHB，根据正切的定义可得GH＝2，可得BC的解析式为：y=-12x+2，列方程可得点C的坐标，证明△AMC是等腰直角三角形，可得△FBG也是等腰直角三角形，则F（0，8），根据AC＝BD列方程可得结论．
【解答】解：（1）∵点A（m，8）在直线y＝2x+12上，
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函数的表达式为：y=-16x，
则-16x=2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如图1，
当△AOB与△BOC的面积相等时，则AC∥OB；
过点A作AP∥y轴，交OB于P，
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式为：y＝﹣x，
当x＝﹣2时，y＝2，
∴P（﹣2，2），
∴AP＝6；
∴AC的解析式为：y＝﹣x±6，
联立得：y=-x+6y=-16x①或y=-x-6y=-16x②，
解①得：x=8y=-2或x=-2y=8（不合题意，舍去）；
解②得：x=2y=-8或x=-8y=2（不合题意，舍去）；
综上，点C的坐标为x=8y=-2或x=2y=-8；
（3）存在这样的C，D两点，使四边形ABCD是“垂等四边形”，且∠ABD＝∠ACB；理由如下：
如图2，过点B作BG⊥y轴于G，过点A作AM∥y轴，过点C作CM⊥AM于M，
在y＝2x+12中，当x＝0时，y＝12，
∴OE＝12，
∵B（﹣4，4），
∴BG＝4，EG＝12﹣4＝8，
∵四边形ABCD是“垂等四边形”，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD+∠CBF＝90°，即∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠HBG＝90°，
∵∠HBG+∠GHB＝90°，
∴∠ABG＝∠GHB，
∴tan∠ABG＝tan∠GHB，即EGBG=BGGH，
∴84=4GH，
∴GH＝2，
设直线BC的解析式为：y＝nx+2，
将点B的坐标（﹣4，4）代入得：﹣4n+2＝4，
∴n=-12，
∴BC的解析式为：y=-12x+2，
∴-12x+2=-16x，
解得：x＝8或﹣4（舍），
∴C（8，﹣2）；
∵A（﹣2，8），
∴AM＝CM＝10，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠CAM＝45°，
∴∠FBG＝∠CAM＝45°，
∴△FBG也是等腰直角三角形，
∴BG＝FG＝4，
∴F（0，8），
同理得：BF的解析式为：y＝x+8，
设D（x，x+8），
∵AC＝BD，
∴（8+2）2+（8+2）2＝（x+4）2+（x+8﹣4）2，
解得：x1＝6，x2＝﹣14（舍），
∴D（6，14）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），B两点，C为反比例函数图象第四象限上的一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形ABOC的面积为563时，求此时点C的坐标；
（3）我们把有一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”．设点E是平面内一点，点F在直线AB上，是否存在这样的点C，E，F，使四边形ACEF是“美好菱形”？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=-16x，B（﹣4，4）；
（2）C(3，-163)；
（3）存在这样的点C，E，F，使四边形ACEF是“美好菱形”；(83-1423，-6-2823)或(83+1423，-6+2823)．
【分析】（1）根据题意待定系数法求反比例函数解析式，再将一次函数和反比例函数列式即可求出点B的坐标；
（2）过点A作AP∥y轴，交OB于P，设点C的坐标为(a，-16a)，求出P（﹣2，2），再求出AC的解析式可得OF=8-16a，继而得到本题答案；
（3）根据题意分情况讨论（Ⅰ）当点F在点A下方时，证明△ABH≌△BQG，AQ的解析式，继而得到C(83，-6)，AF=AC=14103，过点A作AM∥y轴，过点F作FM∥x轴，解直角三角形即可，（Ⅱ）当点F在点A上方时，同理（Ⅰ）中情况即可得到．
【解答】解：（1）直线y＝2x+12与反比例函数y=kx的图象交于A（m，8），把点A（m，8）代入y＝2x+12得：
∴2m+12＝8，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，8），
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
∴反比例函数的表达式为：y=-16x，
则-16x=2x+12，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∴B（﹣4，4）；
（2）如图1，过点A作AP∥y轴，交OB于P，
设点C的坐标为(a，-16a)，
∵B（﹣4，4），
∴OB的解析式为：y＝﹣x，
当x＝﹣2时，y＝2，
∴P（﹣2，2），
∴AP＝8﹣2＝6，
∴S△ABO=6×42=12，
设AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
则-2k+b=8ak+b=-16a，
解得：k=-8ab=8-16a，
∴AC的解析式为：y=-8xa+8-16a，
∴OF=8-16a，
∴S△ACO=(8-16a)×(a+2)2，
∵四边形ABOC的面积为563，
∴S△ABO+S△ACO=563，
∴12+(8-16a)×(a+2)2=563，
∴3a2﹣5a﹣12＝0，
解得：a1＝3，a2=-43（舍）；
∴C(3，-163)；
（3）存在这样的点C，E，F，使四边形ACEF是“美好菱形”，理由如下：
一个内角为45°的菱形称为“美好菱形”，据此可知∠CAF＝45°或135°．分三种情况：
（Ⅰ）如图2，当点F在点A下方时，则只能∠CAF＝45°，
过点B作BQ垂直AB，交AC于点Q，则三角形ABQ为等腰直角三角形，
∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°；
过点B作HG∥y轴于G，过点A作AH∥x轴，过点Q作QG∥x轴，
∴∠GBQ＝∠AHB，∠BQG＝∠ABH，
则△ABH≌△BQG（ASA），
∴AH＝BG＝2，BH＝GQ＝4，
∴Q（0，2），
∴AQ的解析式为y＝﹣3x+2，
∴-3x+2=-16x，
解得：x=83或﹣2（不合题意，舍去），
∴C(83，-6)，
∵A（﹣2，8），
∴AF=AC=14103，
过点A作AM∥y轴，过点F作FM∥x轴，
∵tan∠AFM＝2，
∴FM=1423，AM=2823，
∴E(83-1423，-6-2823)，
（Ⅱ）当点F在点A上方时，则只能∠CAF＝135°，此时∠CAB＝45°，
由（Ⅰ）知C(83，-6)，
∴AF=AC=14103，
∴E(83+1423，-6+2823)，
综上所述，E点的坐标为(83-1423，-6-2823)或(83+1423，-6+2823)．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数交点问题，函数几何面积问题，菱形性质，全等三角形性质及判定，解直角三角形．
7．如图①，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣2），▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=kx经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知k＝4可知反比例函数的解析式为y=4x，再由点P在双曲线y=4x上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，4x），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN=12HT由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4；
（2）∵由（1）知k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵点P在双曲线4x上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，4x），
①当AB为边时：
如图1，若ABPQ为平行四边形，
则-1+x2=0，
解得x＝1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2，若ABQP为平行四边形，
则-12=x2，
解得x＝﹣1，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3，当AB为对角线时，
AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴-12=x2，
解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
（3）结论：MNHT的值不发生改变，
理由：如图4，连NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT＝NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF＝∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
BF=BH∠ABF=∠ABHBN=BN，
∴△BFN≌△BHN（SAS），
∴NF＝NH＝NT，
∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，
所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，
所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．
∴MN=12HT，
∴MNHT=12．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx(x＜0)的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx(x＜0)的图象交于点另一点B，P在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=-3x（x＜0）；
（2）7；
（3）所有符合条件点P的坐标为（﹣4，4），（2，2），（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）根据A（﹣1，n），l：y＝x+4，算出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数，即可解答．
（2）根据题意求出直线l'的解析式，结合图形阴影部分面积＝直线l、直线l'与x轴围成的三角形面积﹣直线l'与x轴、y轴围成的三角形面积，算出直线l、直线l'与坐标轴的交点坐标即可解答．
（3）根据直线l和反比例函数的解析式，可以得到B点坐标，通过ABO三点，根据平行四边形的性质，得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）直线l：y＝x+4与反比例函数y=kx(x＜0)的图象交于点A（﹣1，n），
把A（﹣1，n）代入l：y＝x+4，得：n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
将A（﹣1，3）代入反比例函数y=kx(x＜0)，得：3=k-1，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=-3x（x＜0）；
（2）根据直线l：y＝x+4，可得直线l与x轴的交点为（﹣4，0），
∵直线l'经过点A，且与l关于直线x＝﹣1对称，
∴直线l'与x轴的交点为（2，0），
设直线l'：y＝k2x+b，
将A（﹣1，3），（2，0）代入解析式得：
3=−k2+b0=2k2+b，
解得k2=-1b=2，
∴直线l'：y＝﹣x+2，
∴直线l'与y轴的交点坐标为（0，2），
结合图形阴影部分面积＝直线l、直线l'与x轴围成的三角形面积减去直线l'与x轴、y轴围成的三角形面积，
∴S阴影=[2-(-4)]×32-2×22=9﹣2＝7；
（3）∵直线l：y＝x+4与反比例函数y=-3x(x＜0)的图象交于点另一点B，联立得：
y=x+4y=-3x，
解得：x1=−1y1=3或x2=−3y2=1，
∴B（﹣3，1），
∴四边形ABOP是平行四边形，则如图所示，
当AB为平行四边形一边时，
则OP∥AB，
∴OP的直线表达式为y＝x，
∵A（﹣1，3）、B（﹣3，1），O（0，0），
∴①当平行四边形为ABP1O时，
P1点的横坐标为0﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣2，
P1点的纵坐标为0﹣（3﹣1）＝﹣2，
∴P1点的坐标为（﹣2，﹣2），
②当平行四边形为ABOP2时，
P2点的横坐标为0+[﹣1﹣（﹣3）]＝2，
P2点的纵坐标为0+（3﹣1）＝2，
∴P2点的坐标为（2，2），
③当AB为平行四边形的对角线时，
平行四边形AP3BO时，
P3点的横坐标为﹣3﹣[0﹣（﹣1）]＝﹣4，
P3点的纵坐标为1﹣（0﹣3）＝4，
∴P3点的坐标为（﹣4，4）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数结合的综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数以及一次函数，平行四边形的性质，熟知该性质是解题的关键．
9．已知一次函数y＝2x﹣4的图象与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，C（3，m）两点，一次函数y＝2x﹣4的图象交y轴于点B．
（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；
（2）如图，直线AO交反比例函数图象一象限分支于点F，连接CF，作射线CG∥x轴．求证射线CG平分∠ACF；
（3）目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数y=kx（k＞0）一、三象限分支上的点，连接AD、AE、DE，若点B是△ADE的“蓉心”，求点D的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）C（3，2），反比例函数的表达式为y=6x；
（2）证明过程详见解答；
（3）D（9，23）或（18，13）．
【分析】（1）将C（3，m）代入y＝2x﹣4，得m的值，从而C（3，2），进一步得出结果；
（2）过点F作FH∥y轴，交CG于点K，交AC于点H，先求出F的坐标，进而得出H点坐标，进一步得出结论；
（3）当AB⊥BE时，此时BE的解析式为：y=-12x﹣4，由6x=-12x-4得，x1＝﹣2，x2＝﹣6，进而得出点E（﹣2，﹣3），若EB平分∠AED，设ED交AB于M，可得出M（1，﹣2），进而得出ED的解析式为：y=13x-73，进一步得出结果；若EB平分∠EAD时，设EB的延长线交AD于点N，可得出N（2，﹣5），同上可求得结果，再讨论其他情况不存在．
【解答】（1）解：将C（3，m）代入y＝2x﹣4，得m＝2×3﹣4＝2，
∴C（3，2），
将C（3，2）代入y=kx，得2=k3，
解得：k＝6，
∴反比例函数的表达式为y=6x；
（2）证明：联立方程得：y=2x-4y=6x，
解得：x1=-1y1=-6，x2=3y2=2，
∴A（﹣1，﹣6），
∴直线AO的解析式为y＝6x，
联立方程得y=6xy=6x，
解得：x1=-1y1=-6，x2=1y2=6，
∴F（1，6），
如图1，
过点F作FH∥y轴，交CG于点K，交AC于点H，
则K（1，2），H（1，﹣2），
∵射线CG∥x轴，
∴∠CKF＝∠CKH＝90°，
∴FK＝6﹣2＝4，KH＝2﹣（﹣2）＝4，
∴FK＝KH，
∴CF＝CH，
∴∠FCG＝∠HCG，
即射线CG平分∠ACF；
（3）解：如图1，
当AB⊥BE时，此时BE的解析式为：y=-12x﹣4，
由6x=-12x-4得，x1＝﹣2，x2＝﹣6，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，此时E（﹣2，﹣3），
若EB平分∠AED，设ED交AB于M，
∴BM＝AB，
∴M（1，﹣2），
∴ED的解析式为：y=13x-73，
由6x=13x-73得，x1＝﹣2，x2＝9，
当x＝9时，y=69=23，
∴D1（9，23），
如图2，
若EB平分∠EAD时，设EB的延长线交AD于点N，
∴N（2，﹣5），
∴AN的解析式为：y=13x-173，
由6x=13x-173得，x3＝﹣1，x4＝18，
当x＝18时，y=618=13，
∴D2（18，13），
如图3，
当点E（﹣6，﹣1），EB平分∠AED时，
∴直线EM的解析式为：y=-17x-137，
此时点D不存在，
如图4，
当E（﹣6，﹣1），AB平分∠EAD时，设AD交AB的延长线于W，W（6，﹣7），
∴AW的解析式为：y=-17x-437，此时D点不存在；
如图5，
当BE⊥BD，EB平分∠AED或BD平分∠ADE，这种情形不存在，
综上所述：D（9，23）或（18，13）．
【点评】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论．
10．综合与实践：利用相似三角形测量距离．
（1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝10时，y＝32．则y关于x的函数关系式是 y=320x （不用写自变量的取值范围）．
（2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离CD＝4m．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度AG＝ 1.2 m．
（3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.8m，窗高BC＝1.6m，某一时刻，FD＝1m，DE＝3m，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路灯的高度OA．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=320x；
（2）1.2；
（3）路灯的高度OA为7.2m．
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y=kx，将x＝10时，y＝32代入，解得k＝320，进而可得y关于x的函数关系式；
（2）由题意知，CF∥DE，证明△BCF∽△BDE，则BCBD=CFDE，即BCBC+4=1.53.5，解得BC＝3，证明△ABG∽△CBF，则AGCF=ABBC，即AG1.5=2.43，计算求解即可；
（3）由题意知，CF＝2.4m，EF＝4m，设OA＝x m，OD＝a m．证明△DOA∽△DFB，则OABF=ODFD，即x0.8=a1，解得a=x0.8，△EAO∽△ECF，则OACF=OEEF，即x2.4=x0.8+34，计算求解即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx，
将x＝10时，y＝32代入y=kx得，32=k10，
解得：k＝320，
∴y关于x的函数关系式为y=320x，
故答案为：y=320x；
（2）由题意知，CF∥DE，
∴△BCF∽△BDE，
∴BCBD=CFDE，即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC＝3，
∴AB＝AC﹣BC＝2.4，
∵∠ABG＝∠CBF，∠BAG＝90°＝∠BCF，
∴△ABG∽△CBF，
∴AGCF=ABBC，即AG1.5=2.43，
解得：AG＝1.2，
故答案为：1.2；
（3）由题意知，CF＝BF+BC＝2.4m，EF＝FD+DE＝4m，
设OA＝x m，OD＝a m．
∵OA⊥OE，CF⊥OE，
∴CF∥OA．
∴△DOA∽△DFB，
∴OABF=ODFD，即x0.8=a1，
解得：a=x0.8，
∴△EAO∽△ECF，
∴OACF=OEEF，即x2.4=x0.8+34，
解得：x＝7.2，
∴路灯的高度OA为7.2m．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【探究发现】
（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，点E是AB的中点，连接CE，已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分别求出线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：CE ＞ CD（填“＜”、“＞”），用含a，b的代数式表示该大小关系为 a+b＞2ab ．
当Rt△ABC为等腰直角三角形时，CE＝CD．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q=1m+1n，记l=14pq．
①当m＝2，n＝2时，l＝ 1 ；当m＝3，n＝5时，l＝ 1615 ；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是 1 ．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①CD=ab，EC=12AB=12（a+b）；②＞，a+b＞2ab；
（2）①1，1615；②1．
【分析】（1）①利用相似三角形的性质求出CD，利用直角三角形斜边中线的性质求出EC；②根据垂线段最短，可得结论．
（2）①根据m，n的值代入计算即可；②如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（m+n2，1m+1n2），根据反比例函数k的几何意义，求解即可．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，
∴ADCD=CDDB，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，
∴CD=ab，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC=12AB=12（a+b）；
②∵CD⊥AB，
∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即12（a+b）＞ab，
∴a+b＞2ab，
故答案为：＞，a+b＞2ab；
（2）①当m＝2，n＝2时，l＝1；当m＝3，n＝3时，l=1615，
故答案为：1，1615；
②猜想：l的最小值为1．
故答案为：1．
理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（m+n2，1m+1n2），
∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，
∴矩形JCOG的面积＞1，
当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，
∴矩形JCOG的面积≥1，
∴m+n2•1m+1n2≥1，
即l≥1，
∴l的最小值为1．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义，属于中考压轴题．
12．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若∠PQR＝∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR＝∠PRQ．
（1）如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（2，5）、（﹣3，0），求直线PR的解析式；
（2）如图2，直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，点C是双曲线y=1x上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（0＜n＜m），直线BC、AC分别与x轴于点D、E；
①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F；连接EF，当∠EFD＝∠DCA时，求出线段DE+EF的值（用含n的代数式表示）．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x+5；
（2）①证明见解答过程；
②4+4n+1n．
【分析】（1）利用“等腰三角线”的性质，可知△PQR为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出R的坐标，设直线PR的解析式为y＝kx+b，将点P、R的坐标代入计算即可；
（2）①先求出直线BC、AC的解析式，再求出CM垂直平分DE，得DC＝EC，求出∠CDA＝∠CED，即可得答案；
②设CM交EF于点N，求出△DFE∽△MNE，得DE+EF＝2（ME+NE），再求出CN＝NE，利用勾股定理求得NE，进一步解答即可得到答案．
【解答】（1）解：如图1，过点P作x轴的垂线PE，
∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，
∴∠PQR＝∠PRQ，
∵PE⊥QR，
∴QE＝ER＝1﹣（﹣3）＝4，
∴OR＝ER+OE＝1+4＝5，
∴R（5，0），
设直线PR的解析式为y＝kx+b，把P、R代入得：
4=k+b0=5k+b，
解得：k=-1b=5，
∴PR的解析式为y＝﹣x+5；
（2）①证明：如图2，
∵直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，联立得：
y=14xy=1x，
解得：x1=2y1=12或x2=-2y2=-12，
∴A（2，12）、B（﹣2，-12）；
∵C的横坐标n，且在双曲线y=1x的图象上，
∴C的坐标为C（n，1n），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B、C代入得：
1n=nk+b-12=-2k+b，
解得：k=12nb=2-n2n，
∴BC的解析式为y=12nx+2-n2n，
∴当y＝0 时，x＝n﹣2，即D（n﹣2，0）；
∴设直线AC的解析式为y＝ex+f，将A、C代入得：
12=2e+f1n=ne+f，
解得：e=-12nf=2+n2n，
∴AC的解析式为y=-12nx+2+n2n，
∴当y＝0时，x＝n+2，即E（n+2，0），
过点C作x轴的垂线CM，
∴MD＝n﹣（n﹣2）＝2，ME＝n+2﹣n＝2，
∴MD＝ME，
∴CM垂直平分DE，
∴DC＝EC，
∴∠CDA＝∠CED，
∴直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②解：设CM交EF于点N，如图3，
∵直线AC与直线BC为“等腰三角线”，
∴CM平分∠DCE，CM垂直平分DE，
∵DF⊥x轴，
∴DF∥CM轴，
∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM，
∴△DFE∽△MNE，
∴MNDF=ENEF=EMED=12，
∴DE+EF＝2（EM+EN），
∵∠EFD＝∠DCA，
∴∠FDC＝∠CEF，
∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM＝∠CEF，即∠MCE＝∠CEF，
∴CN＝NE，
在Rt△MNE中，由勾股定理得：
EN2＝22+（1n-EN）2，
解得：EN＝2n+12n，
∴DE+EF＝2（EM+EN）＝2（2+2n+12n）＝4+4n+1n．
【点评】本题考查了“等腰三角线”的性质和判定，一次函数解析式的求法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用“等腰三角线”的性质做题．
13．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） 不是 “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线y=kx（k≠0，且k为常数）上，则k＝ 18 ；
②在①的条件下，F（2，n）在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；
【拓展延伸】：
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；
②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）不是；
（2）①18；
②S△EOF=152；
（3）①函数表达式为y=4x-2+2（x＞2）；
②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是为定值，定值为﹣4．
【分析】（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
（2）①根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
②根据“F（2，n）在双曲线y=kx上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF＝S△FOG﹣S△EOG求S△EOF即可；
（3）①根据点P（x，y）是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
②将①中的关系式代入（2﹣x）⋅（y﹣2）得出定值，从而得解．
【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6，
∴点C（2，3）不是“美好点”，
故答案为：不是；
（2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”，
∴2×（m+6）＝6m，
解得：m＝3，
∴E（3，6），
将E（3，6）代入双曲线y=kx，
得k＝18，
故答案为：18；
②∵k＝18，
∴双曲线的解析式是：y=18x．
∵F（2，n）在双曲线y=kx上，
∴n=182=9，
∴F（2，9），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，代入得：
2a+b=93a+b=6，
解得：a=-3b=15，
∴直线EF的解析式为：y＝﹣3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y＝0时，﹣3x+15＝0，
解得：x＝5，
∴G（5，0），
画出图如图2所示：
∴S△EOF=S△FOG-S△EOG=12×5×9-12×5×6=152；
（3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”，
∴2（x+y）＝xy，
化简得：y=2xx-2=4x-2+2，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴x＞02xx-2＞0x-2≠0，
解得：x＞2，
∴y关于x的函数表达式为：y=4x-2+2（x＞2）；
②“对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）为定值．”理由如下：
∵y=4x-2+2，
∴(2-x)(y-2)=(2-x)(4x-2+2-2)=-4，
∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是为定值，定值为﹣4．
【点评】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
14．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=5x（x＞0）的图象交于点A（1，a），与x轴交于点B（6，0），将直线AB绕点A顺时针旋转90°交x轴于点C．
（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；
（2）设点D为反比例函数y=k′x(k′≠0)的图象与直线AC的唯一公共点，连接OD，OA，试求△AOD的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为反比例函数y=k′x(k′≠0)位于第二象限图象上的动点，连接PO，并将射线OP绕点O顺时针旋转90°交反比例函数y=5x（x＞0）的图象于点Q，当tan∠POD=(POOQ)2，且点P在点D上方时，求点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x+6；
（2）6；
（3）（-23，6）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线AC的解析式，构建方程组，利用判别式的值为0，求出k′，再构建方程组求出交点坐标即可；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N．证明△PMO∽△ONQ，推出（POOQ）2=S△PMOS△ONQ=2÷52=45，当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I．
由△DGI∽△GOH，可得IGHO=IDGH=DGGO=45，设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m，可得5n-4m=25m+4n=2，推出n＝9m，可得G（﹣5m，45m），推出直线OG的解析式为y＝﹣9x，构建方程组，可得点P坐标．
【解答】解：（1）对于y=5x，令x＝1，则a＝5，
∴A（1，5），
∵B（6，0），直线y＝kx+b，经过A，B，
∴k+b=56k+b=0，解得k=-1b=6，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵A（1，5），B（6，0），
∴C（﹣4，0），
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
由y=x+4y=k′x，得x2+4x﹣k′＝0，
∵只有唯一公共点，
∴Δ＝16+4k′＝0，
∴k′＝﹣4，
∴y=-4x，
由y=x+4y=-4x，得x=-2y=2，
∴D（﹣2，2），
∴S△AOD=12×4×（xA﹣xD）＝6；
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N．
∵∠POQ＝∠PMO＝∠QNO＝90°，
∴∠POM+∠QON＝90°，∠QON+∠OQN＝90°，
∴∠POM＝∠OQN，
∴△PMO∽△ONQ，
∴（POOQ）2=S△PMOS△ONQ=2÷52=45，
当P在D上方的图象上时，过点D作DG⊥OP于点G，
∴tan∠POD=DGGO=45，
过点G作GH⊥y轴于点H，过点D作DI⊥HG于点I．
由△DGI∽△GOH，可得IGHO=IDGH=DGGO=45，
设IG＝4n，ID＝4m，则HO＝5n，GH＝5m，
∴5n-4m=25m+4n=2，
∴n＝9m，
∴G（﹣5m，45m），
∴直线OG的解析式为y＝﹣9x，
由y=-9xy=-4x，解得x=-23y=6或x=23y=-6（不合题意，舍去），
∴P点坐标为（-23，6）．
解法二：过点D作DH⊥OC与点H，过点E作EF⊥HD交HD的延长线于点F．
利用相似三角形的性质求出点E的坐标．求出折线OE的解析式，构建方程组确定点P的坐标．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
15．在平面直角坐标系xOy中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1•x2＝y1•y2时，称点N是点M的等积点．已知点M（1，2）．
（1）在Q1（6，3），Q2（3，﹣1），Q3（﹣4，﹣2）中，点M的等积点是 Q1，Q3 ；
（2）如果点M的等积点N在双曲线y=2x上，求点N的坐标；
（3）已知点P（6，2），Q（2，a），⊙Q的半径为1，连接MP，点A在线段MP上．如果在⊙Q上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；新定义；圆的有关概念及性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）Q2，Q3；
（2）N（2，1）或（﹣2，﹣1）；
（3）a的范围是2-52≤a≤6+10．
【分析】（1）根据定义通过计算可知：点Q1，Q3是点M的等积点；
（2）设N（m，2m），由点N是点M（1，2）的等积点，有m×1=2m×2，解方程即可得点N的坐标；
（3）设A（t，2）（1≤t≤6），点A的等积点H（x，y），有tx＝2y，即y=t2x，故在⊙Q上存在点A的等积点即是⊙Q与直线y=t2x有公共点，分两种情况：当t＝1，设H（p，12p），可得（p﹣2）2+（12p﹣a）2＝1，由一元二次方程根的判别式得[﹣（a+4）]2﹣4×54（a2+3）≥0，即得2-52≤a≤2+52，当t＝6，同理可得[﹣（6a+4）]2﹣4×10（a2+3）≥0，从而6-10≤a≤6+10，故a的范围是2-52≤a≤6+10．
【解答】解：（1）∵1×6＝2×3，
∴Q1（6，3）是点M（1，2）的等积点；
∵1×3≠2×（﹣1），
∴Q2（3，﹣1）不是点M（1，2）的等积点；
∵1×（﹣4）＝（﹣2）×2，
∴Q3（﹣4，﹣2）是点M（1，2）的等积点，
故答案为：Q1，Q3；
（2）设N（m，2m），
∵点N是点M（1，2）的等积点，
∴m×1=2m×2，
解得m＝2或m＝﹣2，
∴N（2，1）或（﹣2，﹣1）；
（3）∵点M（1，2），P（6，2），且点A在线段MP上，
∴点A的纵坐标为2，
设A（t，2）（1≤t≤6），点A的等积点H（x，y），
∴tx＝2y，即y=t2x，
∴点A的等积点H在直线y=t2x上，
∴在⊙Q上存在点A的等积点即是⊙Q与直线y=t2x有公共点，
当t＝1，即A与M重合时，H在直线y=12x上，如图：
设H（p，12p），
∵Q（2，a），HQ＝1，
∴（p﹣2）2+（12p﹣a）2＝1，
化简整理得：54p2﹣（a+4）p+a2+3＝0，
∵⊙Q与直线y=12x有公共点，
∴关于p的一元二次方程54p2﹣（a+4）p+a2+3＝0总有实数根，
∴[﹣（a+4）]2﹣4×54（a2+3）≥0，
解得2-52≤a≤2+52，
当t＝6，即A与P重合时，H在直线y＝3x上，如图：
设H（q，3q），
∵Q（2，a），HQ＝1，
∴（q﹣2）2+（3q﹣a）2＝1，
化简整理得：10q2﹣（6a+4）p+a2+3＝0，
∵⊙Q与直线y＝3x有公共点，
∴关于q的一元二次方程10q2﹣（6a+4）p+a2+3＝0总有实数根，
∴[﹣（6a+4）]2﹣4×10（a2+3）≥0，
解得6-10≤a≤6+10，
∴在⊙Q上存在点A的等积点，a的范围是2-52≤a≤6+10．
【点评】本题考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、圆的性质及应用等知识与方法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义，此题难度较大，属于考试压轴题．