陕西省安康市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份陕西省安康市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，则（∁RB）∩A＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}
2．（5分）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．720种
3．（5分）在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4：1，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）曲线f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然对数的底数）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x+y+1＝0B．2ex+y＝0C．3x+y+1＝0D．2ex+y+1＝0
6．（5分）对A，B两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（2，4），对应的曲线为C1，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），Y～N（3，），对应的曲线为C2，则下列图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知，则＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
8．（5分）记数列{an}的前n项积为Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若数列{bn}满足＝Tn，则数列{bn}的前20项和为（ ）
A．﹣175B．﹣180C．﹣185D．﹣190
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．该展开式中共有6项
B．各项系数之和为1
C．常数项为﹣60
D．只有第4项的二项式系数最大
（多选）10．（6分）设圆C：（x﹣1）2+y2＝4，直线l：y＝kx+1（k∈R），则下列结论正确的为（ ）
A．C的半径为2
B．l恒过定点（0，1）
C．l可能与C相切
D．当k＝1时，l被C截得的弦长最短
（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．过点A1，E，C1的平面截正方体所得的截面周长为
B．存在点F，使得DF⊥平面A1EC1
C．若D1F∥平面A1EC1，则动点F的轨迹长度为
D．当三棱锥F﹣A1EC1的体积最大时，三棱锥F﹣A1EC1外接球的表面积为11π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知随机变量，则D（X）＝ ．
13．（5分）已知双曲线C：的实轴长为4，其右焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）在区间（0，+∞）上有两个极值，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．
（1）求c的值；
（2）若a＝2，求△ABC的面积．
16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内，统计结果如频率分布直方图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于[80，90）的人数ξ的分布列和数学期望．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程．
（2）斜率为1且纵截距为﹣2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面，点M是PD的中点．
（1）证明：AM⊥PC；
（2）设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点P，C），且ON＝OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值．
19．（17分）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x＞0时，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥1}，则（∁RB）∩A＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，1}D．{1，2}
【解答】解：∵∁RB＝{x|x＜1}，∴（∁RB）∩A＝{﹣1，0}．
故选：B．
2．（5分）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．720种
【解答】解：分两步，
①先排甲、乙、丙三人看作整体，不同排法共有＝6种，
②将甲、乙、丙三人这个整体与其余三人排列，不同排法共有＝24种，
∴不同排法共有6×24＝144种．
故选：C．
3．（5分）在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，
事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，
则P（A）＝，P（AB）＝，
∴P（B|A）＝＝＝．
故选：C．
4．（5分）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为4：1，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得，，又c2＝a2﹣b2，
解得b＝1，a＝4，
故椭圆方程为．
故选：D．
5．（5分）曲线f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）（其中e是自然对数的底数）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x+y+1＝0B．2ex+y＝0C．3x+y+1＝0D．2ex+y+1＝0
【解答】解：f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）的导数为f′（x）＝ex（x2﹣3），
∴f′（1）＝e（1﹣3）＝﹣2e，又f（1）＝﹣2e，
∴曲线f（x）＝ex（x2﹣2x﹣1）在点（1，f（1））处的切线方程是y+2e＝﹣2e（x﹣1），
即2ex+y＝0，
故选：B．
6．（5分）对A，B两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），X～N（2，4），对应的曲线为C1，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），Y～N（3，），对应的曲线为C2，则下列图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由μX＝2＜μY＝3，故曲线C1的对称轴在曲线C2的左侧，排除C、D；
由，故曲线C2比曲线C1瘦高，曲线C1比曲线C2矮胖，排除A．
故选：B．
7．（5分）已知，则＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：，
所以，
解得，即＞0，
所以，
故：＝，
cs2α＝（csα+sinα）（csα﹣sinα）＝，
sin（2α）＝＝．
故选：D．
8．（5分）记数列{an}的前n项积为Tn，且，an+1＝Tn﹣1，若数列{bn}满足＝Tn，则数列{bn}的前20项和为（ ）
A．﹣175B．﹣180C．﹣185D．﹣190
【解答】解：由an+1＝Tn﹣1，得an+1+1＝Tn，所以an+1＝Tn﹣1（n≥2），
两式相除可得，整理得，
即，可得，⋯，，，
累加得＝an+1﹣a2+n﹣1，由，an+1＝Tn﹣1，可得．
所以，结合＝Tn，可得，
所以，n≥2，而且也符合上式，可得对任意正整数n成立．
因此，数列{bn}为等差数列，首项为，公差d＝﹣1，可知{bn}的前20项和为＝﹣185．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）
A．该展开式中共有6项
B．各项系数之和为1
C．常数项为﹣60
D．只有第4项的二项式系数最大
【解答】解：因为二项式系数之和为64，即有2n＝64，所以n＝6，
则该展开式中共有7项，A错误；
令x＝1，得该展开式的各项系数之和为1，B正确；
通项，
令，得r＝4，，C错误；
二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，D正确．
故选：BD．
（多选）10．（6分）设圆C：（x﹣1）2+y2＝4，直线l：y＝kx+1（k∈R），则下列结论正确的为（ ）
A．C的半径为2
B．l恒过定点（0，1）
C．l可能与C相切
D．当k＝1时，l被C截得的弦长最短
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，得圆心为C（1，0），半径为r＝2，故A正确；
直线l：y＝kx+1（k∈R）恒过定点P（0，1），故B正确；
由（0﹣1）2+12＝2＜2，故定点（0，1）在圆内，故直线与圆C相交，故C错误；
当直线l与PC垂直时，弦长最短，又kpc＝＝﹣1，所以k＝1，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．过点A1，E，C1的平面截正方体所得的截面周长为
B．存在点F，使得DF⊥平面A1EC1
C．若D1F∥平面A1EC1，则动点F的轨迹长度为
D．当三棱锥F﹣A1EC1的体积最大时，三棱锥F﹣A1EC1外接球的表面积为11π
【解答】解：A选项，如图，取AB的中点G，连接GE，A1G，
因为E为BC的中点，所以A1C1∥GE，A1C1＝2GE，
所以过点A1，E，C1的平面截正方体所得的截面为梯形A1C1EG，
其周长为，故A选项正确；
B选项，假设存在点F，使得DF⊥平面A1EC1，
则DF⊥A1C1，得F只能在线段BD上，
再由DF⊥C1E，得F只能在线段CD上，即F与D重合，不符合题意，故B选项错误；
C选项，如图，取AD的中点M，CD的中点N，
连接MD1，MN，ND1，可得MD1∥C1E，MN∥A1C1，
又MD1⊄平面A1EC1，MN⊄平面A1EC1，C1E⊂平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1，
所以MD1∥平面A1EC1，MN∥平面A1EC1，
又MD1∩MN＝M，所以平面D1MN∥平面A1EC1，
所以动点F的轨迹为线段MN，其长度为，故C选项正确；
D选项，由A，C选项可得，平面A1GEC1∥平面D1MN，
所以当F在点D时，F到平面A1EC1的距离最大，此时△FA1C1为等边三角形，
因为BD1⊥平面FA1C1，所以三棱锥F﹣A1EC1的外接球球心O1一定在直线BD1上，
以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（0，1，0），D（2，2，0），设O1（x，x，x），
由O1E＝O1D得，（x﹣2）2+x2，解得，
所以，
所以三棱锥F﹣A1EC1外接球的表面积为，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知随机变量，则D（X）＝ ．
【解答】解：∵随机变量，
∴D（X）＝5×＝．
故答案为：．
13．（5分）已知双曲线C：的实轴长为4，其右焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程为 ．
【解答】解：因为实轴长2a＝4，所以a＝2，右焦点F（c，0），
由对称性，不妨取渐近线为，即bx﹣ay＝0，
点F（c，0）到渐近线的距离，
所以b＝，所以双曲线C的标准方程为．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）在区间（0，+∞）上有两个极值，则实数a的取值范围是 （0，） ．
【解答】解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝lnx﹣2ax+1，
令g（x）＝lnx﹣2ax+1，
由题意得g（x）＝0在（0，+∞）上至少有两个实数根，
又g′（x）＝，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，此时g（x）＝0不可能有两个实数根；
当a＞0时，可得g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
故当x＝时，函数g（x）取得极大值，
又x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→﹣∞，
由题意g（）＝﹣ln2a＞0，
故0＜a＜，
∴实数a的范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，4asinB＝3csinA．
（1）求c的值；
（2）若a＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵4asin B＝3csinA，∴4ab＝3ac，则4b＝3c．
又 b＝3，所以 c＝4．
（2）∵a＝2，∴，
则 ，
故△ABC的面积．
16．（15分）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]内，统计结果如频率分布直方图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50，60），[60，70），[80，90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于[80，90）的人数ξ的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由已知，这100名游客评分的平均值＝（55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005）×10＝74；
（2）由题意知，满意度评分位于分组[50，60），[60，70），[80，90）的游客人数比为1：2：2，
所以抽取的10人中该三组人数分别为2，4，4，
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
且P（ξ＝0）＝＝；P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝，
ξ的分布列为：
E（ξ）＝＝．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．
（1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程．
（2）斜率为1且纵截距为﹣2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线方程为，
所以，
解得b2＝1，
又a2＝3，
所以c2＝3+1＝4，
解得c＝2，
则双曲线E的右焦点为（2，0），
因为抛物线C的焦点与双曲线E的右焦点重合，
所以，
解得p＝4，
则抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为y2＝8x，．
（2）易知直线l的方程为y＝x﹣2，
直线l经过抛物线的焦点（2，0），
联立，消去y并整理得x2﹣12x+4＝0，
此时Δ＝122﹣4×4＝128＞0，
由韦达定理得x1+x2＝12，
所以|AB|＝p+x1+x2＝4+12＝16，
又点O到直线l的距离为，
所以，
故△AOB的面积为．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面，点M是PD的中点．
（1）证明：AM⊥PC；
（2）设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点P，C），且ON＝OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM，
∵PA＝AD，点M是PD的中点，∴AM⊥PD，
又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，
∴AM⊥平面PCD，
∵PC⊂平面PCD，∴AM⊥PC．
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设AB＝1，则PA＝AD＝，
∴，，
∴，，
设平面ACM的法向量为，则，
取y＝﹣1，得，
设，
即，
∴，
∵，
∴，化简得5λ2﹣7λ+2＝0，
解得或λ＝1（舍去），
∴N（，，），
∴，
设直线AN与平面ACM所成的角为θ，
则，
∴直线AN与平面ACM所成角的正弦值为．
19．（17分）已知函数f（x）＝xex+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x＞0时，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝xex+1，∴f′（x）＝ex+1（x+1），
∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）仅有极小值为f（﹣1）＝﹣1；
（2）∵当x＞0时，f（x）≥x+lnx+a+1恒成立，
即当x＞0时，xex+1≥x+lnx+a+1恒成立，
∴当x＞0时，a+1≤xex+1﹣x﹣lnx恒成立，
∴当x＞0时，a+1≤exex﹣（lnex+lnx）恒成立，
∴当x＞0时，a+1≤exex﹣lnxex恒成立，
令t＝xex，x＞0，设g（x）＝xex，x＞0，
∴g′（x）＝ex（x+1）＞0，∴g（x）＝xex在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，∴t＝xex＞0，
∴当t＞0时，a+1≤et﹣lnt恒成立，
设h（t）＝et﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e﹣＝，
∴当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；
当t∈（，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，
∴h（t）≥h（）＝1﹣ln＝2，
∴a+1≤2，∴a≤1，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，1]ξ
0
1
2
3
p