广东省茂名市高州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（创新班1-3班）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．如果事件与事件互斥，那么（ ）.
A．B．
C．与一定互斥D．与一定独立
2．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B． C．D．
5．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰（非等边）三角形
7．如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．②③
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知不重合的直线，，和平面，，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，，则 D．若，，则
10．已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若和外离，则或 B．若和外切，则
C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含
11．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是 .
13．圆在点处的切线方程为 ．
14．已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程：
（2）求的面积.
16．（15分）第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
17. （15分）如图，已知四棱锥，底面为边长为2的菱形，平面，，，分别是，的中点．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
18．（17分）已知圆C：和直线l：相切．
（1）求圆C半径；
（2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点．
19. （17分）在锐角三角形中，其内角所对的边分别为，且满足.
（1）求证：；
（2）求的取值范围．