2023学年江苏省扬州世明双语学校九年级下学期四模数学模拟预测题试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二次根式性质化简，然后再根据二次根式的减法的法则可判定A，再利用乘方、幂的乘方以及合并同类项对各项运算判断即可．
【详解】解：A. ，故A正确，符合题意；
B. ，故B错误，不符合题意；
C. 和不是同类项，不能合并，故C错误，不符合题意；
D. ，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算、乘方、幂的乘方、合并同类项等知识点，解答的关键是灵活运用二次根式的性质和相关运算法则．
2. 如图，图中的几何体中，它的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左面看所得的图形即可．
【详解】从左面看可得到1列正方形的个数为2．
故选B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的图形．
3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、，B、，C、，均不是同类二次根式，故错误；
D、，符合同类二次根式的定义，本选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
4. 的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
5. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 了解一批圆珠笔的寿命B. 了解全国九年级学生身高的现状
C. 检查神舟号载人飞船的各零部件D. 考察人们保护海洋的意识
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A、了解一批圆珠笔的寿命适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；
B、了解全国九年级学生身高的现状适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；
C、检查神舟号载人飞船的各零部件适宜采用普查方式，本选项符合题意；
D、考察人们保护海洋的意识适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意；
故选：C．
6. 若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A. 3B. 5C. 3或5D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【详解】解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
7. 如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形是．设点B的对应点的横坐标是，则点B的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质．的边长是的边长的2倍，过点B作轴于点M，过点作轴于点N，可证得，再由相似三角形对应边成比例的性质，解得点的横坐标为a，解得的长为，，据此解题．
【详解】解：如图，过点B作轴于点M，过点作轴于点N，
则，
∴，
又由已知条件知，，，
∴，
∴，，
∴．
∴点B的横坐标为．
故选：D．
8. 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数的图像走向即可.
【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
，，
二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧
其中一个交点的横坐标为
，即
二次函数的图像与x轴有一个交点为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a、b、c和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为 得出a、b、c三者之间的关系.
二、填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子要有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
10. 4月20日晚在中央电视台“情系玉树，大爱无疆——搞震救灾大型募捐活动特别节目”．据统计，这台募捐晚会共募得善款21.75亿元人民币．用科学记数法表示为________元人民币．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将21.75亿用科学记数法表示：．
故答案为：．
11. 在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据方差的计算公式求出样本容量．
【详解】解：∵公式，
∴它的样本容量是10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
12. 若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，正确得到是解题的关键．
13. 若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为__________.
【答案】0
【解析】
【详解】把x＝1代入方程得，，
即，
解得.
此方程一元二次方程，
，
即，

故答案为0.
14. 若反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围是______．
【答案】x<0或x>4
【解析】
【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，图象如图所示．
由图可知，当时，或．
故答案为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．
15. 中，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．根据锐角的正切等于锐角的对边比邻边，可得答案．
【详解】解：在中，，
∴，
故答案为：．
16. 一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_________
【答案】18π
【解析】
【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：根据题意，设圆锥的底面半径为 ，母线长为 .则
，
解得：
；
故答案为：
【点睛】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式，熟练掌握运用这些公式是解题关键．
17. 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．
【答案】20
【解析】
【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
详解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．
故答案为20．
点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18. 如图，点A（-3,0）、点B（0，），直线与x轴、y轴分别交于点D、C，M是平面内一动点，且∠AMB=60°，则∆MCD面积的最小值是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线方程求出点D、C的坐标，由已知M是平面内一动点，且∠AMB=60º知点M在ΔABM的外接圆上，由已知推导出AB∥CD，则可知要使ΔMCD面积最小，只需点M在AB的垂直平分线上，进而证得ΔABM是等边三角形，通过推理求出点M坐标，即可求得面积最小值.
【详解】∵M是平面内一动点，且∠AMB=60º，
∴点M在ΔABM的外接圆上，
∵直线与x轴、y轴分别交于点D、C，
∴C（0，），D（4，0），
∴OC=，OD=4，
∴tan∠ODC=，
∴∠ODC=60º，
∵点A（-3,0）、点B（0，），
∴OA=3，OB=，
∴tan∠OAB=，且AB=，
∴∠OAB=60º，
∴AB∥CD ，
∴当M在AB的垂直平分线上时，ΔMCD的面积最小，此时AM=BM，
∵∠AMB=60º，
∴ΔAMB是等边三角形，
∴∠BAM=60º，
∴点M在x轴上，且AM=AB=6，
∴点M（3,0）
∴MD=1，
∴ΔMCD的面积最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数与几何的应用，涉及一次函数的性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、平行线的距离求最值等相关知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，提取相关有效信息，结合图形，确定解题思路，并对相关信息探究、推理及计算.
三、解答题（共10小题，满分96分）
19. 计算或化简：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）-4； （2）3a﹣2
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂的意义以及特殊角锐角三角函数值和绝对值分别化简即可求出答案；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式的法则即可求出答案．
【小问1详解】
解：原式=﹣4+1﹣2×+﹣1
=﹣4；
【小问2详解】
解：原式=
=
=3a﹣2．
【点睛】本题考查实数的运算以及整式的混合运算，正确地化简各式是解题的关键．
20. 先化简再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集．先通分算括号内的，同时把除法化为乘法，约分后解出不等式组，把满足条件的整数x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
解不等式得，
解不等式得，
解不等式组的解集为，
符合不等式解集的整数是，，，
当或2时，分式无意义，
取，原式．
21. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
【详解】证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；
（2）∵∠AMD=2∠MCD，
∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22. 为了解决杨树花絮污染环境的难题，某公司引进优秀专利品种，建立新树种实验基地，研究组在甲、乙两个实验基地同时播下新树种，同时随机各抽取20株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：cm），进行整理、描述和分析（用表示树苗长度，数据分成5组：A．；B．；C．；D．：E．．注：50cm及以上为优等），下面给出了部分信息：
【数据收集】甲实验基地抽取的20株树苗的长度：
28，55，46，57，52，42，51，38，54，61，55，60，32，55，29，51，34，40，45，55．
乙实验基地抽取的20株树苗中，A，B，E三个等级的数据个数相同，C组的所有数据是：42，43，46，49，49．
【数据整理】
甲实验基地抽取的树苗长度统计表
【数据分析】
乙实验基地抽取的树苗长度扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ， ；
（2）根据上述数据分析，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）请估计2000棵乙基地的树苗中，优等树苗有多少棵．
【答案】（1）3，55，49，15
（2）甲基地的树苗更好．理由见解析
（3）估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗株数大约是900棵．
【解析】
【分析】（1）用总数20乘组的频率可得的值；根据众数、中位数的意义求解即可得，的值；用1分别减去、两组所占百分百，然后除以3可得的值；
（2）根据平均数中位数、众数、中位数以及方差的意义解答即可；
（3）用2000棵乘样本中乙基地的树苗为优等所占比例即可．
【小问1详解】
解：甲试验基地抽取的树苗数为20，；
甲试验基地树苗的长度中55出现的次数最多，故；
乙试验基地抽出的20株树苗的长度从小到大排列，排在中间的两个数是49、49，故，
组数据的数量是5，；
故答案为：3，55，49，15；
【小问2详解】
解：甲基地的树苗更好．
因为两基地的树苗长度的平均数相同，但甲基地的树苗长度的中位数大于乙基地；
【小问3详解】
解：（棵），
答：估计2000棵乙基地的树苗为优等的树苗株数大约是900棵．
【点睛】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
23. “六一”儿童节期间，某儿童用品商店设置了如下促销活动：如果购买该店100元以上的商品，就能参加一次游戏，即在现场抛掷一个正方体两次（这个正方体相对的两个面上分别画有相同图案），如果两次都出现相同的图案，即可获得价值20元的礼品一份，否则没有奖励．求游戏中获得礼品的概率是多少？
【答案】游戏中获得礼品的概率为
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：设这三种图案分别用A、B、C表示，则列表得
获得礼品概率为： ，
答：获得礼品的概率为．
24. 如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴，即，解得AE=，
即⊙O的直径为．
25. 某商场预测某种衬衫能够畅销，就用32000元购进了一批这种款式的衬衫，上市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元．
（1）该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？
（2）如果这两批衬衫每件的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每件售价至少是多少元？
【答案】（1）该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件
（2）每件售价至少是200元
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．
（1）设该商场第一次购进这种衬衫x双，则第二次购进数量为双，根据关键语句“每双进价多了元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价第二次购进运动鞋的单价，根据等量关系列方程解题即可；
（2）设每双售价是a元，由题意可得等量关系：总售价-总进价总进价，根据等量关系列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
（件）．
答：该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件．
【小问2详解】
设每件售件是元．根据题意，得
，
解得．
答：每件售价至少是200元．
26. 【尺规作图】在中，点D、E、F分别在边上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，
（1）如图1，连接，若是的中线，请作出点F，使平分线段；
（2）如图2，当时，请作出点D，使；
【方案设计】如图3，在问题（2）中，如果符合条件的点D有且仅有一个，请设计画图方案，画出图形（无需尺规作图）
【答案】（1）见解析 （2）见解析；见解析
【解析】
【分析】（1）以点E为顶点，以为一边作，交于点F，即可求解；
（2）先作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，以长为半径画圆，交于点D，即可求解；
方案设计：通过作的平分线，作的垂线，交于点N，作点的垂直平分线，交于点K，连接，交于点O，过点O作的垂线，交于点F，以点O为圆心，以长为半径画圆，交于点D，即为所求．
【小问1详解】
如图，点F即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求；
方案设计：
作的平分线，过点B作的垂线，交于点N，作的垂直平分线，交于点K，连接，交于点O，过点O作的垂线，交于点F，以点O为圆心，以长为半径画圆，交于点D，即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，涉及作一个角等于已知角，作角平分线，作垂线，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题关键．
27. 我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”．
（1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为______；
（2）如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求；
（3）如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．
【答案】（1）、
（2）8或18 （3）不存在，见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，连接，设,则，，，勾股定理得出，根据建立方程，解方程即可求解；
（2）设，则，过点作于点，勾股定理得出，根据新定义建立方程，解方程即可求解；
（3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
过点作于点，连接，
∵已知点的坐标为，点在轴上，，
∴，
设,则，
∴，
在中，
∵点是的“比例中点”，
∴，
∴
解得：或
∴或
当时，,，即；
当时，,，即，
【小问2详解】
解：∵点是的“比例中点”，
∴
设，则，
如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴或；
【小问3详解】
设点是的“比例中点”设等边三角形的边长为
∴
设，则，
如图所示，过点作于点，
∵中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴等边三角形有没有“比例中点”．
【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建立方程解方程是解题的关键．
28. 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：；
②求；
（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标．
【答案】（1）
（2）①证明见解析，②
（3）或．
【解析】
【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；
②由，得到，设点D的坐标为（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；
（3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
①证明：∵ ＝，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
设点D的坐标为（d，0），
DC＝，
∵点与、点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值，
OC＝，
∴有最小值为，
∴的最小值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点的坐标是（p，q），
∴线段A的中点为（，），
由折叠的性质知点（，）在直线BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，
当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，
设直线的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），（，）代入得，，
解得，
∴直线的解析式为y＝x＋4，
联立直线和抛物线得到，，
解得，，
∴直线与二次函数的交点横坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．
频数
频率
A
2
0.1
B
0.15
C
4
0.2
D
9
0.45
E
2
0.1
基地
平均数
众数
中位数
E组所占百分比
甲
47
51
乙
47
56
第一次
第二次
A
B
C
A
B
C