山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量，满足，则( )
A.3B.C.7D.
2．已知，则( )
A.B.C.D.
3．若，，且x，y满足关系式，则的最小值为( )
A.B.C.D.
4．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．已知为锐角，且，则的值为( )
A.40°B.50°C.70°D.80°
6．已知函数.设时，取得最大值.则( )
A.B.C.D.
7．定义行列式运算：，若将函数的图象向右平移（）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是( )
A.B.C.D.
8．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系可以表示为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是( )
A.函数的最小正周期是
B.函数的图象关于点成中心对称
C.函数在单调递增
D.函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于y轴对称
10．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
11．下列命题中错误的是( )
A.已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D.若，则存在唯一实数使得
三、填空题
12．已知，则______.
13．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则______.
14．若向量，满足，，且，则在上的投影数量为_________.
四、解答题
15．如图，在四边形中，，，，且.
（1）用，表示；
（2）点P在线段上，且，求的值.
16．已知，，.
（1）求：
（2）当实数k为何值时，与垂直？
（3）若，不共线，与反向，求实数k的值.
17．已知函数，为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
18．如图，在扇形中，半径，圆心角，A是半径上的动点，矩形内接于扇形，且.
（1）若，求线段的长；
（2）求矩形面积的最大值.
19．对于集合和常数，定义：为集合A相对的“余弦方差”.
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.
参考答案
1．答案：B
解析：向量，满足，
，
，
，
.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为，
所以.
故选：C.
3．答案：B
解析：由得：，
，，，，
且，
（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故选：B.
4．答案：B
解析：由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.
故选：B.
5．答案：B
解析：由可得，
即，
所以，
又为锐角，故，
故选：B.
6．答案：C
解析：，其中，；
所以当时，，取得最大值，
由题意，即.
.
故选：C.
7．答案：D
解析：的图象向右平移个单位后，得的图象，因此，又，所以的最小正值为，选D.
8．答案：A
解析：设，
由题意可知，，，解得，，
函数的最小正周期为，
则，
当时，，可得，
又因为，则，故，
故选：A.
9．答案：BC
解析：对A，由对称性得，故，即，，故A错误；
对B，函数对称中心为，，当时图象关于点对称，故B正确；
对C，函数在，即，上单调递增，故C正确；
对D，函数，且，故，
由图象可得，，故，，不妨设，
则.
故的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得，再向右平移后得，不关于y轴对称，故D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则，，
，又，
，F，D三点共线，，
且，，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：对于A，因为，为平面内两个不共线的向量，
设，，
则，无解，
所以，不共线，
则可作为平面的一组基底，故A正确；
对于B，根据共线向量的定义知，方向相反的向量一定是共线向量，
故B错误；
对于C，根据向量的定义知，向量不能比较大小，故C错误；
对于D，当时，满足，
此时任意实数使得，故D错误，
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为，整理得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
13．答案：16
解析：由可得，解得.
又，故，故.
故答案为：16.
14．答案：
解析：因为，，，
所以，即，则，
所以在上的投影数量为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以.因为，
所以
（2）因为，
所以.因为，
所以点O，A，D共线.
因为，
所以.
以O为坐标原点，所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
因为，，，
所以，，.
所以，.
因为点P在线段上，且，
所以
所以.
因为，
所以.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为，，，
所以，，
则.
（2）因为与垂直，
所以，
解得.
（3）因为与反向，
所以存在，使得，
因为，不共线，所以，解得或（舍去），
所以.
17．答案：(1)，递减区间为，
(2)
解析：(1)由题意，，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，，得，，
函数的递减区间为，.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根，，关于对称，即，
有，，，
在上有两个不同的根，，，；
又的根为0，，，
所以方程在内所有根的和为.
18．答案：（1）
（2）矩形面积的最大值为
解析：（1）且，
为等边三角形，，
又四边形为矩形，，，
在扇形中，半径，
过B作的垂线，垂足为N，
，
在中，.
（2）矩形面积，
设，由（1）可知，，
，，
，
，
，，
当，即时，矩形面积的最大值，
最大值为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析，
（3），或，
解析：（1）依题意得，.
（2）证明：由“余弦方差”定义得：，
则分子
，
为定值，与的取值无关.
（3）分子
.
要使是一个与无关的定值，
则，
，
与终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，得与终边只能关于y轴对称，
，
又，，
则当时，，
当时，.
故，或，，
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值.