广东省江门市恩平市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．答卷前，考生将自己的班级、姓名、座号按要求填写在试卷左边的密封线内。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选的字母写在下面表格内。
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简，最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据此概念即可完成求解．
【详解】解：∵，，，
∴是最简二次根式，
故 选：A．
3. 已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（ ）
A. 36B. 24C. D. 以上皆不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根，根据题意，设正方形的边长为，表示出正方形的面积是6，利用平方根定义求解，结合几何意义即可得到答案，熟记平方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
，解得或（负值舍去），
故选：C．
4. 若的三边分别为3、4、5，则的面积是（ ）
A. 12B. 10C. 7.5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，根据三边长度判断三角形为直角三角形．再求面积．
【详解】∵的三边分别为3、4、5，
且，
∴是直角三角形，两直角边是3，4，
则．
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加法、减法、乘法及除法运算等知识，根据二次根式混合运算逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式加法、减法、乘法及除法运算等运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、由于不是同类二次根式，则，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）

A. ∠1=∠2B. AB⊥ACC. AB=CDD. ∠BAD+∠ABC=180°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐一进行分析即可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，故C选项正确，不符合题意；
∵AB//CD，
∴∠1=∠2，故A选项正确，不符合题意；
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，故D选项正确，不符合题意；
无法得到AB⊥AC，故B选项错误，符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键.
7. 如图，已知菱形，，，则菱形的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长，从而得到菱形的周长．
【详解】解：菱形，，，
∴
菱形的边长，
菱形的周长．
故选：A．
8. 矩形、菱形、正方形都具有性质是（ ）
A. 每一条对角线都平分一组对角B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意；
B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意；
C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意；
D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质．
9. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A. 3:4B. 5:8C. 9: 16D. 1:2
【答案】B
【解析】
【分析】利用割补法求出阴影部分面积，即可求出阴影面积与正方形ABCD面积之比．
【详解】解：阴影部分面积为，正方形ABCD面积为16，
∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
故选B
【点睛】在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.
10. 如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①且；②；③一定是等腰三角形；④四边形的周长为；⑤的最小值为；⑥．其中结论正确的是（ ）
A. ①③④⑤B. ②③④⑥C. ①④⑤⑥D. ①②⑤⑥
【答案】D
【解析】
【分析】①连接，延长，交于点，根据， ，正方形中，推出四边形是矩形，得到，根据正方形的对称性，得到，推出；根据，，得到；①正确；②根据，，推出，得到，根据，得到；②正确；③根据，得到，根据＜，＞，推出只有当时，或时，才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；③不正确；④根据，，推出，，得到，，推出；④不正确；⑤连接，设与交点为，得到，，根据，得到，推出，得到，推出的最小值为；⑤正确；⑥根据，，，得到，得到；⑥正确．
【详解】①连接，延长交于点，
， ，
，
正方形中，，
，
四边形是矩形，
，
由正方形的对称性知，，
；
，
，
和中，，，
；
正确；
②，，
，
，
，
；
正确；
③，
，
＜，＞，
只有当时，或时，才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；
不正确；
④，，
，，
，，
；
不正确；
⑤连接，设与交点为，
则，
，
，
，
，
，
的最小值为；
正确；
⑥ ，，，
，
即；
正确．
故正确的有①②⑤⑥
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 要使有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据当被开方数为非负数时，二次根式有意义即可解答．
【详解】解：要使有意义，则，即．
故答案为：
12 化简：=______
【答案】.
【解析】
【分析】直接进行分母有理化．
【详解】解：；
故答案为.
【点睛】此题考查了分母有理化和二次根式的性质：．
13. 平行四边形中，，则______度．
【答案】130
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
又∵，
，
又，
．
故答案为：130
【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14. 如果，那么________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，以及已知字母的值求代数式的值，根据绝对值、算术平方根、平方的非负数的性质得出a，b，c的值，代入代数式求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
得，，，
则，
故答案为：3．
15. 如图，为正方形内一点，，，，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，将绕点顺时针旋转并连接，构造两个直角三角形：和，利用勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转并连接，
将绕点顺时针旋转，得，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘法运算及二次根式加法运算等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则及二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：
．
17. 如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°，∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？
【答案】10天才能将隧道凿通
【解析】
【分析】由题意知：∠A=50°，∠B=40°则∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC，则需要天数可求．
【详解】解：∵∠A=50°，∠B=40°，
∴∠C=90°，
∴AC2=AB2﹣BC2=9，
∴AC=3，
∵3÷0.3=10，
∴10天才能将隧道凿通．
答：10天才能将隧道凿通．
18. 如图，在中，E，F是对角线上的两点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，
首先根据平行四边形的性质得到，，然后证明出，进而得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图所示，中，，，，
（1）求的长，
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，
（1）过点作于点，得出是等腰直角三角形，进而求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴，
【小问2详解】
∵
∴
∴
20. 如图，菱形的对角线相交于点，，，是的中点，求证：
（1）；
（2）四边形是矩形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由菱形性质及等腰三角形性质得到，结合，根据平行线的判定即可得到答案；
（2）由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，从而；进而由菱形性质及中点性质得到四边形是平行四边形，结合菱形对角线相互垂直确定四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：在菱形中，，
，
，
，
小问2详解】
证明：由（1）知，
在菱形中，，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
在菱形中，，
，
，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及菱形性质、等腰三角形性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形判定与性质是解决问题的关键．
21. 如图，在矩形中，点在上，，垂足为．若，，

（1）证明：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由三角形全等的判定定理“”可证；
（2）由勾股定理可求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，，
在中，由勾股定理可得，则，
，
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
，；，；
，．
（1）推算出______；______．
（2）请用含（是正整数）的式子填空：
______ ______
（3）求出的值．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律；
（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．
【小问1详解】
解：依题意，，，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题意得：，，
故答案为：，；
【小问3详解】
．
23. 如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点分别在正方形的边上，连接，取中点，的中点，连接．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）在（1）的条件下，请判断线段与之间的关系，并加以证明；
（3）如图2，将这个含角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边的延长线上，其他条件不变，当时，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质定理，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，勾股定理；
（1）只需要证明，即可证明；
（2）先由三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到，再由，得；
（3）先求出，，再由三角形中位线定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形
∴，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，
∵M是中点，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图，

∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴．