2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

这是一份2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系，共2页。试卷主要包含了直线l1，故选A等内容，欢迎下载使用。
A．4 B．8
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
[解析] 直线l1：x＋y－2＋m(y－2)＝0过定点A(0,2)，直线l2：x－y－2＋m(x－2)＝0过定点B(2,0)，且由1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0知l1⊥l2，即PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝8，|PA|＋|PB|≤eq \r(2|PA|2＋|PB|2)＝4，当|PA|＝|PB|时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为4.故选A.
2．(多选题)(2024·江西梧州一中月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则( BD )
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)，\f(11,8)))
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0
D．“将军饮马”走过的总路程为5eq \r(2)
[解析] 由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示：
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋6,2)＋\f(b＋2,2)－3＝0，,\f(b－2,a－6)×－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3，))
即B′(1，－3)．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′，
又A(2,4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误；
设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x－y－10＝0与x＋y－3＝0的交点，
联立两直线方程解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)，\f(11,8)))，故B正确；
将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6，2)，
所以直线BM的方程为x－7y＋8＝0，故C错误；
总路程|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝eq \r(2－12＋4＋32)＝5eq \r(2)，
所以“将军饮马”的总路程为5eq \r(2)，故D正确．故选BD.
名师点拨：
有关角平分线、直线上动点到两定点距离和的最小值(或差的最大值)问题，转化为对称问题解决．
【变式训练】
(2024·河南部分地区联考)在△ABC中，已知A(1,1)，B(－3，－5)，若直线m：2x＋y＋6＝0为∠ACB的平分线，则直线AC的方程为( D )
A．x－2y＋1＝0 B．6x＋7y－13＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．x＝1
[解析] 过B作B关于直线m：2x＋y＋6＝0的对称点B′，则B′在直线AC上，设B′(m，n)，根据BB′⊥m且BB′的中点在直线m上，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m－3,2)×2＋\f(n－5,2)＋6＝0，,\f(n＋5,m＋3)×－2＝－1，))解得m＝1，n＝－3，所以B′(1，－3)，又A(1,1)，所以直线AB′方程为x＝1，故AC方程为x＝1，故选D.