宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题

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一、选择题
二、填空题
13. 14. 15. 190 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（一）必考题（60分）
17. （本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以---------------6分
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．---------------12分
18．（本小题满分12分）
2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.
(1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？
(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望.
附：，其中.
【详解】（1），，，
故男市民中得优秀奖的人数为，女市民中得优秀奖的人数为，
可得如下列联表：
故，
故有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关--------6分
（2），令为获得优秀奖的市民人数，
则，有，
由元.---------------12分
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD= 2AB，点M是PD的中点．
(1)证明：AM⊥PC;
(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以CD⊥AD，
因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，
因为PC⊂平面PCD，
所以AM⊥PC；---------------4分
(2)由题意可得AB，AD，AP两两垂直，
设AB=1，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1, 2,0)，D(0, 2,0)，P(0,0, 2)，
因为点M是PD的中点，
所以M(0, 22, 22)，
所以AM=(0, 22, 22)，AC=(1, 2,0)，
设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)，
则AM⋅n= 22y+ 22z=0AC⋅n=x+ 2y=0,
令y=-1，可得x= 2，z=1，
所以平面ACM的一个法向量n=( 2,-1,1)，PC=(1, 2,- 2)，
设N(xN,yN,zN)，PN=λPC=(λ, 2λ,- 2λ)(0<λ<1)，
即(xN,yN,zN- 2)=(λ, 2λ,- 2λ)，
所以N(λ, 2λ, 2- 2λ)，
又O(12, 22,0)，ON=OA= 32，
所以(λ-12)2+( 2λ- 22)2+( 2- 2λ)2=34，
化简得5λ2-7λ+2=0，解得λ=25或λ=1(舍去)，
所以AN=(25,2 25,3 25)，
设直线AN与平面ACM所成的角为θ，
则sinθ=n⋅AN|n|⋅|AN|=3 25 2+1+1× 425+825+1825= 1510，
所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为 1510．
所以直线AN与平面ACM所成角的余弦值为 8510 ---------------12分
20．（本小题满分12分）
已知F、C是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆E于A,B，|AF|+|BF|=2 6，tan∠CFO= 22．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆E于点M，N，当|TF||MN|最小时，求点T的坐标．
解：(1)设椭圆E的左焦点为F1，连接AF1，BF1，
由对称性知四边形F1AFB是平行四边形，∴|AF|=|BF1|，
由椭圆定义知2a=|BF|+|BF1|=|BF|+|AF|=2 6，∴a= 6，
设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知tan∠CFO=bc，∴bc= 22，∴c= 2b，
∴b2=a2-c2=6-2b2，解得b2=2，
∴椭圆E的标准方程为x26+y22=1．---------------4分
(2)设T(3,m)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，易知直线MN与x轴不重合，
∵F(2,0)，故直线MN的方程为x=my+2，
代入x26+y22=1，整理得(m2+3)y2+4my-2=0，
∴Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0，y1+y2=-4mm2+3，y1y2=-2m2+3，
∴|TF|= m2+1，
|MN|= m2+1|y1-y2|= (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]
= (m2+1)[(-4mm2+3)2-4(-2m2+3)]=2 6(m2+1)m2+3，
∴|TF||MN|=m2+32 6(m2+1)，
令 m2+1=t(t≥1)，
则|TF||MN|=t2+22 6t=12 6(t+2t)≥12 6×2 t×2t= 33，
当且仅当t=2t，即t= 2，即 m2+1= 2，即m=1或m=-1时，(|TF||MN|)min= 33，
此时点T的坐标为(3,1)或(3,-1)．---------------12分
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a<0，证明：f(x)≤-2a-2．
解：(1)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，函数的定义域为
f'(x)=1x+2ax+(a+2)=2ax2+(a+2)x+1x=(2x+1)(ax+1)x(x>0)，
①当a≥0时，f'(x)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a<0时，令f'(x)=0，解得：x=-1a．
因为当x∈(0,-1a)，f'(x)>0、当x∈(-1a,+∞)，f'(x)<0，
所以y=f(x)在(0,-1a)上单调递增、在(-1a,+∞)上单调递减．
综上可知：当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(0,-1a)上单调递增、在(-1a,+∞)上单调递减；-----------4分
(2)证明：由(1)可知：
当a<0时f(x)在(0,-1a)上单调递增、在(-1a,+∞)上单调递减，
∴当x=-1a函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(-1a)=ln(-1a)+1a-a+2a.
从而要证f(x)≤-2a-2，即证f(-1a)≤-2a-2，
即证ln(-1a)+1a+1≤0．令t=-1a，则t>0，令g(t)=lnt-t+1，则g'(t)=1t-1=1-tt，
令g'(t)=0可知t=1，则当00，当t>1时g'(t)<0，
所以y=g(t)在(0,1)上单调递增、在(1,+∞)上单调递减，
即g(t)≤g(1)=0成立，
所以当a<0时，f(x)≤-2a-2成立． ---------------12分
（二）选考题（10分）
请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．【选修4-4，坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．
(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值．
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得其普通方程为．
由题知直线的直角坐标方程为，即，
将代入，得，
则直线的极坐标方程为．---------------5分
（2）由（1）可知的普通方程为，即，
故其极坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，
由解得
由解得，
所以．--------------10分
【选修4-5，坐标系与参数方程】
已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：．
【详解】（1）当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以．
综上，不等式的解集为．---------------5分
（2）由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以．
因为，所以
，
当且仅当时，等号成立，所以．--------------10分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
A
B
C
B
C
C
D
A
A
优秀奖
非优秀奖
合计
男
女
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀奖
非优秀奖
合计
男
25
75
100
女
5
95
100
合计
30
170
200