宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三第一次模拟考试数学（理）试题

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，则的值为
A． B． C． D．
3．如图，向量，，的起点与终点均在单位正方形网格的格点上，若，则
A． B．3 C．1 D．
4．已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则
A. B. C. D. 64
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A． B．
C．或 D．
6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的
A．9 B．7 C．5 D．3
图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则
B． C． D．
8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a4和a5是方程x2−20x+99=0的两个根.若对任意n∈N∗都有Sn≤Sk成立，则k的值为
A. 11 B. C. 9 D.8
9．已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球表面积的最小值为
A． B．C． D．
10．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数时，找不到满足的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取，则等式成立的概率为
A． B． C． D．
11．椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为
A． B．C．D．
12．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为
A．16 B．32 C．36 D．48
第II卷（非选择题）
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各1名，则不同的安排方式种数是________．(用数字作答)
14．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
15. 函数在一个周期内的部分取值如下表：
则的最小正周期为 ； ．
已知函数f(x)=ax2−2x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（一）必考题（60分）
17. （本小题满分12分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
18．（本小题满分12分）石嘴山市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形PABC中，，，D为PC上一点，且，将PAD沿AD折起到SAD位置．
(1)若，M为SD的中点，求证：平面AMB⊥平面SAD；
(2)若，求平面SAD与平面SBC夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
(1)求曲线、的方程；
(2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合．
选考题（10分）
请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)已知点，直线与曲线C交于M，N两点，求的值.
23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
设函数的最小值为t
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.