2024年通用版高考数学二轮复习专题8.5 球的外接和内切(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题8.5 球的外接和内切(教师版)，共57页。
题型一长（正）方体的外接球
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体的外接球的球心为O，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】求出到平面的距离，利用体积公式进行求解.
【详解】正方体的外接球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，
O到平面的距离为1，即四棱锥的高为1，而底面积为，
所以四棱锥O-ABCD的体积为．
故选：B
例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设正方体的边长为，则，
正方体的对角线长为，
所以球的直径，半径，
所以球的体积为.
故选：A
练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体外接球的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出长方体共顶点的三边的长度，然后利用外接球半径的计算公式求出半径，进而求出外接球的表面积.
【详解】设长方体共一顶点的三边长分别为，不妨令，
由题意可得，解得，
则长方体的体对角线长度为，可得外接球半径，
所以外接球的面积为.
故选：A.
练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为___________
【答案】24π
【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.
【详解】设长方体的高为c，外接球的半径为，
如图，
则，，，
由余弦定理知，，
解得，所以，
所以.
故答案为：
练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为__________.
【答案】
【分析】如图连接，即可得到，利用锐角三角函数求出，即可求出即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得.
【详解】如图连接，因为，所以，
所以，则，
又，所以，
所以，所以，
所以，即外接球的半径，
所以外接球的表面积.
故答案为：
练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体中，，，若与平面所成的角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与平面所成角的定义得，即，设，求出，根据该长方体外接球的直径是，可求出，再根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】连，因为平面，所以是与平面所成的角，
所以，所以，
设，则，即，
又，所以，所以，
即，所以，，
因为该长方体外接球的直径是，所以半径，
所以该外接球的表面积为.
故选：B
练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表面积为______.

【答案】 8 12π
【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.
【详解】因为“牟合方盖”的体积为，
又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，
所以正方体的内切球的体积，
所以内切球的半径，所以正方体的棱长为，则正方体的体积，
所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即，
所以，所以正方体的外接球的表面积为．
故答案为：；.
题型二线面垂直模型
例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．
【答案】
【分析】根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径，即可求的结果.
【详解】如下图所示：

由直三棱柱可知，平面，
又，所以两两垂直，
设直三棱柱外接球的半径为R，
通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同；
即可得，解得，
所以所求外接球的表面积．
故答案为：
例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，则二面角的大小为______，此时，四面体的外接球的表面积为______．

【答案】 / /
【分析】把二面角转化为与的夹角，由，利用向量的运算，求得，求得二面角的大小为，把三棱锥补成一个直三棱柱，利用正弦定理求得外接圆的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】空1：由题意知且，
根据二面角的平面角的定义，可得向量与的夹角就是二而角的平面角，
又由，且，和，
所以，
即，化简得，
即，所以，
又因为，所以，所以二面角的大小为．
空2：如图所示，把三棱锥补成一个直三棱柱，
可得三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，
设外接球的半径为，底面的外接圆的半径为
在中，由，
可得，
由正弦定理得，可得，
又由球的截面圆的性质，可得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；.

练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形中，平面，则与平面所成的角是_____．四棱锥的外接球的表面积为____．
【答案】 /
【分析】先求得与平面所成的角，进而求得其大小；先求得四棱锥的外接球半径，进而求得其表面积.
【详解】四棱锥中，平面，
则是与平面所成的角，
又矩形中，，则，
又，，则，，
又，则，
则与平面所成的角是；
四棱锥可以补形为长方体，
则四棱锥的外接球的直径为，
又，则四棱锥的外接球的半径为1，
则四棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：；
练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，再根据结合球的表面积公式即可得解.
【详解】在中，，
则，
所以，
设外接圆的半径为，则，所以，
设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，半径为，
由平面，得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形中，，现将沿折起，使异面直线与所成角为，且为锐角，则折后三棱锥外接球的表面积为_________．
【答案】/
【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.
【详解】由于，故和均是腰长为2的等腰直角三角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，

又由异面直线与所成角为，可知或，又为锐角，故可知，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．
设外接圆的半径为，则，所以，又三棱锥的高为2．
所以三棱柱外接球的半径，所以所求外接球的表面积为．
故答案为：.
练习9．（2023春·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圆半径为，根据勾股定理即可求解外接球半径，进而可求表面积.
【详解】由题意可得
所以在三角形中，由等面积法可得,
设三角形的外接圆半径为，圆心为,则由正弦定理得，
由于平面,设三棱锥外接球的半径为,球心到平面的距离为，
过作,则，因此,
故外接球的表面积为,
故选：A

练习10．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥的体积为6，且.则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【分析】先利用题给条件求得三者间的位置关系，求得该三棱锥外接球的半径，进而求得该三棱锥外接球的表面积
【详解】由题意得，
设点A到平面的距离为h，则
，又，
则两两垂直，取BC中点M，连接PM并延长至D，
使，连接，
则四棱锥中，底面，且为矩形，
故四棱锥可以补形为以为底面的长方体，
且为该长方体的体对角线，中点即为外接球球心O，
又，
则该三棱锥外接球的表面积为
故答案为：
题型三对棱相等模型
例5．（2022春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______.
【答案】.
【分析】根据已知，将三棱锥拓展为以为顶点的长方体，三棱锥的各棱为长方体面的对角线，求出长方体外接球的半径，即可求解.
【详解】三棱锥中，，
，
将三棱锥拓展为以为顶点的长方体，
如下图所示，长方体的上下底面的对角线长，
即边长为的正方形，侧面的对角线长为，
侧棱长，所以长方体的对角线长为，
外接球的直径为长方体的对角线长，该球的体积为
故答案为:.
【点睛】本题考查几何体与球的“接”“切”问题，合理应用条件巧妙转化为熟悉几何体与球的“接”“切”关系，减少计算量，属于中档题.
例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．
【答案】
【分析】根据题意构造长方体，然后求解长方体长宽高，再求体积即可.
【详解】设长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×××4×3×5=20.
故答案为20
练习11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.
【答案】 /
【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.
【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示：
则，，，解得，，
外接球直径，其半径为，
三棱锥的体积，
在中，，，取的中点，连接，如下图所示：
则，且，所以，，
因为三棱锥的每个面的三边分别为、、，
所以，三棱锥的表面积为，
设三棱锥的内切球半径为，则，可得，
所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.
故答案为：；.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为 _____．
【答案】
【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积．
【详解】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，
如图：
则长方体的外接球即为四面体的外接球，
又长方体的体对角线即为外接球的直径，
设长方体的长宽高分别为，
则有，，，
所以，
所以外接球的表面积为，
故答案为：
练习14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中校考期中）已知、、、四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是______．
【答案】
【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，计算出长方体的长宽高，即可求得三棱锥的体积．
【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，
其中长方体的外接球的半径为，即长方体的体对角线为，
设长方体的长、宽、高分别为，，，
则，解得，，，
三棱锥的体积是
故答案为：．
练习15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】将三棱锥补为长方体，设出长方体棱长，利用球的直径即可表示出，结合参数方程即可求解.
【详解】由，
均在半径为2的球面上，
可将三棱锥放置于长方体中，如图，

设棱长分别为，则，
故长方体对角线平方为，
可设，，
，
故的最大值为．
故答案为：
题型四共斜边模型
例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点为，连接，可证为外接球的球心，故可求半径，从而可得球的表面积.
【详解】
取的中点为，连接，
因为平面，而平面，故，
故.
同理，而，平面，
故平面，而平面，故，
故，
综上，为三棱锥外接球的球心，
而，故外接球的半径为3，
故球的表面积为，
故选：C
例8．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知三棱锥，在底面中，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.
考点：球与几何体
练习16．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知为球的表面的四个点，平面，，则球的表面积等于__________.
【答案】
【分析】先说明是直角三角形，是直角三角形，球的直径就是，求出，即可求出球的表面积
【详解】解：如图所示
因为
所以的外接圆的直径为
由平面，得
所以和时直角三角形，
所以 为外接球的直径，，
所以球的半径，
故球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出是球的直径，是本题的突破口.
练习17．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取的中点，的中点，连，，，，
因为平面，平面，所以，，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
因为，是斜边的中点，所以，
因为， 是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
设，则，
则，，
所以.
故选：B.
练习18．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，边长为3的正方形所在平面与矩形所在的平面垂直，．为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线面垂直可得，，结合直角三角形分析可得为外接球直径，结合球的表面积公式运算求解.
【详解】由题意可知，，可得，
所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，平面，所以，
又平面，
则平面，平面，可得，
取的中点，连接，则，
所以为外接球直径，设其半径为R，
在中，，即，故外接球表面积为．
故选：A．

练习19．（2022·全国·高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知条件画出图形，在三棱锥（鳖臑）中,，四棱锥中，设，求出外接球的高和半径，然后求解球的表面积.
【详解】由题意，在三棱锥（鳖臑）中，，平面，所以其外接球的直径．设，则 ，所以其外接球的体积，解得．设四棱锥（阳马）的外接球半径为，则，所以该球的表面积．故选C．
【点睛】本题考查几何体的外接球，几何体的表面积的求法，直线与平面的垂直关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
练习20．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.
【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：D.
题型五球心在外心正上方模型
例9．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台中，上､下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为__________.
【答案】1或7
【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，分球心在线段上和在的延长线上两种情况，求出高.
【详解】设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，
连接相交于点，连接相交于点，连接，
则球心在直线上，连接，
如图1，当球心在线段上时，
则，
因为上､下底面边长分别为，
所以，
由勾股定理得，，
此时该正四棱台的高为，
如图2，当球心在的延长线上时，
同理可得，，
此时该正四棱台的高为.
故答案为：1或7
例10．（2023春·高一课时练习）正四面体内接于半径为的球，求正四面体的棱长.
【答案】
【分析】点在平面的投影为的中心，设正四面体的棱长为，确定，，根据勾股定理解得答案.
【详解】正四面体，则点在平面的投影为的中心，

则内接球的球心在上，设为，设正四面体的棱长为，
，，
则，整理得到.
练习21．（2022春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为_________．
【答案】
【分析】由题意可得正方形的中心即为球心，设球半径为，结合题中条件求出半径即可得出结果.
【详解】由题可知正方形的中心即为球心，
设球半径为，则，
，
解得，
该四棱锥的外接球的体积为．
故答案为：.
练习22．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.
【答案】
【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.
【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.
如图所示，在正四棱锥中，，，
为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，
为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，
设球的半径为，表面积为，
则在正方形中，，
在中，，
则，
在中，，，，
因为，所以，
化简得，则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.

练习23．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的表面积为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥的内切球的表面积为
【答案】ABD
【分析】求得的位置关系判断选项A；求得三棱锥的表面积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项C；求得三棱锥的内切球的表面积判断选项D.
【详解】如图，
取棱的中点，连接
则正三棱锥中，.
因为平面，且，
所以平面，则，故A正确；
作平面，垂足为，则.
由正三棱锥的性质可知在上，且.
因为，所以，则.
因为，所以，
则三棱锥的表面积，故B正确；
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则在上，
连接，则，
即，解得，
则三棱锥的外接球的表面积为，故C错误.
设三棱锥的内切球的半径为，
则，
解得，从而三棱锥的内切球的表面积
为，故D正确.
故选：ABD
练习24．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【分析】画出正三棱锥，设出球心，由勾股定理建立等量关系求得外接球半径，由球的表面积公式求解即可.
【详解】如图：在正三棱锥，.
在等边三角形中，为中点，，
所以，在直角三角形中，
，设三棱锥外接球半径为，
在直角三角形中，，.
由勾股定理得：，解得：，
所以该三棱锥外接球的表面积为：.
故答案为：.
练习25．（2023·全国·校联考模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合题意，利用三角形相似得到，取线段PE的中点F，连接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，因为P-ABC为正三棱锥，所以，．
取线段PE的中点F，连接DF，AF，因为D为PB的中点，所以，．因为AD⊥BE，所以．在中，，
由勾股定理，得．设，PA=x，
在中，由余弦定理的推论，得①．
同理，在中，由余弦定理的推论，得②．
联立①②，解得，．
在中，由余弦定理，得，所以．取的中心，连接，，则平面ABC，
三棱锥P-ABC的外接球球心O在上，连接OA，设外接球半径为R．
在中，OA=R，，
所以，
所以，所以，
即，解得，
所以所求外接球的表面积为．
故选：C．
题型六面面垂直模型
例11．（2023春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）三棱锥中，，平面平面，．若三棱锥的外接球体积的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，根据外接球的性质可得，结合外接球体积的取值范围可得，进而结合外接球半径的取值范围，运算求解即可求解.
【详解】取的中点，连接，
因为，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且，则为Rt的外接圆的圆心，
所以的外接球的球心在直线上，连接，
设，的外接球的半径为，则，解得，
则，
因为，即，
解得，
可得，即，
注意到，则，所以的取值范围是.
故选：D.
例12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面平面BCD，，为等边三角形，且，则球O的表面积为_______.
【答案】/
【分析】取的中点为，连接，根据条件可得平面BCD，球心在上，然后在中根据勾股定理建立方程可求出球的半径.
【详解】
取的中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面BCD，平面平面BCD，平面，
所以平面BCD，
因为，所以的外心为，球心在上，
设球的半径为，因为，，
所以在中，，即，解得，
所以球的表面积为，
故答案为：
练习26．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥中，底面、侧面均是边长为2的等边三角形，面面，P为的中点，则（ ）．
A．
B．与所成角的余弦值为
C．点P到的距离为
D．三棱锥外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】根据三角形和三角形为等边三角形得到，，然后根据线面垂直的判定定理得到平面，然后根据线面垂直的定义即可得到，即可判断A选项；利用空间向量的方法求异面直线所成角即可判断B选项；利用等腰直角三角形的性质求距离即可判断C选项；根据外接球的性质得到外接球球心的位置，然后利用勾股定理求半径和外接球表面积即可判断D选项.
【详解】
连接，，因为三角形和三角形为等边三角形，为中点，所以，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
因为面面，面面，，平面，所以平面，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，
设与所成角为，所以，故B错；
因为平面，平面，所以，
因为三角形和三角形的边长为2，所以，
在等腰直角三角形中，，所以点到的距离为，故C正确；
分别取三角形和三角形的外心，，再分别过，作平面，平面的垂线交于点，所以为三棱锥的外接球球心，
，，所以，三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
练习27．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面面，面面，面，
所以面，
同理：面，
设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则面，面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C.
练习28．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知长方体的体积为16，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥的外接球球心的位置并计算出求得半径，从而得外接球的表面积即可.
【详解】解：设，则由长方体的体积公式，得，解得，
所以，
由题可知，四边形为正方形，所以，
所以外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如下图：
又是直角三角形，同理外接圆的圆心为AC的中点，记为点N，
过点M，N分别作平面与平面的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，
所以三棱锥的外接球的球心是AC的中点N.
又，所以外接球半径，所以外接球的表面积为.
故选：D.
练习29．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，取的中点，连接的，利用勾股定理证明，则有平面平面，设点为的外接圆的圆心，则在上，设点为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.
【详解】如图，取的中点，连接，
在菱形中，，则都是等边三角形，
则，
因为平面平面，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，即，
所以平面平面，
如图，设点为的外接圆的圆心，则在上，且，
设点为三棱锥的外接球的球心，则平面
外接球的半径为，设，
则，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
练习30．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且．若与平面所成的角为，则四棱锥外接球的表面积为______．

【答案】
【分析】先利用面面垂直的性质证得平面，从而利用线面求得，再利用勾股定理求得到四棱锥各顶点的距离即可得解.
【详解】取为的中点，连结，连结，连结，如图，

因为，则，
因为平面平面且相交于，平面，所以平面，
则为与平面所成的角，即，
设，则，
又易知，即，
解得，，则，，
在中，，
在矩形中，，
所以四棱锥外接球的球心为矩形的中心，且四棱锥外接球的半径，
所以四棱锥外接球的表面积为．
故答案为：.
题型七折叠模型
例13．（2023·全国·高一专题练习）已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为____________
【答案】
【分析】设D为AB的中点，连接CD，，可得，设分别是，的外接圆圆心，分别过作平面与平面的垂心，交点为，则是三棱锥外接球的球心，求出即可.
【详解】如图，设D为AB的中点，连接CD，，
由于，为正三角形，
所以,所以,
故.
设分别是，的外接圆圆心，
分别过作平面与平面的垂心，交点为，则是三棱锥外接球的球心，易知≌，
，的外接圆半径为，
所以,即，
即.
所以外接球半径为.
故答案为:.
例14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是__________；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是__________.
【答案】
【分析】根据三棱锥的体积公式可知当高最大时，体积最大，故当二面角为，三棱锥的体积最大，由体积公式即可求解,根据外接球的性质，利用正弦定理和勾股定理，即可联合求解球半径.
【详解】当二面角为，且时，三棱锥的体积最大，设线段的中点为，连接，易求得.
当二面角为时，和的外接圆圆心分别记为和，
分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为.过作的垂线，垂足记为，
连接，.在中，由正弦定理得：，所以，
易知，在Rt中，，在Rt中，，
所以三棱锥外接球的半径，所以，
即三棱锥外接球的表面积是.
故答案为：27，

练习31．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在菱形ABCD中，，，将沿折起，使得．则得到的四面体的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】根据条件得到，过球心作平面，则为等边三角形的中心，分别利用三角形的的中心求出的长度，再利用勾股定理求出外接球半径的平方，进而求出外接球的表面积.
【详解】设菱形的对角线交点为， 因为四边形为菱形，所以和均是边长为2的等边三角形，则，又因为，
在中，， ，由余弦定理可得：，所以，
过球心作平面，则为等边三角形的中心，
因为，为公共边，所以，
则有，因为，为等边三角形的中心，则，，
在中，由，可得： ，
在中，，
设四面体的外接球的半径为，则，
所以四面体的外接球的表面积为，
故答案为：.
练习32．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，连接，，利用锐角三角函数求出，即可取出，即外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.
【详解】解：取的中点，连接，，因为为菱形，所以，，
故为二面角的平面角，则，
由题意可知，为正三角形，则外接球球心位于过，的中心且和它们所在面垂直的直线上，
故分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，
由题意可知，球心到面和面的距离相等，即，
连接，，则，菱形的边长为，
∴，，
∴，
即三棱锥的外接球的半径，
所以其外接球的表面积为.
故答案为：
练习33．（2023·四川成都·统考一模）已知边长为的菱形中，，沿对角线把折起，使二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.
【详解】如图，三棱锥中，，平面平面，
取BD中点E，连接CE，AE，则，而平面平面，平面，
则平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，
令点分别为正，正的中心，在平面内分别过点作的垂线，它们交于点O，连OC，
因此平面，平面，而分别为三棱锥的外接球被平面，平面所截得的小圆圆心，
则是三棱锥的外接球的球心，而，，
显然四边形为正方形，，则球半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故选：A
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在边长为的菱形中，，将绕直线旋转到，使得四面体外接球的表面积为，则此时二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件，得出是二面角的平面角，作的中心，，，，知四面体外接球的球心在上，根据勾股定理求出，，进而可得二面角的余弦值．
【详解】由题意可知，和均为正三角形，
设为中点，延长，作交于点，
可得是二面角的平面角，
作的中心，则在上，且，
作，，，可知四面体外接球的球心在上，又，，
在和中，由，，，，解得，，
，二面角的余弦值为
故选：A
练习35．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角的平面角的余弦值为，则此时三棱锥的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知，利用余弦定理求得后，结合勾股定理可知，，由此可确定三棱锥的外接球半径为，代入球的体积公式可求得外接球体积；根据平面，结合棱锥体积公式可求得，作比即可得到结果.
【详解】连接交于，连接，易得为与的中点，
四边形为菱形，，即，，
二面角的平面角为，；
又，，，；
在中，由余弦定理得：；
，，，
，，三棱锥的外接球球心为中点，半径为，
三棱锥的外接球体积；
，，，平面，平面，
，，
，
三棱锥的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面和为直角三角形，并且有公共斜边，结合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为的中点.
题型八外接球的最值问题
例15．（2023·江西新余·统考二模）表面积为的球内有一内接四面体PABC，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】四面体PABC体积最大需要到底面的距离为最大，分析出最大时满足，进而利用几何关系求出其最大值.
【详解】如图所示，是四面体外接球的球心，设球的半径为，
是外接圆的圆心，设圆的半径为，设到底面的距离为，
取中点，连接，过作，
由题意，可得,则，
因为是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得，则，
四面体PABC体积为，
四面体PABC体积的最大需要最大，
由题意可知，在过并且与底面垂直的圆面上运动，
当运动到圆面的最高点时，最大，
由圆的对称性可知，此时,则，
又平面平面，平面，所以平面，
在中，，，
则，
则，，
在中，，
则，所以.
故选：D.
例16．（2023春·广东深圳·高一翠园中学校考期中）设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】
【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可.
【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，设圆半径为是球心，
因为，，
由余弦定理得，
因为，则，所以，
所以由正弦定理得，则，则，，
平面，平面，则，所以，
当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，
此时棱锥的高为，，
所以棱锥体积为.
故答案为：.
练习36．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）一封闭圆台上、下底面半径分别为1，4，母线长为6．该圆台内有一个球，则这个球表面积的最大值为______．
【答案】
【分析】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面，分析圆锥的内切球，可判断出圆锥内切球能包含在圆台内，进而可得最大球半径与表面积.
【详解】将圆台补体为圆锥并作出其轴截面如图，圆锥顶点为，圆台上下圆圆心分别为，
根据截面性质，易得，又，
所以，，，则.
故该轴截面是边长为8的正三角形，高，
由正三角形内心也是重心，可得内切圆的半径，
又圆台高为，所以圆锥内切球半径即为内切圆的半径，
所以该圆台内切球半径最大值为.
故球表面积的最大值为．

故答案为：
练习37．（2023·广东潮州·统考模拟预测）已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，根据题意求得，利用基本不等式求得圆柱的外接球半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面积为，所以，得，
设圆柱的外接球半径为，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，
所以外接球的表面积的最小值为.
故答案为：．
练习38．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为________.
【答案】8
【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.
【详解】设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接，
根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心，
线段为该外接球的半径，设，
由已知，所以，即，
设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为，
则，，
在中，，
所以，，
又的面积，
所以正三棱柱的体积，
设，则，，
所以，，
所以，
令，可得或，舍去，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为.
故答案为：.

练习39．（2023春·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接、交于，连接，求出，，可得点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，求出截面圆的面积即可．
【详解】连接，交于，连接，则底面且是中点，
，，
所以到，，，，的距离均为，点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为．
故选：C．

练习40．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，求出，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，
设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，
轴截面如下图示，内切球切母线于，底面半径，，则，
又，故，
又，故，
故该圆锥的表面积为，
令，所以，
所以.
（当且仅当时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为.
故选：B

题型九内切球
例17．（2023·山东泰安·统考模拟预测）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先算出扇形的弧长，从而可得圆锥底面的半径，故可求轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，最后根据公式可求体积.
【详解】
设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得，由，所以．
因为，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径，
而等边三角形的边长为4，故，故．
故选：C．
例18．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得为正四棱锥，由可得异面直线与所成的角为，取中点，连接、，即可求出、，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【详解】由题可得四棱锥为正四棱锥，即有．
因为，所以异面直线与所成的角为，
取中点，连接、，则，所以，
所以，．
从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为，，
所以内切球的半径为．
设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，
则，解得，所以．

故选：C
练习41．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据内切球在等边三角形内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积.
【详解】由于平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形，
所以四棱锥的内切球在等边三角形的“正投影”是等边三角形的内切圆，
设等边三角形的内切圆半径为，
则，解得，
所以内切球的半径为，其表面积为.
故选：D
练习42．（2023春·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点， 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，底面正方形ABCD中心，利用等体积法求得内切球的半径，再利用等面积法求得点P到的距离求解.
【详解】解：如图所示：
设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点，
为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，底面正方形ABCD中心，
因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为，
所以正四棱锥侧面三角形的高为，
正四棱锥的高为，
正四棱锥的表面积为，
正四棱锥的体积为，
由等体积法得：，
解得，
因为，
所以，
由正四棱锥的定义知：内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形，
所以，
故选：A
练习43．（2023春·全国·高三专题练习）若正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
【答案】
【分析】利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径，从而可求出其体积
【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，
所以，
所以，
所以正四棱锥的表面积为，
正四棱锥的体积为
设正四棱锥内切球的半径为，则
，
解得，
所以该四棱锥内切球的体积为，
故答案为：
练习44．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为_______．

【答案】/
【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】中，，，，
由余弦定理得，
则折成的三棱锥中，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，
则，解得，
又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维的体积为，
又三棱锥四个侧面是全等的，
故三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故，故内切球表面积为.
故答案为：
练习45．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.
【答案】
【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；
，当时，取得最大值.
过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，
所以，易得.
所以.
因为，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即，解之得，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
题型一
长（正）方体的外接球
题型二
线面垂直模型
题型三
对棱相等模型
题型四
共斜边模型
题型五
球心在外心正上方模型
题型六
面面垂直模型
题型七
折叠模型
题型八
外接球的最值问题
题型九
内切球