山东省潍坊市临朐县第一中学2023-2024学年高二下学期开学收心考试数学试题

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一､单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
1. 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“”表示的试验结果是（ ）
A. 第5次击中目标B. 第5次末击中目标
C. 前4次未击中目标D. 第4次击中目标
【答案】C
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的定义进行判断即可.
【详解】因为该人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，
因为，所以表示该人射击了5次，前4次都没有击中目标，且第5次可能击中目标也可能没有击中目标，所以选项A、B、D错误；选项C正确.
故选：C.
2. 有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的件数，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，知取0，1，2，3，利用超几何分布求出概率，即可求解．
【详解】根据题意，

故选：B.
【点睛】本题考查利用超几何分布求概率，属基础题.
3. 已知随机变量的分布列如下表，随机变量的均值，则的值为
A. 0.3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：
由分布列知0.4+x+y=1，由E（X）=1，知0+x+2y=1，由此能求出x的值．解：∵E（X）=1，∴由题设知0.4+x+y=1，0+x+2y=1，解得x=0.2，y=0.4．故选D．
考点：随机变量的分布列
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要熟练掌握分布列的性质和数学期望的运算．
4. 已知X～B（n，p），EX=8，DX=1.6，则n与p的值分别是（ ）
A. 100，0.08B. 20，0.4C. 10，0.2D. 10，0.8
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，根据二项分布的期望与分差的公式，求得的值，即可得到答案．
【详解】由题意知，且，
则，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与分差的公式及其应用，其中解答中熟记二项分布的概念，以及二项分布的期望与方程的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为
A. 2.44B. 3.376C. 2.376D. 2.4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意知ξ=0，1，2，3，
∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，
∴P（ξ=0）=0.43，
∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中
∴P（ξ=1）=0.6×0.42，
∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中
∴P（ξ=2）=0.6×0.4，
∵当ξ=3时，表示第一次射中，
∴P（ξ=3）=0.6，
∴Eξ=2.376．
故选C．
考点：本题主要考查离散型随机变量的期望的计算．
点评：本题在解题过程中当随机变量为0时，题目容易出错同学们可以想一想，模拟一下当时的情况，四颗子弹都用上说明前三次都没有射中，而第四次无论是否射中，子弹都为0．
6. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3
【答案】B
【解析】
【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
7. 已知X的分布列为
则下列说法正确的有（ ）
A. P(X＝0)＝B. E(X)＝－
C D(X)＝D. P(X＞－1)＝
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据概率分布列求得参数，然后计算出期望、方差，及概率判断各选项．
【详解】由分布列的性质可知＝1，即a＝.
∴P(X＝0)＝，故A正确；
E(X)＝，故B正确；
D(X)＝，故C错误；
P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．
故选：ABD.
8. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A. B. C. X的期望D. X的方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别计算概率，计算期望与方差.
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
9. 一个袋中有个同样大小的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为.现从中任取个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A. 表示取出的最大号码
B. 表示取出的最小号码
C. 取出一个黑球记分，取出一个白球记分，表示取出的个球的总得分
D. 表示取出的黑球个数
【答案】CD
【解析】
【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取；由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错；
CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD正确；
故选：CD.
三､填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
10. 已知的分布列如下表，若，则=_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出.
【详解】由分布列的性质有，得，
从而，
所以.
故答案为： .
11. 已知X~B（5，），则P（≤X≤）=_________
【答案】
【解析】
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】P(≤X≤)=P(X=2)+P(X=3)
=)2()3+)3()2=
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
12. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求“所选3人中女生人数”的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，（0，1，2），然后分别求出，，的值，最后写出分布列即可；
（2）由计算即可.
【详解】（1）可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，（0，1，2），
所以，，，，
所以分布列为：
（2）由（1）知，“所选3人中女生人数”的概率为：
.
13. 某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．
（1）求得到一件合格零件的概率；
（2）合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，求得值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量可取，，，求得相应的概率，即可得出的分布列.
【小问1详解】
解：设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，
则，．
所以得到一件合格零件的概率为．
【小问2详解】
解：若一件零件一次成型即合格，则．
若一件零件经过技术处理后合格，则．
若一件零件成为废品，则．
所以可取，，，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
14. 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立.
（1）求某应聘人员被录用的概率；
（2）若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
【答案】(1);(2)分布列见解析.
【解析】
【分析】(1)通过分析知所求的应聘人员被录用的情况包括两位专家都同意通过的情况和只有一位专家同意通过并通过复审的情况，所以分别求概率，利用独立事件的概率求解；
(2)先求出每个人被录用的概率，再利用二项分布求出每种情况的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式计算数学期望.
【详解】设“两位专家都同意通过”为事件，“只有一位专家同意通过”为事件，“通过复审”为事件．
(1)设“某应聘人员被录用”为事件，则，
∵，，，
∴.
(2)根据题意，，表示“应聘的人中恰有人被录用”．
∵，，
，，
，∴分布列为
【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.
15. 学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
（2）求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；
（3）小强投篮4次，投中的次数为X，若期望E(X)=1，求p和X的方差D(X).
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3），.
【解析】
【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中，说明小明前两次未投中，第三次投中，再由小明每次投篮投中的概率都是，可求得所求概率；
（2）由题意可知小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出每个所对应的概率，进而可列出分布列；
（3）随机变量X~B(4，p)，，而由E(X)=1，可求出p=，进而可求出D(X)
【详解】解：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A，
事件A说明小明前两次未投中，第三次投中，
所以P(A)=.
故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为.
（2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8.
P(ξ=0)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=4)=，
P(ξ=6)=，
P(ξ=8)=.
所以总得分ξ的分布列为
所以E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×.
（3）因为随机变量X~B(4，p)，
所以E(X)=4p=1.所以p=.
所以随机变量X的方差D(X)=np(1p)=4×.
16. 从装有2个红球和6个白球（球除颜色外，其余完全相同）的袋子中，每次不放回地摸出2个球作为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束．
（1）求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；
（2）记试验次数为，求的分布列．
【答案】（1） ；（2） 答案见解析．
【解析】
【分析】（1）第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的结果数为，而从8 个球中摸出1个球的方法数为，然后利用古典概型的概率公式求解即可，
（2）由题意，知的取值范围为，然后求各自对应的概率可得分布列
【详解】（1）记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件．则．
（2）由题意，知的取值范围为，则
，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
X
－1
0
1
P
a
ξ
1
2
3
P
0
1
2
P
0.6
0.2
0.2
ξ
0
2
4
6
8
P
1
2
3
4