中考数学复习压轴题题组练(一)含答案

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23．(8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，点P在BA的延长线上，连接PD，BC，且∠PDC＝2∠ABC.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若CD＝8，AE＝2，当动点M在⊙O的圆周上运动时(不与点A，B重合)，eq \f(EM,PM)的比值是否发生变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明其变化的规律．
(1)证明略．
(2)解：eq \f(EM,PM)的比值不发生变化，
连接OD，
∵DO⊥PD，CD⊥PO，
∴△OED∽△ODP，同理△OED∽△DEP，
则DO2＝EO·OP，DE2＝OE·EP，
∵DE＝CE＝eq \f(1,2)CD＝4，AE＝2，
∴设AO＝x，则EO＝x－2，故x2＝(x－2)2＋42，
解得x＝5，故EO＝3，即42＝3·EP，
∴EP＝eq \f(16,3)，∴AP＝EP－AE＝eq \f(10,3)，PB＝eq \f(40,3)，
当点M与点A重合时，eq \f(EM,PM)＝eq \f(AE,AP)＝eq \f(3,5)；
当点M与点B重合时，eq \f(EM,PM)＝eq \f(EB,PB)＝eq \f(3,5)，
当点M不与点A，B重合时，连接EM，PM，MO，
∵DO2＝EO·OP，∴OM2＝EO·OP，
∴eq \f(OM,EO)＝eq \f(OP,OM)，∵∠AOM＝∠MOA，
∴△OEM∽△OMP，∴eq \f(EM,PM)＝eq \f(OE,OM)＝eq \f(3,5).
综上所述，eq \f(EM,PM)的比值不变，比值为eq \f(3,5).
24．(8分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上．
(1)若点E在x轴下方的抛物线上，求△ABE面积的最大值；
(2)抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为
y＝2x2＋4x－6，
∵S△ABE＝eq \f(1,2)×AB·|yE|，
故|yE|最大时，△ABE的面积最大，
此时点E为抛物线的顶点，
当x＝－1时，y＝2x2＋4x－6＝－8，
则△ABE面积的最大值为eq \f(1,2)×AB·|yE|＝16.
(2)存在，由抛物线的解析式知，其对称轴为x＝－1，点C(0，－6)，
故设点D(－1，t)，设点F(m，2m2＋4m－6)，
当AC是对角线时，由中点坐标公式得
－3＝－1＋m，∴m＝－2，
则点F的坐标为(－2，－6)；
当AD是对角线时，由中点坐标公式得
－3－1＝m，∴m＝－4，
则点F的坐标为(－4，10)；
当AF是对角线时，由中点坐标公式得
－3＋m＝－1，∴m＝2，
则点F的坐标为(2，10)．
综上所述，点F的坐标为(－2，－6)，(－4，10)或(2，10)．