2024届河南省五市高三二模数学试卷及答案

这是一份2024届河南省五市高三二模数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损，等比数列满足，则，定义在上的函数满足，则等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区战书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.是的内角的对边，若，则（ ）
A. B. C.3 D.6
3.等比数列满足，则（ ）
A.128 B.256 C.512 D.1024
4.若向量满足，则（ ）
A. B. C.2 D.3
5.将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ）
A.72种 B.108种 C.126种 D.144种
6.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列命题正确的为（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.定义在上的函数满足，则（ ）
A.是周期函数
B.
C.的图象关于直线对称
D.
11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.的图像关于直线对称
C.的最大值为 D.的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为__________.
13.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________.
14.抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为__________.（3分），__________.（2分）.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：，并求数列的前项和.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值.
17.（15分）
某班欲从6人中选派3人参加学校投篮比赛，现将6人均分成甲､乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中的概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，.现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）.
（1）若，求甲､乙两队共投中5次的概率；
（2）以甲､乙两队投中次数的期望为依据，若乙队获胜，求的取值范围.
18.（17分）
已知函数在定义域内有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
19.（17分）
如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点且，求证：直线过定点；
（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2024年河南省五市高三第二次联合调研检测
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.D
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9.CD 10.ABC 11.BC
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.-32 13. 14.（3分）（2分）
四､解答题（共77分）
15.解：（1）当时，；
当时，，
当时，适合上式
故
（2）证明：
成立
累加得
即
（或）
16.解：（1）取中点为中点为，连接
由题可知，且，又，
所以，且，即四边形是平行四边形，
故
又
由为等边三角形可知
又平面平面
所以平面，又平面，
，又，所以为等边三角形
所以.
（2）设，则，
以为轴建立空间直角坐标系如图所
则
设平面，平面的法向量分别为
由得取得，
由得取得，
设二面角为，则
所以二面角的正弦值为.
17.解：（1）记“甲，乙两队共投中5次”为事件，则可以是甲队投中3次，
乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次.
则，
答：甲､乙两队共投中5次的概率为.
（2）记甲､乙两队投中次数分别为，
则，所以；
的取值为，
则，
，
，
，
所以，的分布列为
那么乙队投中次数的期望为
若乙队胜，则
解得
所以的取值范围为.
18.解：（1）
由题知在有两个不等实根（设
，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由（1）知
令
在上单调递增
又
所以，使，即，
当时，故在上单调递减；
当时，故在上单调递增
故
综上，成立
19.解：（1）设，则，
由知
，
在上，，即，
故曲线的方程为：
（2）证明：由题知直线与坐标轴不平行，
不妨设，
联立，得，
解得或（舍去），，
此时，同理，
当时，，
，
直线的方程为，
易知直线过定点，
当时，直线斜率不存在，此时方程为，
综上，直线过定点.
（3）假设存在符合题意，设，
由题知，
即，即，
关于轴对称，设，
易知，故方程为：，
令，得，同理，
，又，解得，
故存在点符合题意.0
1
2
3