定州市第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份定州市第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，，与的夹角为，则( )
A.B.C.D.
2．下列结论正确的是( )
A.平行向量不一定是共线向量
B.单位向量都相等
C.零向量与任一向量的数量积为0
D.两个单位向量之和不可能是单位向量
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则( )
A.1B.2C.D.
4．已知平面向量，，则向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．已知向量，满足，且，则( )
A.1B.2C.D.
6．若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．如图，在中，D是的中点，G是的中点，过点G作直线分别交，于点M，N，且，，则的最小值为( )
A.1B.2C.4D.
8．十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且，，若P为的费马点，则( )
A.-1B.-2C.-3D.
二、多项选择题
9．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使恰有一个解的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
10．如图，在中，，，，D为线段的中点，，F为线段的中点，E为线段上的动点，下列结论正确的是( )
A.若E为线段的中点，则
B.若E为线段的中点，则
C.
D.的取值范围为
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为16，则下列结论正确的是( )
A.是直角三角形
B. 是等腰三角形
C. 的周长为32
D. 的周长为
三、填空题
12．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则__________.
13．普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度约为__________米.取，)
14．已知P是正六边形边上任意一点，且，，则__________.
四、解答题
15．已知向量，，.
(1)若，，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值.
16．在中，已知，D为上一点，，，且.
(1)求的值；
(2)求的面积.
17．如图，在中，点D在线段上，且.
(1)用向量，表示；
(2)若，求的值.
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，共线.
(1)求B；
(2)求A；
(3)若，O为的内心，求.
19．某农户有一块半径为20米的圆形菜地，为防止菜地被小鸟破坏，准备在菜地中扎两个稻草人.设该圆形菜地的圆心为O，A，B两点为稻草人，C为该圆形菜地边缘上任意一点，要求O为的中点.
(1)若，，求；
(2)设，试将y表示为a的函数；
(3)若同时要求该农户在该菜地边缘上任意一点C处观察稻草人时，观察角度的最大值不小于，试求A，B两个稻草人之间的距离的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：，，与的夹角为，
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：对A，平行向量又叫共线向量，A选项错误；
对B，单位向量长度相等，但方向不一定相同，B选项错误；
对C，零向量与任一向量的数量积为0，C选项正确；
对D，两个单位向量夹角为时，两个单位向量之和也是单位向量，D选项错误.
故选：C.
3．答案：B
解析：易知，由正弦定理得，
化简得.
故选：B.
4．答案：D
解析：平面向量，，，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为，所以，
故.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意可得解得.
故选：D.
7．答案：A
解析：因为G是的中点，且，，
所以.
因为M，G，N三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为，，
所以，
即.因为，所以.
因为，所以.
由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知P点一定在的内部.
由余弦定理可得，
解得.，
所以，
所以.
故选：D.
9．答案：BD
解析：由正弦定理，，得，
若，，，，无解，A选项错误；
若，，，，得，恰有一个解，B选项正确；
若，，，，，C有两解，有两个解，C选项错误；
若，，，，，恰有一个解，D选项正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：易知：，，.
对A：，且，两式相加得，故A正确；
对B：.故B错误；
对C：设G为线段的中点，
，故C正确；
对D：，
又，所以.故D正确.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：因为，所以，
所以.因为，所以.因为，
所以.因为16，所以，可得，则，
即.又因为，所以，A正确.
由上知，可得，，，，B错误.
的周长为，C错误，D正确.
故选：AD.
12．答案：/
解析：因为、是两个不共线的单位向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：33.6
解析：设米，则，
又，，所以
在中由正弦定理，
即，解得(米).
故答案为：33.6.
14．答案：/
解析：依题意，以正六边形的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，分别交y轴于点，，
则，，，，，，
设，则，，
则，
根据正六边形的对称性，不妨只研究点P位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形：
①当点P在上时，则，，则，不满足；
②当点P在上时，则，，则，不满足；
③当点P在上时，易得直线的方程为，
则，，
因为，所以，解得或(舍去)，；
④当点P在上时，易得直线的方程为，
则，
因为，所以，不满足.
综上，当时，，，，
则，，
故.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，
所以.
因为，所以，
解得，
所以.
(2)因为，所以，
即，
解得，所以，
故.
16．答案：(1)2
(2)
解析：(1)，，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
(2)在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1).
(2).
因为，所以，
则，即，所以.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为向量，，共线，所以.
由，根据正弦定理可得.
又，所以.
(2)由，可得，则，
所以.
由正弦定理可得，则，
可得，
则或(舍去)，所以.
(3)延长，交于点D，则，且D为的中点.
，，，
设内切圆的半径为r，则.
，解得，
则.
(解法一).
，
所以.
(解法二)设的中点为E，连接，.
在中，，
，
所以，
则.
19．答案：(1)10米
(2)，
(3)米
解析：(1)在中，由正弦定理得，
则，所以米.
(2)在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
因为，所以，即，
故所求关系式为，.
(3)当观察角度最大时，取得最小值.
在中，由余弦定理可得.
因为的最大值不小于，所以，解得，
即.故A，B两个稻草人之间的距离的最小值为米.