黑龙江省部分学校2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省部分学校2024届高三下学期三模考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则满足的集合C的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为( )
A.B.C.1D.2
3．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为( )
A.B.C.D.
4．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，，目前还不确定是有理数还是无理数.由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间存在一定误差，已知，，则用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为( )
5．已知抛物线C:的焦点为F，准线为l，点A在C上，直线AF交y轴于点B，且，则点A到准线l的距离为( )
A.4B.5C.6D.8
6．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则( )
A.是偶函数B.的图象关于直线对称
C.在上的最大值为0D.不等式的解集为，
8．已知双曲线C:，的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左，右两支分别交于A，B两点.若，且，则双曲线C的离心率为( )
A.B.2C.D.3
二、多项选择题
9．在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在内，按照，，，，分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是( )
A.成绩在的考生中，甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在内人数最多
C.乙班成绩在内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
10．如图，三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，，，，则( )
A.B.三棱锥的体积为
C.点P到平面ABC的距离为D.三棱锥的外接球的表面积为
11．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.的图象在点处的切线在y轴上的截距为
B.在上为增函数
C.在上的最大值为e
D.若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为
三、填空题
12．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有_________种排法.(用数字作答)
13．已知圆C:，，.若C上存在点P，使得，则r的取值范围为____________.
四、双空题
14．在长方体中，，，点Р为侧面内一动点P，且满足平面，则的最小值为_________，此时点P到直线的距离为___________.
五、解答题
15．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围.
16．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差().
①求；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间的人数为，试求.
附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.
17．在如图所示的多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，其对角线的交点为Q，平面ABCD，，，点P是棱DM的中点.
(1)求证：平面ANC；
(2)求直线AN和平面CMN所成角的正弦值.
18．记椭圆C:的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点P为直线l:上的动点，过点P作椭圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，求面积的最小值.
19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中，，，成等差数列，且，，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当k为何值时，取得最大值?
②若，且，求k的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题知.因为，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，即求集合的子集个数，即有个.
2．答案：D
解析：令()，则，，，因为，所以，所以.
3．答案：B
解析：由图知，图中函数图象的最小正周期，所以排除A，D；对于C，，过，排除；对于B，，满足条件，正确.
4．答案：A
解析：依题意，所以，又，所以估算出的与实际的的误差绝对值近似为.
5．答案：D
解析：设，，因为，，所以，所以，所以=6，所以A到l的距离.
6．答案：A
解析：从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，其中两个号码的和为偶数的有，，，共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.
7．答案：C
解析：由题知，由于的定义域为R，且，故为奇函数，A错误；又，故的图象不关于直线对称，B错误；因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；，则，则，，故，，D错误.
8．答案：B
解析：由题意结合双曲线定义可知且，不妨设，则，，.在中，，由余弦定理得，即.解得.在中，由余弦定理得，即，结合，得，故离心率.
9．答案：ACD
解析：由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；甲班成绩主要集中在，乙班成绩主要集中在，B正确，C错误；甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.
10．答案：AC
解析：由已知，，，PC，平面PBC，得平面PBC，又平面PBC，
故，A正确；
因为PA，PB，PC两两垂直，则，故B错误；
设Р到平面ABC的距离为h，因为，所以，解得.所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；
因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为，故D错误.
11．答案：ACD
解析：当时，，，所以，，所以函数的图象在点处的切线方程为，故切线在y轴上的截距为，A正确；当时，，，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，故B错误，C正确；
当时，，，令得，(，1，2，3，4，5…)，当时，，，令得，(，-1，-2，-3，-4，-5…)，且以上零点均为变号零点，故均为极值点，而为R上的偶函数，也是的一个极值点，因此，函数在内有11个极值点，则，即实数m的取值范围为，故D正确.
12．答案：252
解析：由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共有种.
13．答案：
解析：因为点，，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：，半径，又点Р在圆C:上，圆C的圆心，半径为r，，依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得.
14．答案：；
解析：如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，，平面，所以平面平面，因为平面，要使得平面，则平面，因为平面平面，故点P的轨迹为线段，当取最小值时，，则P为的中点，.以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，易知，，，，，取，，则，，所以点Р到直线的距离为.
15．答案：(l)
(2)
解析：(l)时，，所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即
(2)因为，
所以是的一个零点，
因为恰有三个零点，
所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，得，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以，且，
所以a的取值范围是.
16．答案：(1)69.5
(2)①0.819
②24570
解析：(1)由题意得，平均数；
(2)①由(1)可知，，
则
则
②由①可知1名学生的健康指数位于的概率为0.819，
依题意，服从二项分布，即，
则.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：连接PN，QN.
因为平面ABCD，AD，DC，平面ABCD，所以，，.
因为，P是DM中点，所以四边形PDBN为矩形，，.
因为Q是正方形ABCD的对角线交点﹐所以Q为AC，DB中点，
所以，
因为，Q为AC中点，所以.
又，AC，平面ANC，所以平面
(2)由(1)知，DA，DC，DM两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面CMN的法向量为，
所以由得
令，可得，
设直线AN和平面CMN所成角为，则，
所以直线AN和平面CMN所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题知，上顶点，得；
左、右顶点，，，得，
故椭圆C的方程为
(2)设，，，
由题意知，过M，N的切线分别为，，
代入Р点坐标得，，
故直线MN：，
联立椭圆方程消去x得：，则，
所以，，
则.
而P到直线MN的距离，
所以面积，
令，则在上递增，
所以，故的面积的最小值为，当且仅当时取得.
19．答案：(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①
②2025
解析：(1)因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为，，，成等差数列，其公差，
所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1
(2)①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为-2的等差数列.…
故
.
所以当时，取得最大值
②因为即，
所以即
于是
因为数列是“对称数列”，所以)
，
因为，故，解得或，所以
当，，…，构成公差为-2的等差数列时，满足，且，
此时，所以k的最小值为2025.