2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第7章立体几何第3讲空间直线平面平行的判定与性质

这是一份2025版高考数学一轮总复习知识梳理训练题第7章立体几何第3讲空间直线平面平行的判定与性质，共5页。试卷主要包含了若α∥β，a⊂α，则a∥β.等内容，欢迎下载使用。
知识点一 直线与平面平行的判定与性质
知识点二 面面平行的判定与性质
归 纳 拓 展
1．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
2．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．
4．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)平行于同一条直线的两个平面平行．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
题组二 走进教材
2．(必修2P142T2)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( D )
A．α内有无数条直线都与β平行
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
[解析] 对于选项A，若α存在无数条直线与β平行，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则α内有无数条直线都与β平行，所以选项A是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的是α∥β的一个充分条件．故选D.
题组三 走向高考
3．(2023·全国Ⅰ卷(节选))如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
证明：B2C2∥A2D2.
[证明] 证法一：分别取D1D2、AA1的中点M、N，连接MC2，NB2，
由题意知D1M綉C1C2，
∴MC2綉C1D1綉A1B1，
同理B2N綉A1B1，
∴MC2綉NB2，
即MNB2C2为平行四边形，
∴C2B2∥MN，
又MD2綉A2N，
∴D2A2NM为平行四边形，
∴D2A2∥MN，
∴B2C2∥D2A2.
证法二：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
∴eq \(B2C2,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，eq \(A2D2,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，
∴eq \(B2C2,\s\up6(→))∥eq \(A2D2,\s\up6(→))，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
∴B2C2∥A2D2.
4.(2021·天津卷(节选))如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
求证：D1F∥平面A1EC1.
[证明] 证法一：连接B1D1交A1C1于M，
连BD、EF、ME，
∵E、F分别为BC、CD的中点，
∴EF綉eq \f(1,2)BD綉eq \f(1,2)B1D1綉MD1，
∴四边形EFD1M为平行四边形，
∴D1F∥ME，
又ME⊂平面A1EC1，D1F⊄平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
证法二：取AD的中点H，
连接D1H，HE，HF，AC，
∴E为BC的中点，
∴EH綉CD綉C1D1，
∴四边形C1D1HE为平行四边形，
∴D1H∥C1E，又D1H⊄平面A1EC1，C1E⊂平面A1EC1，
∴D1H∥平面A1EC1，
又F为CD的中点，∴HF∥AC∥A1C1
又HF⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1，
∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，
∴平面HFD1∥平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
证法三：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，
所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，
所以eq \(D1F,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，
eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(2,2,0)，
eq \(A1E,\s\up6(→))＝(2,1，－2)，
设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(A1C1,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0，,m·\(A1E,\s\up6(→))＝2x＋y－2z＝0，))
令x＝2，则m＝(2，－2,1)，
因为eq \(D1F,\s\up6(→))·m＝2－2＝0，所以eq \(D1F,\s\up6(→))⊥m，
因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.判定定理
性质定理
文字
语言
如果平面外的一条直线与 此平面内的 一条直线平行，那么该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线 平行
图形
语言
符号
语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，, b⊄α ，,a∥b))⇒b∥α
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α，,a⊂β，, α∩β＝b ))⇒ a∥b
作用
证明或判断线、面平行
证明或判断线、线平行
判定定理
性质定理
文字
语言
如果一个平面内的 两条相交 直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 平行
图形
语言
符号
语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a⊂β ，, b⊂β ，, a∩b＝P ，,a∥α，,b∥α))⇒α∥β
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))⇒ a∥b
作用
证明或判断面、面平行
证明或判断线、线平行